導(dǎo)數(shù)解答題之極值點偏移問題教師版

1、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題之極值點偏移問題1. (2013湖南文21)已知函數(shù)f(x)丄二ex1 x(I )求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(n )證明:當(dāng) f (xj f (x2)(x-| x2)時，捲 x2 0.2. (2010 天津理 21)已知函數(shù) f(x) xex(x R).(I )求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(II )已知函數(shù)y g(x)的圖象與函數(shù)y f (x)的圖象關(guān)于直線x 1對稱，證明當(dāng)x 1時,f(x) g(x)(川)如果 x, x2,且 f (x,) f (x2),證明 x-i x2 2【解析】(I)解：f (x)(1 x)e x令 f (x)=0,解得 x=1當(dāng)x變化時，f (x)

2、, f(x)的變化情況如下表X(,1)1(1,)f (x)+0-f(x)極大值所以f(x)在(，1)內(nèi)是增函數(shù)，在(1,)內(nèi)是減函數(shù)函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值f(1)且f(1)=-e(I)證明：由題意可知g(x)=f(2-x),得 g(x)=(2-x)ex 2令 F(x)=f(x)-g(x), 即 F(x) xe x (x 2)ex 2于是F (x)2x 2(x 1)(e1)e當(dāng) x1 時，2x-20,從而 e2x-2 1 0,又 ex 0,所以 F (x)0,從而函數(shù) F (x)在1,+)是增函數(shù)。又 F(1)= e-1 e1 0,所以 x1 時，有 F(x)F(1)=0,即 f(x)

3、g(x).m)證明：(1)若(x-i 1)(x2 1) 0,由()及 f(x 1) f(x 2),則捲 x2 1.與x-i x2矛盾。(2)若(x-i 1)(x2 1) 0,由()及 f(x 1) f(x 2),得x1 x2.與x-i x2矛盾。根據(jù)(1)(2)得(x)1)(x21)0,不妨設(shè)x11,x21.由(U)可知，f(x 2)g(x 2),則 g(X2)=f(2-x 2)，所以 f(x 2)f(2-x 2),從而 f(x Jf(2-x 2). 因為X2 1，所以2 X2 1，又由(I)可知函數(shù)f(x)在區(qū)間(-)內(nèi)事增函數(shù)，所以X12 X2, 即 x-i x22.3. 已知函數(shù)f x

4、In x - 2 .x(1) 討論f X的單調(diào)性；(2) 若函數(shù)y f x的兩個零點為x-,x2 x- x2，證明：x1 x2 2a.試題分析：(1)首先求出函數(shù)f x的導(dǎo)函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，進(jìn) 而得出所求的結(jié)果；(2)首先由函數(shù)y f x的兩個零點為x!,x2 x1 x2并結(jié)合(1)可得 0vX1V av X2，然后構(gòu)造函數(shù)g(x) = f (x) f (2 a-x)，并利用其導(dǎo)函數(shù)求出其函數(shù)的單調(diào) 性，進(jìn)而得出所證的結(jié)果.1 ax 一 a試題解析：(I) f (x) 丁 =， ( x 0)，所以當(dāng) a 0，f (x)在ZVZVZV(0，+ )上單調(diào)遞增；當(dāng)a0時，f

5、(x)在(0，a)上單調(diào)遞減，在(a，+x)上單調(diào)遞增.(U)若函數(shù)y= f(x)的兩個零點為X-，X2(X- vX2)，由(I)可得0vx-vavX2.令g(x)1 1=f (x) f (2a x)， (0v xv a)則 g (x) = f (x) + f (2 a x) = (x a) 2 a X)2v0, 所以 g(x)在(0，a)上單調(diào)遞減，g(x) g(a) = 0，即 f (x) f (2a x).令 x = x-va，貝U f (X-) f (2a X-)，所以 f(X2) = f (X-) f (2 a x-)，由(I)可得 f (x)在(a，+ )上單 調(diào)遞增，所以 X22

6、a X1，故 X1 + X2 2a.k4. (2016福州五校下學(xué)期第一次聯(lián)考)已知函數(shù)f(x) xlnx (k R )，其圖象與x軸交于不同的兩點A(x- ,0)， B(X2,0)，且 X-X2 .(1)求實數(shù)k的取值范圍;(2)證明:x1x2a 2x a(a R )在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點.5.已知函數(shù)f x xlnxx22(I)求a的取值范圍;(n)設(shè)f(x)兩個極值點分別為人公2，證明* X2e2解：(I )依題，函數(shù)f (x)的定義域為(0,所以方程f (x)0在(0,)有兩個不同根.即，方程ln x ax 0在(0,)有兩個不同根令 g(x)lnx ax,從而轉(zhuǎn)化為函數(shù) g(

7、x)有兩個不同零點,而 g (x)可見g (x) 0在(0,)上恒成立，所以g(x)在(0,)單調(diào)增,此時g(x)不可能有兩個不同零點1 10，在 0 x 時，g (x)0，在 x 時，g (x)a所以1g(x)在(0,)上單調(diào)增，在a(-,a)上單調(diào)減,從而g(x)極大11g()In -aa又因為在0 時，g(x),在在x時,g(x)，于是只須:g(x)極大即In1 10，所以0 aa綜上所述,即 In xiax1 ,In x2ax2,設(shè)x1 X2，作差得，互a%X2),即aInX2 .7分2%X2原不等式x-i x22e等價于In x1In x22a x1x22Inx12xX28分xX1X

8、2令魚t，則t1，沁2x-iX2Int2t 19分()由(I)可知xx?分別是方程lnx0的兩個根,axxt 1x2xx211IntTV,tg t10分函數(shù)g t在1, 上單調(diào)遞增,g t g 10,t 1即不等式Int 二一成立，11分t 1故所證不等式為X2 e2成立.12分 6 已知函數(shù) f(x) In x - , g(x) ax b .X(1) 若函數(shù)h(x) f(x) g(x)在(0,)上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；(2) 若直線g(x) ax b是函數(shù)f (x) In x -圖象的切線，求a b的最小值；x(3) 當(dāng)b 0時，若f (x)與g(x)的圖象有兩個交點Agy , BX

9、y)，求證：捲x 2e2.【答案】(1) a 0 ; ( 2)1 ; ( 3)證明見解析.【解析】試題分析：(1)借助函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)值是非負(fù)數(shù)建立不等式求解；(2)將參數(shù)a,b用切點的橫坐標(biāo)表示，再借助導(dǎo)數(shù)求最小值；(3)先分析轉(zhuǎn)化再構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(2)設(shè)切點為(x0,y0)，則a丄x0又 ax0 b In x0b In x(5進(jìn)行推證.試題解析：(1)h(x) f(x)g(x) (ln x丄)(ax1b) In xax b，xx11h (x)- a .xxh(x)在(0,)上單調(diào)遞增，(0,)，h(x)1x二a 0恒成立x即(0,)，aA- 恒成立xx min令H(x)12

10、x1x(2)2 4，x 0，1-0，xx 0 時，H(x) 0， a 0.In Xo令(X)丄In X 1，則(X)11 1(X 2)(X1)323XXXXXX當(dāng)(x) 0 時，x (1,)，所以(X)在(1,)上單調(diào)遞增;2 xoxo當(dāng)X 1時，(X)取得最小值，為1，即a b的最小值為1In x11ax1(3)證明：由題意得X1dIn x21ax2X2+得：X1 X2In (X1X2)a(x1X2)X1X2心得：InX2X1X2a(X2x1)，即X11aX1X1X2X2 X1X1X2In_X2代入得：In (X1X2)X1X2(X1)(X1X2)，X1X2X2X1X1X2當(dāng)(x) 0時，x

11、 (0,1),所以(x)在(0,1)上單調(diào)遞減即卩 In(x1x2)2(X1X2)X1X2 . InX2X1X2X2X1X1不妨令0X1 X2，記tX21，X1令 F(t)Int2(t4 1)，則F (t)(t 1)20t1t(t 1)F(t)Int2(t在(1,)上單調(diào)遞增，則F(t) Int 竺衛(wèi)F(1) 0，t1t 1Int2(t1)故 In X22(X2X1)t1X1X1X2In (X1X2)2(X1X2)X1X22 In生2X1X2X2X1X1又 In(XrX2) 2XX2) |n( XrX2)* 1 22InJXX7j 4X1X2X1X2v;x1x22ln x1x24即 In .

12、x1x22令G(x) Inx -，貝卩x 0時，G (x)丄尋 0 ,XX XG(x) Inx -在(0,)上單調(diào)遞增，x又In壓丄 1ln2 1 蘭 0.83 1 J2e 2eG(. X1X2)InX1X2XiX2.X1X2、 2e考點：導(dǎo)數(shù)及在研究函數(shù)的單調(diào)性最值中的應(yīng)用.17.(2017屆武昌區(qū)元月調(diào)考理科數(shù)學(xué))已知函數(shù)f(x) - X2 (1 a)X a Inx2(1)討論f (x)的單調(diào)性；f(a x)；(2)設(shè) a 0，證明：當(dāng) 0 x a 時，f (a x)(3)設(shè)X1,x2是f(x)的兩個零點，證明： f(也 X2) 0.28 已知函數(shù)f (x) xl nx a x2 x a

13、(a R)在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點.2(1) 求a的取值范圍；(2) 記兩個極值點分別為x1, x2，且x1x2 .已知0 ,若不等式e1x1x2恒成立，求 的范圍.試題解析：(1)依題，函數(shù)f(x)的定義域為(0,)，所以方程f (x) 0在(0,)有兩個不H同根，即，方程Inx ax 0在(0,)有兩個不同根.轉(zhuǎn)化為，函數(shù)g(x) 與函數(shù)y a的圖像在(0,)上有兩個不同交點.x又 g (x)1 鑒，即 0 X e 時，g (x) 0, X e時，g (x) 0，x所以g(x)在(0, e)上單調(diào)增，在(e,)上單調(diào)減.從而g (x)最大g (e)-，e又g(x)有且只有一個零點是1

14、,且在x 0時，g(x) ，在x 時，g(x) 0，所以g(x)的草圖如下,)上有兩個不-同交點，只須0 a1e可見，要想函數(shù)g(x) 噸與函數(shù)y a的圖像在(0,x(2)因為e1X1 x2等價于1 In X1Inx?.由(1)可知X1,x分別是方程In x ax 0的兩個根，即 In 捲ax2,ln x2ax2，所以原式等價于1ax.,ax2 a(x.|x2)，因為 0,0x1x2，所以原式等價于a1XiX2又由 In Xi axi,ln X2 ax2 作差得,X2a(xiX2)，即 aX2XiX2所以原式等價于X2X-IX2iXiX2因為0XiX2，原式恒成立，即In晝X2(i)(Xi X

15、2)恒成立.X-IX2令11,t (0i),則不等式lnt亠嚴(yán)在t(0,i)上恒成立.令 h(t) Int (i t)(t ，又 h(t)i (i)2t (t)2(t i)(t 2)t(t )2當(dāng)2 i時，可見t (0,i)時，h(t)0 ,所以h(t)在t (0,i)上單調(diào)增，又h(i) 0，h(t) 0 在t (0,i)恒成立，符合題意.當(dāng) 2 i 時，可見 t (0, 2)時，h(t) 0,t ( 2,i)時，h (t) 0，所以h(t)在t (0, 2)時單調(diào)增，在t ( 2,i)時單調(diào)減，又h(i) 0，所以h(t)在t (0,i)上不能恒小于0,不符合題意，舍去.綜上所述，若不等式

16、eiXi X2恒成立，只須2 i，又 0，所以 i.9已知函數(shù)f x Inx X2ax , x-x是函數(shù)f x的兩個零點，且x- x ,(i)討論函數(shù)f x的單調(diào)性;(2)求a的取值范圍;(3) 設(shè)f x是函數(shù)f x的導(dǎo)函數(shù)，求證f * 立 02試題分析：(1)討論單調(diào)性，先導(dǎo)數(shù)f(x)，然后解得方程f(X0)0在(0,)上的解X0，通過f(x)的正負(fù)確定f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2) 由( 1)知X。是f(x)的極大值點，因此只要f(x。) 0 ,就能保證f (x)有兩個零點，注意到a2X021X0,因此可由f(Xo) 0求得X。的取值范圍,再求得a范圍；(3 )首先由 f (x1) f (x2

17、) 0 , 用x1,x2表示出a , 再X1x22xi2X2xiX2a并整理得2 X2X1- x2X2In 乞匕生,此時會發(fā)現(xiàn)只X2 X2 x2x1x1x2InX2X1此式證明可用換元法，設(shè)X11，再利用函數(shù)的性質(zhì)證明.試題解析:(1)1 2x2 ax 2x a2xo0，則 2X02ax。1=0 , X。0,X0 時，f X0 , f x單調(diào)遞增;X0,時，f x 0, f x單調(diào)遞減(2)由于函數(shù)f x存在兩個零點,f X max 0由(G可知f Xmaxf x0 =ln x0x02 ax0，且 a2x21X0由于 g X0In X0X00,+為增函數(shù)，且0,X02=2X0X0X0所以a的取

18、值范圍是1,+方法二：函數(shù) f XIn x即方程 In xax0有兩個實數(shù)根，即X aIn-有兩個實數(shù)根，設(shè)g XXP x2 X1 In x, p 10,且pX2 X1In xX0,1時，p X X2 1In x0,gX0 ,X 1,時，p X X2 1In x0,gX0 ,(3)由于、X1,X2是函數(shù)f X的兩i個零.占八、7且X1X2單調(diào)遞增,2 Xg x單調(diào)遞增g X單調(diào)遞減ax有兩個零點,x2In xX2x 1 In x2,設(shè)x所以，Inxi xi2 ax10,ln x2ax20兩式相減得：X22 2InX2X|aX1X2X1要證明f 為X20 只需證2X2X1L/ )丿、 ij k

19、11 亠2X1X2設(shè)電t 1,X1構(gòu)造函數(shù)h t Int2t 1t10, a x2x-!X2為2竺1.X2In -X10,即只需證In竺X1X1X 1X1,h t214t 1022t t 1t t 1h t在1,+ 單調(diào)遞增,2 t 1h t Inth 10t 1XXiXiX2X1考點：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.10. ( 2014襄陽市三月考試) 已知函數(shù)f(x) alnx x2 .(1) 當(dāng)a 2時，求函數(shù)y f (x)在1,2的最大值；(2) 令g(x) f (x) ax，若y g(x)在區(qū)間(0, 3)上不是單調(diào)函數(shù)，求 a的取值范圍；(3) 當(dāng)a 2時，函數(shù)h(x) f (

20、x) mx的圖象與x軸交于兩點A(X1,O)，B(X2,O)，且0為x?，又h(x)是h(x)的導(dǎo)函數(shù).若正常數(shù) ，滿足條件1,，證明：h(ax1X2)0 .2解：當(dāng) a = 2 時，f(X)2 2x 2 攵XX函數(shù)y二f (x)在才，1是增函數(shù)，在1，2是減函數(shù)3分所以 f(X)maxf(1) 2In X 1 二-14 分解：g(x) alnx X2ax，. g (x)旦 2x a5 分X g ( X)因為在區(qū)間(0，3)上不是單調(diào)函數(shù)， g(x) 0在(0，3)上有實數(shù)解，且無重根 由 g (X) 0 得：2X2-ax-a = 0，有 a 仝 2(x 1 丄)4(0, ?)，x (0，3)

21、6 分X 1x 12又當(dāng)a=-8 時，g (x)0有重根X =-2; a = 0時，g (x)0有重根x = 07分綜上，a的取值范圍是9(0，-).8分解:當(dāng)a = 2時，2h(x) -1n x xmx , h (x)-2x mX h ( X) = f ( X) -mx的圖象與 X 軸交于兩點 A(Xi, 0), B(X2, 0) f ( x) - mx= 0 有兩個實根 xi、X2,2InXi Xi：仆0，兩式相減得:2 In x2 x2 mx2022(ln X!In x2)化x；)m(x1X2)2(ln x1In x2)(XiX2)XiX2于是h ( XiX2)只X22( xi2(In

22、xiIn X2)X2)xix2(XiX2)1,要證:h( XiX2)只需證:XiX2XiX222(In xiXX22 w i (20，只需證:In 魚 0(*) X2令t t(0 t i 口 口 t，即(2 2iiu (t)t ( ti)上單調(diào)遞增，0 ,即卩XiXiX2X2)2i20u ( t) u (i) = 0i3xiIn0X2i4f (x) In x mx(m為常數(shù)).(I)討論函數(shù)f(X)的單調(diào)區(qū)間;(n)當(dāng) m322時，設(shè)g(x) 2f (x) x2的兩個極值點Xi,X2)恰為 h(x) In x ex2 bx的零點，求xix2y (xi X2)h(=2)的最小值2i i mx,

23、f (x) m(x 0)，分 mxx解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(n)求出 g x和h x的導(dǎo)數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理和函數(shù)的零點的定義,試題分析:(I)求解0, m 0, m0三種情況分類討論求化簡整理，構(gòu)造新函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的的單調(diào)性，即可求解最小值.x試題解析：(I) f (x)1 mx當(dāng)m 0時,1由1 mx 0解得x m由1 mx 0解得x 1m當(dāng)m 0時,即當(dāng)0 x丄時，f (x)0, f x單調(diào)遞增;m即當(dāng)x 1時，f (x) 0, f x單調(diào)遞減.m1f (x) = -0，即f x在(0, +x)上單調(diào)遞增;x當(dāng) m 0 時，1 mx 0，故 f (x)0，即f x在(0, +x)上單調(diào)遞

24、增.(n) g(x) 2f(x) x22ln x 2mx x2 ,則 g (x)2(x2 mx 1)x+x);當(dāng)m 0時，f x的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,丄)，單調(diào)遞減區(qū)間為m當(dāng)m 0時，f x的單調(diào)遞增區(qū)間為(0, +x).g (x)的兩根x1 , x2即為方程x2 mx 1 0的兩根.3.2x(X2m ,x1x21 .又X1, X2為 h(x)In xcx2 bx 的零點，In -0，得 b=xX2),x1 x2In x( ex； bx10, Inx2ex； bx20,兩式相減得In e x1x2x?b x-ix2X2而 h (x)-X2ex b ,二 y= (X1X2)2X1X2e(x1X2

25、) b2X2e(x1 X2)X2e(x1 X2)魚12&_x2) In 呂=2 x In -lX1 X2X2X X2 X2令壘 t ( 0 t 1),X2由 x1 x2 2 m2得 X； x； 2x,X2 m2 ,因為x1x2 1，兩邊同時除以X1X2，得t 1 2 m2 ,m LZ，故 t 15，解得t 2,A 0t 0,恒有 f(x) x 成立，即 ln x - x 1,-2x記 h( x) =, Hz (x)，XX(1)-對任意x0成立,2當(dāng) x (0,e2),H /(x)0, H(x)單增；當(dāng) x (e2,),H/(x)2 10, H(x)單減；H (x)最大值為H (e2)2，eg

26、x ln x ax 0有兩個不同的實數(shù)根.當(dāng)a 0時，g x單調(diào)遞增,g x0不可能有兩個不同的實根;當(dāng)a 0時，設(shè)hXln xax, h x1 axX當(dāng)01x 時，haX0，hx單調(diào)遞增；當(dāng)X1丄時，h xa0，h x單調(diào)遞減；h1ln a 10，.01 a -，-8分(2)函數(shù)g xXX有兩個相異的極值點 X1,X2，即ae不妨設(shè) x2x10，: g x1g x20, InX2ax20,In 為a0,In X2In x1a x2x1先證11 2，X2即證In x2In x-iX2 X1即證In x22 2x X1X2X1In x1InX2X2x1x2X12xx22X1X2令tX21，即證I

27、n t11 t -t，設(shè)1t In tt219分X12t，則t2tt2 1t1 250，函數(shù)t在1,單調(diào)遞減，t10，112，2t2tIn x1In x21又 0 a ，ae 1 ,e1In x11In x22ae12分考點：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、最值，導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.13.已知函數(shù)f(x)xln x,g(x)內(nèi)有且僅有一個零點;(1)記F(x) f(x) g(x)，求證：函數(shù)F(x)在區(qū)間(1,(2)用min a,b表示a, b中的最小值，設(shè)函數(shù)h(x) mi nf(x),g(x)，若關(guān)于x的方程h(x) c (其 中c為常數(shù))在區(qū)間(1,)有兩個不相等的實根 冷必&1 X2)，記F(x)在(1,)內(nèi)的零點為X。， 試證明：.工上xo214. 已知函數(shù) f (x) aln (x 1) b(x 1) 2(a 0),g(x) (x a)2，且 f(0) g(0),(1) 求曲線y f(x)在點(0, f(0)處的切線方程；(2) 設(shè)G(x) g(x 1) f (x 1) c(c R)有兩個零點捲風(fēng)僥 x?)，且x.,x,X2成等差數(shù)列，記G(x)是G(x)的導(dǎo)