初中數(shù)學(xué)尺規(guī)作圖專題講解

1、初中數(shù)學(xué)尺規(guī)作圖專題講解 張遠(yuǎn)波 尺規(guī)作圖是起源于古希臘的數(shù)學(xué)課題 . 只使用圓規(guī)和直尺，并且只準(zhǔn)許使用有限次，來解決不同的平 面幾何作圖題 . 平面幾何作圖，限制只能用直尺、圓規(guī) . 在歷史上最先明確提出尺規(guī)限制的是伊諾皮迪斯.他發(fā)現(xiàn)以下 作圖法：在已知直線的已知點上作一角與已知角相等. 這件事的重要性并不在于這個角的實際作出，而是 在尺規(guī)的限制下從理論上去解決這個問題 . 在這以前，許多作圖題是不限工具的 . 伊諾皮迪斯以后，尺規(guī)的 限制逐漸成為一種公約，最后總結(jié)在幾何原本之中 . 初等平面幾何研究的對象， 僅限于直線、 圓以及由它們 （或一部分） 所組成的圖形， 因此作圖的工具， 習(xí)慣上

2、使用沒有刻度的直尺和圓規(guī)兩種 . 限用直尺和圓規(guī)來完成的作圖方法， 叫做尺規(guī)作圖法 . 最簡單的尺 規(guī)作圖有如下三條： 經(jīng)過兩已知點可以畫一條直線； 已知圓心和半徑可以作一圓； 兩已知直線；一已知直線和一已知圓；或兩已知圓，如果相交，可以求出交點； 以上三條，叫做作圖公法 . 用直尺可以畫出第一條公法所說的直線；用圓規(guī)可以作出第二條公法所說 的圓；用直尺和圓規(guī)可以求得第三條公法所說的交點. 一個作圖題，不管多么復(fù)雜，如果能反復(fù)應(yīng)用上述 三條作圖公法，經(jīng)過有限的次數(shù)，作出適合條件的圖形，這樣的作圖題就叫做尺規(guī)作圖可能問題；否則， 就稱為尺規(guī)作圖不能問題 . 歷史上，最著名的尺規(guī)作圖不能問題是：

3、三等分角問題：三等分一個任意角； 倍立方問題：作一個立方體，使它的體積是已知立方體的體積的兩倍； 化圓為方問題：作一個正方形，使它的面積等于已知圓的面積 . 這三個問題后被稱為 “幾何作圖三大問題 ”. 直至 1837 年，萬芝爾（ Pierre Laurent Wantzel ）首先證明三 等分角問題和立方倍積問題屬尺規(guī)作圖不能問題； 1882 年，德國數(shù)學(xué)家林德曼（ Ferdinand Lindemann ）證 明n是一個超越數(shù)（即n是一個不滿足任何整系數(shù)代數(shù)方程的實數(shù)），由此即可推得根號 n即當(dāng)圓半徑r 1 時所求正方形的邊長）不可能用尺規(guī)作出，從而也就證明了化圓為方問題是一個尺規(guī)作圖不

4、能問題. 若干著名的尺規(guī)作圖已知是不可能的，而當(dāng)中很多不可能證明是利用了由19 世紀(jì)出現(xiàn)的伽羅華理論 . 盡管如此，仍有很多業(yè)余愛好者嘗試這些不可能的題目，當(dāng)中以化圓為方及三等分任意角最受注意. 數(shù)學(xué) 家 Underwood Dudley 曾把一些宣告解決了這些不可能問題的錯誤作法結(jié)集成書 . 還有另外兩個著名問題： 正多邊形作法 只使用直尺和圓規(guī)，作正五邊形 只使用直尺和圓規(guī)，作正六邊形 只使用直尺和圓規(guī)，作正七邊形 一一這個看上去非常簡單的題目，曾經(jīng)使許多著名數(shù)學(xué)家都束手 無策，因為正七邊形是不能由尺規(guī)作出的 . 只使用直尺和圓規(guī)，作正九邊形，此圖也不能作出來，因為單用直尺和圓規(guī)，是不足以

5、把一個角 分成三等份的 . 問題的解決：高斯，大學(xué)二年級時得出正十七邊形的尺規(guī)作圖法，并給出了可用尺規(guī)作圖的正多 邊形的條件：尺規(guī)作圖正多邊形的邊數(shù)目必須是 2 的非負(fù)整數(shù)次方和不同的費馬素 數(shù)的積，解決了兩千年來懸而未決的難題 . 四等分圓周 只準(zhǔn)許使用圓規(guī)，將一個已知圓心的圓周4等分這個問題傳言是拿破侖波拿巴出的，向全法國 數(shù)學(xué)家的挑戰(zhàn) 尺規(guī)作圖的相關(guān)延伸： 用生銹圓規(guī)（即半徑固定的圓規(guī)）作圖 1只用直尺及生銹圓規(guī)作正五邊形 2生銹圓規(guī)作圖，已知兩點 A、B，找出一點C使得AB BC CA. 3已知兩點A、B，只用半徑固定的圓規(guī)，求作C使C是線段AB的中點 4尺規(guī)作圖，是古希臘人按盡可能簡

6、單”這個思想出發(fā)的，能更簡潔的表達(dá)嗎？順著這思路就有了更簡潔 的表達(dá).10世紀(jì)時，有數(shù)學(xué)家提出用直尺和半徑固定的圓規(guī)作圖 1672年，有人證明：如果把 作直線 解釋為 作出直線上的2點”那么凡是尺規(guī)能作的， 單用圓規(guī)也能作出！ 從已知點作出新點的幾種情況： 兩弧交點、直線與弧交點、兩直線交點，在已有一個圓的情況下，那么凡是尺規(guī)能作的，單用直尺也 能作出！ 五種基本作圖： 初中數(shù)學(xué)的五種基本尺規(guī)作圖為: 1做一線段等于已知線段 2做一角等于已知角 3做一角的角平分線 4.過一點做一已知線段的垂線 5做一線段的中垂線 下面介紹幾種常見的尺規(guī)作圖方法： 軌跡交點法：解作圖題的一種常見方法解作圖題常歸

7、結(jié)到確定某一個點的位置 如果這兩個點的位置 是由兩個條件確定的，先放棄其中一個條件，那么這個點的位置就不確定而形成一個軌 跡；若改變放棄另一個條件，這個點就在另一條軌跡上，故此點便是兩個軌跡的交點 這個利用軌跡的交點來解作圖題的方法稱為軌跡交點法，或稱交軌法、軌跡交截法、軌 跡法 【例1】 電信部門要修建一座電視信號發(fā)射塔，如下圖，按照設(shè)計要求，發(fā)射塔到兩個城鎮(zhèn)A、B的距離 P應(yīng)修建在什么位置? G 【分析】 這是一道實際應(yīng)用題，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，根據(jù)題意知道，點 P應(yīng)滿足兩個條件，一是在線 段AB的垂直平分線上；二是在兩條公路夾角的平分線上，所以點 P應(yīng)是它們的交點 【解析】 作兩條公路

8、夾角的平分線 0D或0E ； 必須相等，到兩條高速公路 m、n的距離也必須相等，發(fā)射塔 作線段AB的垂直平分線FG ;則射線0D , OE與直線FG的交點C1 , C2就是發(fā)射塔的位置. 【例2】 在平面直角坐標(biāo)系中，點 A的坐標(biāo)是（4，0），O是坐標(biāo)原點，在直線 AOP是等腰三角形，這樣的 P點有幾個？ y x 3上求一點P，使 【解析】 首先要清楚點P需滿足兩個條件，一是點 P在y x 3上；二是 AOP必須是等腰三角形其次, 尋找P點要分情況討論，也就是當(dāng) OA OP時，以O(shè)點為圓心，OA為半徑畫圓，與直線有兩個 點R、P2 ;當(dāng)OA AP時，以A點為圓心，OA為半徑畫圓，與直線無交點；

9、當(dāng) PO PA時，作 OA的垂直平分線，與直線有一交點Pa，所以總計這樣的 P點有3個. 【例3】 設(shè)OO與OO相離，半徑分別為 R與R，求作半徑為r的圓，使其與 OO及OO外切 r 【分析】 設(shè)OM是符合條件的圓，即其半徑為r，并與OO及OO外切，顯然，點 M是由兩個軌跡確定 的，即M點既在以O(shè)為圓心以R r為半徑的圓上，又在以 O為圓心以R r為半徑的圓上，因 此所求圓的圓心的位置可確定 若OO與OO相距為b，當(dāng)2r b時，該題無解，當(dāng)2r b有唯一 解；當(dāng)2r b時，有兩解. 【解析】 以當(dāng)OO與OO相距為b , 2r b時為例: 作線段OA R r , OB R r . 分別以O(shè), O

10、為圓心，以R r , R r為半徑作圓，兩圓交于 MM?兩點. 連接OMi，OM2，分別交以R為半徑的OO于D、C兩點 分別以Mi , M2為圓心，以r為半徑作圓 OMi,OM2即為所求 【思考】若將例3改為：設(shè)OO與OO相離，半徑分別為R與R,求作半徑為r （r R）的圓，使其與OO 內(nèi)切，與OO外切 ”又該怎么作圖？ 代數(shù)作圖法：解作圖題時，往往首先歸納為求出某一線段長，而這線段長的表達(dá)式能用代數(shù)方法求出， 然后根據(jù)線段長的表達(dá)式設(shè)計作圖步驟用這種方法作圖稱為代數(shù)作圖法 【例4】 只用圓規(guī)，不許用直尺，四等分圓周（已知圓心） 【分析】設(shè)半徑為1 可算出其內(nèi)接正方形邊長為2 ,也就是說用這個

11、長度去等分圓周 我們的任務(wù)就是做 出這個長度六等分圓周時會出現(xiàn)一個 .3的長度設(shè)法構(gòu)造斜邊為,3，一直角邊為1的直角三角 形，2的長度自然就出來了 【解析】具體做法： 隨便畫一個圓設(shè)半徑為1. 先六等分圓周這時隔了一個等分點的兩個等分點距離為一3 以這個距離為半徑，分別以兩個相對的等分點為圓心，同向作弧，交于一點（兩個相對的 等分點”其實就是直徑的兩端點啦！兩弧交點與兩個相對的等分點”形成的是一個底為 2,腰 為3的等腰三角形可算出頂點距圓心距離就是 過D作DE MN，交OO于E , 以DE為一邊作正方形 DEFG 正方形DEFG即為所求 【例6】 在已知直線I上求作一點M，使得過M作已知半徑

12、為 r的OO的切線，其切線長為 Mim2 【分析】 先利用代數(shù)方法求出點 M與圓心0的距離d，再以0為圓心，d為半徑作圓，此圓與直線 I的交 點即為所求 以0為圓心，0B為半徑作圓 若此圓與直線I相交，此時有兩個交點 Mi , M2. Mi , M2即為所求 若此圓與直線I相切，此時只有一個交點 M M即為所求 若此圓與直線I相離，此時無交點即不存在這樣的 M點使得過M作已知半徑為r的O0的切 線，其切線長為a . 旋轉(zhuǎn)法作圖：有些作圖題，需要將某些幾何元素或圖形繞某一定點旋轉(zhuǎn)適當(dāng)角度，以使已知圖形與所 求圖形發(fā)生聯(lián)系，從而發(fā)現(xiàn)作圖途徑 【例7】已知：直線a、b、c ,且a II b II c

13、. 求作：正 ABC，使得 A、B、C三點分別在直線 a、b、c上. 【分析】 假設(shè) ABC是正三角形，且頂點A、B、C三點分別在直線a、b、c上.作AD b于D，將ABD 繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)60后，置于 ACD的位置，此時點D的位置可以確定從而點C也可以確定 再作 BAC 60 , B點又可以確定，故符合條件的正三角形可以作出 【解析】作法： 在直線a上取一點A，過A作AD b于點D ; 以AD為一邊作正三角形 ADD; 過D作DC AD，交直線c于C ; 以A為圓心，AC為半徑作弧，交b于B （使B與D在AC異側(cè)） 連接AB、AC、BC得 ABC ABC即為所求 【例8】 已知：如圖，P為

14、AOB角平分線OM上一點 PD，且C在0A上，D在0B上 【解析】 過P作PE OB于E. 過P作直線I II OB； PE（或 PM PE）； I ），交 0A于 C （或 C）點; 在直線|上取一點M，使得PM 過M （或M ）作MC I （或M C 連接PC（或PC），過P作PD PC （或PD PC）交0B于D （或D）點 連接 PD,CD （或 PD,CD）. 則 PCD（或 PCD）即為所求 位似法作圖：利用位似變換作圖，要作出滿足某些條件的圖形，可以先放棄一兩個條件，作出與其位 似的圖形，然后利用位似變換，將這個與其位似得圖形放大或縮小，以滿足全部條件, 從而作出滿足全部的條件

15、【例9】已知：一銳角 ABC. 求作:一正方形 DEFG，使得D、E在BC邊上，F(xiàn)在AC邊上，G在AB邊上 AA 【分析】 先放棄一個頂點F在AC邊上的條件，作出與正方形DEFG位似的正方形 DEFG，然后利用 位似變換將正方形 DEFG放大（或縮?。┑玫綕M足全部條件的正方形DEFG . 【解析】作法： 在AB邊上任取一點 G，過G作GD BC于D 以GD為一邊作正方形 DEFG，且使E在BD的延長線上 作直線BF 交AC于F 過F分別作FG II FG交AB于G ;作FE II FE交BC于E. 過G作GD II GD交BC于D. 則四邊形DEFG即為所求 面積割補法作圖： 對于等積變形的作

16、圖題，通常在給定圖形或某一確定圖形上割下一個三角形，再借 助平行線補上一個等底等高的另一個三角形，使面積不變，從而完成所作圖形 【例10】如圖，過 ABC的底邊BC上一定點, P，求作一直線I，使其平分 ABC的面積 A BPC A 【分析】因為中線AM平分 ABC的面積，所以首先作中線 AM，假設(shè)PQ平分 ABC的面積，在 AMC 中先割去 AMP，再補上 ANP 只要 NM II AP，貝U AMP 和 AMP就同底等高，此時它們的面 積就相等了 所以PN就平分了 ABC的面積 【解析】作法: 取BC中點M，連接AM , AP; 過M作MN / AP交AB于N ; 過P、N作直線I . 直

17、線I即為所求 【例11】如圖：五邊形ABCDE可以看成是由一個直角梯形和一個矩形構(gòu)成 請你作一條直線I，使直線I平分五邊形ABCDE的面積； 這樣的直線有多少條？請你用語言描述出這樣的直線. 【解析】 取梯形AFDE的中位線MN的中點0,再取矩形BCDF對角線的交點O，則經(jīng)過點O, O的 直線I即為所求； 這樣的直線有無數(shù)條設(shè)中的直線I交AE于Q，交BC于R，過線段RQ中點P，且與線段 AE、BC均有交點的直線均可平分五邊形ABCDE的面積 【例12】（07江蘇連云港）如圖1，點C將線段AB分成兩部分，如果 匹 匹，那么稱點C為線段AB的 AB AC 黃金分割點. 某研究小組在進(jìn)行課題學(xué)習(xí)時，

18、由黃金分割點聯(lián)想到黃金分割線”，類似地給出 黃金分割線”的 定義：直線I將一個面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為 s , S2，如果 邑, S S1 那么稱直線I為該圖形的黃金分割線. 研究小組猜想：在厶ABC中，若點D為AB邊上的黃金分割點（如圖2）,則直線CD是厶ABC 的黃金分割線你認(rèn)為對嗎？為什么？ 請你說明：三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線？ 研究小組在進(jìn)一步探究中發(fā)現(xiàn)：過點C任作一條直線交 AB于點E ,再過點 D作直線 DF / CE，交AC于點F ,連接EF （如圖3），則直線EF也是 ABC的黃金分割線請你說 明理由. 如圖4，點E是 ABCD的邊AB的黃金分割點，過點 E作EF /