換元法計(jì)算三重積分

1、第三節(jié) 三重積分 換元法計(jì)算三重積分換元法計(jì)算三重積分 一、柱面坐標(biāo)求三重積分 二、球面坐標(biāo)求三重積分 回顧回顧 三重積分的概念三重積分的概念 類(lèi)似二重積分解決問(wèn)題的思想, 采用 kkkk v),( ),( kkk k v 引例引例: 設(shè)在空間有限閉區(qū)域 內(nèi)分布著某種不均勻的 物質(zhì),),(Czyx求分布在 內(nèi)的物質(zhì)的 可得 n k 1 0 lim M “分割分割, 近似近似, 求和求和, 取極限取極限” 解決方法解決方法: 質(zhì)量 M . 密度函數(shù)為 定義定義. . 設(shè) ,),( , ),(zyxzyxf kkk n k k vf ),(lim 1 0 存在,),(zyxf vzyxfd),(

2、稱(chēng)為體積元素體積元素, vd.dddzyx 若對(duì) 作任意分割任意分割: 任意取點(diǎn)任意取點(diǎn) 則稱(chēng)此極限為函數(shù)在上的三重積分三重積分. 在直角坐標(biāo)系下常寫(xiě)作 ),2,1(nkvk,),( kkkk v 下列“乘 積和式” 極限 記作記作 1. 利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分 方法方法1 . 投影法 (“先一后二”) 方法方法2 . 截面法 (“先二后一”) ,0),(zyxf先假設(shè)連續(xù)函數(shù) 并將它看作某物體 通過(guò)計(jì)算該物體的質(zhì)量引出下列各計(jì)算 最后, 推廣到一般可積函數(shù)的積分計(jì)算. 的密度函數(shù) , 方法: 方法方法1 . 1 . 投影法 (“先一后二”) 找 及在 面投影區(qū)域D。

3、過(guò)D上一點(diǎn) “穿線(xiàn)”確定 的積分上下限，完成了“先一”這一步（定積分）；進(jìn)而按照 二重積分的計(jì)算步驟計(jì)算投影區(qū)域D上的二重積分，完成”后 二“這一步。 xoy( , )x yz 2 1 ( , ) ( , ) d d( , , )d zx y Dzx y x yf x y zz vzyxfd),( c d 方法方法2. 2. 截面法截面法 (“(“先二后一先二后一”) ) ( ,) : z x yD czd 為底, d z 為高的柱形薄片質(zhì)量為 z D以 x y z 該物體的質(zhì)量為 vzyxfd),( b a Z D yxzyxfdd),( Z D b a yxzyxfzdd),(d zd z

4、 z D z D yxzyxfdd),( zzyxfd),( 面密度 zd 記作 o x y z 2. 2. 利用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分利用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分 ,R),( 3 zyxM設(shè),代替用極坐標(biāo)將yx),z（則 就稱(chēng)為點(diǎn)M 的柱坐標(biāo). z 20 0 siny zz cosx 直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系: 常數(shù) 坐標(biāo)面分別為 圓柱面 常數(shù)半平面 常數(shù)z 平面 o z ),(zyxM )0 ,(yx 如圖所示, 在柱面坐標(biāo)系中體積元素為，在二重積分的 時(shí)候我們講過(guò)極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化 面積微元為 z zd d d zvdddd 因此 zyxzyxfddd),( ),(zF 其中),sin,cos(),(z

5、fzF 適用范圍適用范圍: 1) 積分域積分域表面用柱面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡(jiǎn)單方程簡(jiǎn)單 ; 2) 被積函數(shù)被積函數(shù)用柱面坐標(biāo)表示時(shí)變量互相分離變量互相分離. zddd x y z o d d dd d 體積微元 其中為由 例例1. 1. 計(jì)算三重積分 zyxyxzddd 22 xyx2 22 0),0(, 0yaazz所圍 解解: 在柱面坐標(biāo)系下: cos2 0 2 d dcos 3 4 2 0 3 2 a cos20 2 0 az 0 及平面 2 a x y z o 2 0 d a zz 0 d zzddd 2 原式 3 9 8 a 柱面 cos2 成半圓柱體. 先二后一 o o x y z 例

6、例2.2. 計(jì)算三重積 分 解解: 在柱面坐標(biāo)系下 h : 2 4 d r h z h dh 2 0 2 2 ) 4 ( 1 2 4)41ln()41( 4 hhh hz h20 20 h2 0 2 d 1 2 0 d , 1 ddd 22 yx zyx zyx4 22 )0( hhz 所圍成 . 與平面 其中由拋物面 2 4 原式 = 2 22 4 1 d d 1 h r D x ydz xy 例例3. 3. 計(jì)算三重積分 ,)( 222 zdydxdzyx 22 yxz為錐面 2222 Rzyx 解解: 在柱面坐標(biāo)系下 : zyxzyxddd)( 222 所圍立體. 0 2 R 222 z

7、R 20 其中 與球面 22 22 (z ) d R z )22( 5 1 5 R 2 0 dr R 2 0 d x y z o 4 Rr 注：這個(gè)式子雖容易寫(xiě)出，但是要 求積分結(jié)果非常難，我們能不能找 到更加簡(jiǎn)便的方法來(lái)研究這道題目 呢？ 3. 3. 利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分 ,R),( 3 zyxM設(shè)),(z其柱坐標(biāo)為 就稱(chēng)為點(diǎn)M 的球坐標(biāo). 直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系 ,ZOM M o x y z z r ),(r則 0 20 0rcossinrx sinsinry cosrz 坐標(biāo)面分別為 常數(shù)r 球面 常數(shù) 半平面 常數(shù) 錐面 , rOM 令 ),(rM sinr

8、cosrz x y z o 如圖所示, 在球面坐標(biāo)系中體積元素為 d d r rd dddsind 2 rrv 因此有 zyxzyxfddd),( ),(rF 其中 )cos,sinsin,cossin(),(rrrfrF 適用范圍適用范圍: 1) 積分域積分域表面用球面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡(jiǎn)單方程簡(jiǎn)單; 2) 被積函數(shù)被積函數(shù)用球面坐標(biāo)表示時(shí)變量互相分離變量互相分離. dddsin 2 rr d 例例5. 5. 計(jì)算三重積分 ,)( 222 zdydxdzyx 22 yxz為錐面 2222 Rzyx 解解: 在球面坐標(biāo)系下 : zyxzyxddd)( 222 所圍立體. 4 0 Rr 0 20 其

9、中 與球面 dddsind 2 rrv R rr 0 4 d )22( 5 1 5 R 4 0 dsin 2 0 d x y z o 4 Rr 這種方法簡(jiǎn)單多了！ 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) zyxddd zddd dddsin 2 rr 積分區(qū)域多由坐標(biāo)面 被積函數(shù)形式簡(jiǎn)潔, 或 坐標(biāo)系 體積元素 適用情況 直角坐標(biāo)系 柱面坐標(biāo)系 球面坐標(biāo)系 * * 說(shuō)明說(shuō)明: 三重積分也有類(lèi)似二重積分的換元積分公式換元積分公式: ),( ),( wvu zyx J 對(duì)應(yīng)雅可比行列式為 * ddd),(ddd),(wvuJwvuFzyxzyxf 變量可分離. 圍成 ; （1）若空間閉區(qū)域關(guān)于平面 對(duì)稱(chēng), 即 即被積函

10、數(shù)關(guān)于z為偶函數(shù)時(shí) ， xoy ( , , ), ( , ,),x y zVx yzV ( , , )0 V f x y z dxdydz ( , ,)( , , )f x yzf x y z 即被積函數(shù)關(guān)于z 為奇函數(shù)時(shí), 則當(dāng) ( , ,)( , , )f x yzf x y z 當(dāng) 1 ( , , )2( , , ) VV f x y z dxdydzf x y z dxdydz 其中 是 位于 平面上側(cè)的部分. 1 V Vxoy 積分區(qū)域關(guān)于其它坐標(biāo)平面： ,yoz zox 對(duì)稱(chēng)，且被積 函數(shù)分別是 的奇、偶函數(shù)，也有上述類(lèi)似的結(jié)論 , ,x y 一、利用空間區(qū)域的對(duì)稱(chēng)性或被積函數(shù)的奇

11、偶性 計(jì)算三重積分 （2）若空間區(qū)域具有輪換對(duì)稱(chēng)性，即 ( , , ), ( , , ),( , , ),x y zVy z xz x yV 111 ( , , )( , , )( , , )( , , )f x y zf x y zf y z xf z x y 1 1 ( , , )3( , , ). VV f x y z dxdydzf x y z dxdydz 則 也就是三字母輪換積分區(qū)域不改變， z o x y 2 4. 設(shè)由錐面 22 yxz和球面4 222 zyx 所圍成 , 計(jì)算.d)( 2 vzyxI 提示提示: 4 利用對(duì)稱(chēng)性 vzyxd)( 222 vzxzyyxzyxId)222( 222 用球坐標(biāo) rr d 4 2 0 dsin 4 0 2 0 d 2 2 1 5 64 2. 計(jì)算 ,ddd)sin5( 2222 zy