212橢圓的簡單幾何性質(zhì)(2)教案(人教A版選修1-1)

1、第2課時橢圓方程及性質(zhì)的應(yīng)用敖母教法分析 謀毎尹讀程*蠶？（教師用書獨具）三維目標1知識與技能掌握利用根的判別式判斷直線與橢圓位置關(guān)系的方法，初步探尋弦長公式有關(guān)知識.2. 過程與方法通過問題的提出與解決，培養(yǎng)學(xué)生探索問題、解決問題的能力.領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合和化歸等 思想.3. 情感、態(tài)度與價值觀培養(yǎng)學(xué)生自主參與意識，激發(fā)學(xué)生探索數(shù)學(xué)的興趣.重點、難點重點：掌握直線與橢圓位置關(guān)系的判斷方法，注意數(shù)形結(jié)合思想的滲透.難點：應(yīng)用直線與橢圓位置關(guān)系的知識解決一些簡單幾何問題和實際問題.教學(xué)內(nèi)容是在熟練橢圓方程與性質(zhì)的基礎(chǔ)上的習(xí)題課，涉及直線與橢圓的位置關(guān)系、橢圓的實際應(yīng)用問題，掌握好橢圓方程與性質(zhì)， 類比

2、直線與圓的位置關(guān)系的研究方法是突破重 點與難點的關(guān)鍵.敖劣方案設(shè)設(shè)數(shù)秦流柱細解導(dǎo)學(xué)索”菲卷?（教師用書獨具）教學(xué)建議由于學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線與圓位置關(guān)系及相關(guān)知識的推導(dǎo)及運用過程，但大部分還停留在經(jīng)驗基礎(chǔ)上，主動遷移能力、整合能力較弱，所以本節(jié)課宜采用啟發(fā)引導(dǎo)式教學(xué)；同時借 助多媒體，充分發(fā)揮其形象、生動的作用.教學(xué)流程創(chuàng)設(shè)問題情境，引出命題：能否用幾何法判斷直線與橢圓的位置關(guān)系?引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合以前學(xué)習(xí)過的直線與圓的位置關(guān)系，通過比較、分析，得出判斷方法一一代數(shù)法引導(dǎo)學(xué)生分析代數(shù)法判斷直線與橢圓位置關(guān)系的步驟，引出解題關(guān)鍵與注意事項通過例1及其變式訓(xùn)練，使學(xué)生掌握直線與橢圓相交、相切、相離的條件及

3、應(yīng)用 通過例2及其變式訓(xùn)練，使學(xué)生掌握直線與橢圓相交問題，學(xué)會求直線方程和弦長的方法錯誤!?錯誤!?錯誤！骸A雖3學(xué).餐無持自査自藺閥”色咄烏憲（對應(yīng)學(xué)生用書第25頁）課標解讀1掌握橢圓的方程及其性質(zhì)的應(yīng)用.（重點）2 掌握直線與橢圓位置關(guān)系的判斷方法，初步探尋弦長公式.（難點）點與橢圓的位置關(guān)系【問題導(dǎo)思】點與橢圓有幾種位置關(guān)系?【提示】 三種位置關(guān)系：點在橢圓上，點在橢圓內(nèi)，點在橢圓外.設(shè)點P(Xo,1(a b 0).（i）點p在橢圓上? a2+y=i（2）點p在橢圓內(nèi)？學(xué)+y b 0)的位置關(guān)系聯(lián)立y= kx+ m,2 2x y7+1,a b得一個一元二次方程.(對應(yīng)學(xué)生用書第26頁)直

4、線與橢圓的位置關(guān)系的判定卜例當m為何值時，直線尸x+ m與橢圓羊+ y2= 1相交、相切、相離?宀護方 位置大糸解的個數(shù)的取值相交兩解A 0相切二解上0相離無解0,即一5 mv 5時，方程有兩個不同的實數(shù)根，代入可得到兩個不同的 公共點坐標，此時直線與橢圓相交；當 = 0,即m= ；：5或m= _ 5時，方程有兩個相等 的實數(shù)根，代入可得到一個公共點坐標，此時直線與橢圓相切；當 0,即m5時，方程沒有實數(shù)根，直線與橢圓相離.I規(guī)律方法I判斷直線與橢圓位置關(guān)系的步驟:聯(lián)立橢圓與直線方程組成方程組消去Y未知數(shù)，得到關(guān)于戈俄r)的_ 元二次方程，并計算判別式的值 0Q直線和橢 =0二直線和橢匱 變武

5、illl韁1試判斷直線y= x 扌與橢圓x2 + 4y2 = 2的位置關(guān)系.1 y= x2,【解】聯(lián)立方程組得2x2+ 4y2= 2,消去 y，整理得 5x2 4x 1 = 0,(*)A= ( 4)2 4X 5 X ( 1) = 36 0,即方程(*)有兩個實數(shù)根，所以方程組有兩組解，即直線和橢圓相交.直線與橢圓相交問題A, B已知橢圓 攔+首=1和點P(4,2)，直線I經(jīng)過點P且與橢圓交于369兩點1(1) 當直線I的斜率為2時，求線段AB的長度；(2) 當P點恰好為線段 AB的中點時，求I的方程.【思路探究】(1)你能寫出直線方程嗎？怎樣求此直線在橢圓上截得的弦長的長度?(2)點P與A、B

6、的坐標之間有怎樣的關(guān)系？能否用根與系數(shù)的關(guān)系求得直線的斜率？1 1【自主解答】(1)由已知可得直線I的方程為y 2 = -(x 4)，即y = x.1y= 2x，x2 + J1369可得 x2 18= 0,若設(shè) A(X1, y1), B(x2, y2),則 X1+ X2= 0 , X1x2= 18.于是|AB|= X1 X22+ y1 y214X1X2=寧 I X1 + X2 2 4X1X2= X 6 2= 3 ,10.所以線段AB的長度為3.10.法一：設(shè)I的斜率為k,則其方程為y 2= k(x 4).x2 y2聯(lián)立36+9,y 2= k x 4 ,消去 y 得(1 + 4k2)x2 (32

7、k2 16k)x+ (64k2 64k 20)= 0.若設(shè) A(xi, yi), B(x2, y2),32k2 16k則 X1+ X2=,1 + 4k2由于AB的中點恰好為 P(4,2),X1 + X2 16k2 8k1所以丁=十=4，解得k=- 2.1這時直線l的方程為y 2= (x 4),1 即 y = 2x+ 4.法二：設(shè) A(X1, y1), B(x2, y2),X2 y2 +乙=136 + 9，則有 22+ y= 136 + 9，x2 x1 y2 y2 兩式相減得 36 + 9 = 0.由于P(4,2)是AB的中點,從而(X2 X1)+ 2(y2 y1)= 0,y2 y1 kAB =

8、X2 X1x1 + x2= 8, y1+ y2= 4,1-于是直線 AB，即為I的方程為y 2 =1 12(x 4)，即 y= x+ 4.I規(guī)律方法I1.求直線與橢圓相交所得弦長問題，通常解法是將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，然后消去y(或x)得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，根據(jù)兩點間的距離公式以及根與系數(shù)的關(guān)系求解.也可以直接代入弦長公式|PlP2| =Xl + X2 2 4X1X21+ k2yi + y2 2 4yiy2求解.2.解決直線與橢圓相交弦的中點有關(guān)的問題時，通常有兩種方法:法一：由直線的方程與橢圓的方程組成的方程組消去y后轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程,再利用根與系數(shù)的關(guān)系，運用中點坐

9、標公式建立方程組求解.法二：通過弦 AB的端點的坐標是橢圓的方程的解，得到兩個“對稱方程”，然后將兩個方程相減，再變形運算轉(zhuǎn)化為直線的斜率公式，這種方法通常稱為點差法孌tr mi練2 2過點P( 1,1)的直線與橢圓4 + 2= 1交于A，B兩點，若線段 AB的中點恰為點P,求AB所在的直線方程及弦長|AB|.【解】 設(shè)A(X1, y1), B(x2, y2)，由于A, B兩點在橢圓上,x2+ 2y1= 4, x2+ 2y2 = 4.兩式相減，得(X1 X2)(X1 + X2)+ 2(y1 y2)(y1 + y2)= 0顯然X1M X2,y1 y2X1 + X2故由得： kAB=.X1 X22

10、 y1+ y2又點P( 1,1)是弦AB的中點，X1 + X2= 2, y1 + y2= 2.1把代入得：kAB = 1,1直線AB的方程為y 1 = 2(x+ 1),即卩x 2y+ 3 = 0x 2y+ 3 = 0,由 x2 y2+ J= 14 十 21，消去 y 得 3x2+ 6x+ 1= 0,1 X1 + X2= 2, X1X2= Q與橢圓相關(guān)的實際應(yīng)用問題(單位:米)如圖2 1 3，某隧道設(shè)計為雙向四車道，車道總寬22米，要求通行車輛限高4.5米，隧道的拱線近似地看成半個橢圓形狀若最大拱高h為6米，則隧道設(shè)計的拱寬I是多少?【思路探究】恰當建系 t設(shè)橢圓方程 t錯誤! t錯誤！ t錯誤

11、!【自主解答】如圖建立直角坐標系，則點P(11,4.5)，橢圓方程為x2 + y2= 1.a bP(11,4.5)在橢圓上，1124.52詩+歹=1，又b = h= 6代入式，得a = 447此時 I = 2a = 88嚴 33.3(米)因此隧道的拱寬約為 33.3米.I規(guī)律方法I1. 解答與橢圓相關(guān)的應(yīng)用問題，事物的實際含義向橢圓的幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，其 次要充分利用橢圓的方程對變量進行討論，以解決實際問題.2實際問題中，最后的結(jié)論不可少，一定要結(jié)合實際問題中變量的含義做出結(jié)論.孌 it illl有一橢圓形溜冰場，長軸長100 m，短軸長60 m，現(xiàn)要在這個溜冰場上劃定一個各頂點都在溜冰場

12、邊界上的矩形區(qū)域,且使這個區(qū)域的面積最大，應(yīng)把這個矩形的頂點定位在何處？這時矩形的周長是多少?【解】分別以橢圓的長軸、短軸各自所在的直線為 x軸和y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系xOy,設(shè)矩形ABCD的各頂點都在橢圓上.因為矩形的各頂點都在橢圓上，而矩形是中心對稱圖形，又是以過對稱中心且垂直其一邊的直線為對稱軸的軸對稱圖形,所以矩形ABCD關(guān)于原點0及x軸，y軸都對稱.已知橢圓的長軸長 2a= 100 m,短軸長2b= 60 m ,x2y2則橢圓的方程為502+ 302= 1.考慮第一象限內(nèi)的情況，設(shè)A(X0, yo),則有1 =當且僅當2xoyo1 500，即xo= 25 2, y0= 1

13、5 2時，等號成立，此時矩形ABCD的面積S= 4xoyo取最大值3 000 m2.這時矩形的周長為4(xo+ yo) = 4(25 ,；2+ 15 . 2)= 160 .2 (m).聖鎮(zhèn)方法技巧理思路卅法古“技曠 慌黔(對應(yīng)學(xué)生用書第27頁)運用設(shè)而不求”法研究直線和卜典例(12分)(2013本溪高二檢測)已知橢圓方程為橢圓位置關(guān)系問題x2+ y2= 1(a b 0),過點a bA(- a,0), B(0, b)的直線傾斜角為n，原點到該直線的距離為 烏3(1)求橢圓的方程；斜率大于零的直線過 D( 1,0)與橢圓分別交于點 E, F，若ED = 2DF，求直線EF的 方程；對于D( 1,0

14、)，是否存在實數(shù)k,使得直線y= kx+ 2分別交橢圓于點 P, Q,且|DP| =|DQ|,若存在，求出k的值，若不存在，請說明理由.【思路點撥】橢圓焦點的位置,橢圓上兩點兒B連線的傾斜角 到直線的距離，一定點和橢圓的弦的兩端點的關(guān)拐根據(jù)橢圓上兩點A0連線的傾斜角和原點 到該直線的距離可以求出橢圓方程中的待 定系數(shù)，從而可求得橢圓的方程利用直線EF過0(-10且斜率大于0設(shè)出直線 方程，與橢圓方程聯(lián)立方程組,根據(jù)族2喬 得出坐標間的關(guān)系.進而求出直線的方程利用定點d(-iq和弦端點的兒何關(guān)系，根據(jù)解決直線與橢圓位置關(guān)系設(shè)而不求的技巧方法，轉(zhuǎn)換成坐標關(guān)系，構(gòu)造出關(guān)于丘的方程，再求出左的值【規(guī)范

15、解答】(i)由a = J, !ab=*x子“.a2 + b2, 得 a= . 3, b = i,所以橢圓的方程是 X3 + y2= 1.x2設(shè) EF： x= my 1(m 0)代入-+ y2= 1，得(m2 + 3)y2- 2my 2 = 0.設(shè) E(xi, yi), F(x2, y2).由 ED = 2DF，得 yi= 2y2, 4 分,2m22由 yi + y2= y2=二,yiy2= 2y2 = 2得m + 3m + 32m 2i厶亠(mz?=吞，：m=i, m=1(舍去),直線EF的方程為x= y i，即x y+ i = 0.7分x2(3)記 P(x i,yi), Q(x 2, y2)

16、.將y=kx+ 2 代入-+ y2=i,得(3 k2 +i)x2 + i2kx +9= 0(*),x i, x 2是此方程的兩個相異實根.設(shè)PQ的中點為M，則/xXM =1 + X 226k3 k2+ 1yM = kxM + 2=23 k2 + 1由 |DP|=|DQ|,得DM丄PQ ,yMkDM =xm+ 13k2+ 16k3k2+ 11k，2 13k 4k+ 1 = 0，得 k= 1 或 k = 3.1 一 一但k = 1, k= 3均不能使方程（*）有兩相異實根,10分滿足條件的k不存在.思維啟迪1. 直線和橢圓位置關(guān)系問題中設(shè)而不求、整體代換是常用的運算技巧，在解題中要注 意運用.2.

17、 直線和橢圓相交時要切記A0是求參數(shù)范圍的前提條件，不要因忘記造成不必要 的失分.結(jié)kM*堂課1 直線與橢圓的位置關(guān)系，可通過討論橢圓方程與直線方程組成的方程組的實數(shù)解的 個數(shù)來確定，通常用消元后的關(guān)于x（或y）的一元二次方程的判別式來判定.直線與橢圓相交的弦長公式：|PlP2|= xi+ X2 2 4X1X2 1 + k2 或 |PlP2| =yi + y2 2 4yiy2 1 +【答案】 A2直線和橢圓相交時的弦的中點坐標或弦中點的軌跡方程常由韋達定理來解決，設(shè)點 而不求點是解析幾何中重要的解題方法.3 解決與橢圓有關(guān)的實際問題時首先要仔細審題，弄懂題意，再把實際問題中的量化歸為橢圓的性質(zhì)

18、，從而得以解決 %它雙垂達標岐堂練生蟲三動運瑕標（對應(yīng)學(xué)生用書第28頁）1.下列在橢圓x2+牛1內(nèi)部的點為（）A.(2, 1)B. ( .2, 1)C.(2,1)D . (1,1)2 2【解析】點（.2, 1）, （ 2, 1）滿足橢圓方程，故在橢圓上；把點（1,1）代入X +專得:1134+ 2 = 4V2D . 1 v av 1C. 2v a v2【解析】點A(a,1)在橢圓=1內(nèi)部,Z 1a2v14 242則 a2v 2，2 v av 2.2已知直線y= kx + 1和橢圓x2+ 2y2= 1有公共點，則k的取值范圍是（）v kvC. kw孑或ky= kx+1,c c【解析】由 x2+2

19、y2=i，得（2k2+ 1）x2+ 4kx+ 1 = 0.直線與橢圓有公共點.16k2 4（2k2+ 1）0,貝y k乎或 k 2,寸 m2+ n2.m2+ n2v 4,即點（m, n）在橢圓的內(nèi)部，故直線與橢圓有個交占I八、【答案】 A5 橢圓有如下的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后必過橢圓的 另一個焦點今有一個水平放置的橢圓形臺球盤，點A, B是它的兩個焦點，其長軸長為2a,焦距為2c（a c 0）,靜放在點A的小球（小球的半徑不計），從點A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁 反彈后第一次回到點 A時，小球經(jīng)過的路程是（）A . 2(a c)C. 4aB. 2(a+ c)D.以上答案均

20、有可能【解析】如圖，本題應(yīng)分三種情況討論:當小球沿著x軸負方向從點 A出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到點路程是2(a c)；當小球沿著x軸正方向從點A出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到點 路程是2(a + c);當是其他情況時，從點A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到點A時，小球經(jīng)過的A時，小球經(jīng)過的A時，小球經(jīng)過的路程是4a.【答案】D二、填空題6. (2013濟寧高二檢測)已知以Fi( 2,0), F2(2,0)為焦點的橢圓與直線x+ . 3y+ 4 = 0有且僅有一個交點，則橢圓的長軸長為 .【解析】設(shè)橢圓方程為字+ *= 1(a b 0)與直線方程聯(lián)立消去x得(a2+ 3b2)y2+ 8.

21、3 b2y+ 16b2 a2b2= 0, 由 = 0 及 c= 2 得 a2= 7,2a= 2 .7.【答案】 2 .77. (2013 肥高二檢測)以等腰直角三角形 ABC的兩個頂點為焦點，并且經(jīng)過另一頂點的橢圓的離心率為.【解析】當以兩銳角頂點為焦點時，因為三角形為等腰直角三角形，故有b = c,此時可求得離心率e=c2-；同理，當以一直角頂點和一銳角頂點為焦點時,設(shè)直角邊長為 m,故有2c= m,2a= (1 +2)m，所以離心率e= 1.a 2a 1 +寸2 m【答案】.2 - 1 或 J& (2013石家莊高二檢測)過橢圓 + : = 1的右焦點作一條斜率為2的直線與橢圓交于A、B兩

22、點，O為原點，則 OAB的面積為 .【解析】直線方程為y= 2x 2，與橢圓方程羊+ y4 = 1聯(lián)立，可以解得 A(0, - 2),5454b(3, 3)，15S亠2|OF | a yB|= 3(也可以用設(shè)而不求的方法求弦長|AB|,再求出點O到AB的距離,進而求出厶AOB的面積).【答案】三、解答題9已知橢圓的短軸長為 2 3，焦點坐標分別是(1,0)和(1,0).(1)求這個橢圓的標準方程；如果直線y= x+ m與這個橢圓交于不同的兩點，求m的取值范圍.【解】-.2b= 2 3, c= 1 ,.b= 3, a2= b2+ c2= 4.故所求橢圓的標準方程為x2 才+y= x+ m,(2)

23、聯(lián)立方程組消去y并整理得7x2 + 8mx+ 4m2 12= 0.x2 V2一一若直線y= x+ m與橢圓+ 3 = 1有兩個不同的交點，則有= (8m)2 28(4m2 12) 0,即 m2v 7,解得.7v mv 7.即m的取值范圍是(一7, 7).10.橢圓ax2 + by2= 1與直線x+ y 1= 0相交于A, B兩點，C是AB的中點，若|AB|=2 2, OC的斜率為 屮，求橢圓的方程.ax2 + by2= 1,【解】 由得(a+ b)x2 2bx+ b 1= 0.x+y=1,設(shè) A(X1, y”、B(x2, y2), 則|AB|= k2 + 1 X1 x2=.24b2 4 a +

24、 b b 1a+ b2 .：2,a+ b aba+ b=1設(shè) C(x, y)，則 x =X1 + X2y= 1 x=OC的斜率為號，1代入，得a= 3,=1.橢圓方程為3+圖 21 411. （2013亳州高二檢測）如圖2 1 4所示,已知橢圓羊+ = 1（a b 0）過點（1,于）,離心率為扌，左、右焦點分別為F1、F2點P為直線I: x+ y= 2上且不在x軸上的任意一點, 直線PF1和PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D , O為坐標原點.（1）求橢圓的標準方程；設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2.13證明：13= 2.k1 k2【解】 因為橢圓過點（1,孑），e2，11 c 2所以a2 +質(zhì)=1 a =了,又 a2= b2+ c2,所以 a= 2, b= 1, c= 1, 故所求橢圓方程為+ y2= 1.VoVo證明：設(shè)點 P(xo, yo)，貝U ki=, k2=一xo + 1xo 1因為點P不在x軸上，所以yoM o,又 xo+ yo= 2,1所以k1-3k2xo+ 1yo3 xo 1yo4 2xoyoyo敖呼涪課資源晉源廉 我區(qū)I(教師用書獨具)A備迭倒題.x2 y2f2(2o12北京高考)已知橢圓C:孑+話=1(abo)的一個頂點為 A(2,o)，離心率為 寧直線y= k(x 1)與橢圓C交于不同