【2019年整理】微分中值定理有關(guān)證明

1、例 1 設(shè) f(x)在0 , 3上連續(xù)，在(0, 3)內(nèi)可導(dǎo)，且 f(0) f (1) f (2) = 3 , f (3) =1. 試證：必存在(0, 3)，使f)= 0 至少存在一點(diǎn)c 0, 2使得 證： f(x)在0, 3上連續(xù)， f(x)在0, 2上連續(xù)，且有最大值 M和最小值m . 于是m乞f (0)三M ； m三f (1)乞M ； m三f (2)乞M，故 l-f(0) f (1 f(2)r M .由連續(xù)函數(shù)介值定理可知, 3 1 f(c) f(0)f(1) f (2) =1，因此 f(c) = f (3)，且 f (x)在c，3上 連續(xù)，(c，3) 3 內(nèi)可導(dǎo)，由羅爾定理得出必存在(

2、c, 3)(0,3)使得)= 0。 例 2 設(shè) f (x)在0，1上連續(xù)，(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且 3.2 f(x)dx 二 f(0) 3 求證：存在：(0,1)使f( J = 0 2 證：由積分中值定理可知，存在,1，使得 3 1 2 .2 f (x)dx = f(c)(1) 得到 1 f(c3 2 f(x)dx 二 f(0) 3 對f (x)在0，c上用羅爾定理，(三個(gè)條件都滿足) 故存在 (0,c)(0,1)，使 f ( ) = 0 丄 例3設(shè)f (x)在0,1上連續(xù)，(0, 1)內(nèi)可導(dǎo)，對任意k 1，有f (1 k. kxe1f (x)dx， 求證存在(0,1)使 f ( ) = (1-

3、)f() 1 證：由積分中值定理可知存在c 0, 1 使得 Ue1 f (x)dx二ce1 f (c)(丄-0) k 0k 令 F(x)二 xe1f (x)，可知 F(1) = f(1) 1 這樣 F(1)= f(1) =k :xef (x)dx 二 cd =F(c),對 F(x)在c,1上用羅爾定理 (三個(gè)條件都滿足)存在(c, 1) (0,1)，使 F (0 而 F (x) =e1 f (x) -xe1 公 f (x) xe1 f (x) 二 F( ) = ef ( )(1f() 又 e1-。，則 f ( H(1)f() 在例3的條件和結(jié)論中可以看出不可能對f(x)用羅爾定理，否則結(jié)論只是

4、f ( J = 0 , 而且條件也不滿足。因此如何構(gòu)造一個(gè)函數(shù)F(x)，它與f (x)有關(guān)，而且滿足區(qū)間上羅爾 定理的三個(gè)條件，從 F)=0就能得到結(jié)論成立，于是用羅爾定理的有關(guān)證明命題中，如 何根據(jù)條件和結(jié)論構(gòu)造一個(gè)合適的F (x)是非常關(guān)鍵，下面的模型I,就在這方面提供一些 選擇。 模型I :設(shè)f (x)在a, b上連續(xù)，(a, b)內(nèi)可導(dǎo)，f(a)二f(b) = 0則下列各結(jié)論皆成立。 (1) 存在-(a,b)使 f ( J If ( J =0 ( l 為實(shí)常數(shù)) (2) 存在 廠(a,b)使f (；) kjf (；) =0 ( k為非零常數(shù)) (3) 存在 汀(a,b)使 f (J *

5、 g( 3)f(l) =0 ( g(x)為連續(xù)函數(shù)) 證：(1)令F(x)=elxf(x)，在a, b上用羅爾定理 / F (x) -lelx f (x) elx f (x) 存在 吩 f( fcF ( 3) =0 G(蘆) 清去因子eG(3)，即證。 1 例4設(shè)f(x)在0,1上連續(xù)，在(0, 1 )內(nèi)可導(dǎo)，f(0)=f(1)=0, f(-1，試證: 2 1 (1) 存在(一，1)，使 f ()二。 2 (2) 對任意實(shí)數(shù) 存在二(0,)，使得f)- f(J - J =1 證明：(1 ) 令：(x)二f (x) - x ，顯然它在0,1上連續(xù)，又 111 (1) - -1 ：0, ：( )0

6、，根據(jù)介值定理，存在(一，1)使;:J ( )=0 即 f() 222 (2)令 F(x)二 ex ”(x) 二ef(x) _x，它在0,上滿足羅爾定理的條件，故存 在：(0,)，使 F)=0，即 e f- f - 1-譏0 從而()-，()=1 (注：在例 4 (2)的證明中，相當(dāng)于模型1中(1)的情形，其中I取為- ，f (x)取為 ：(x)二 f (x)X) 模型n：設(shè)f (x) , g(x)在a,b上皆連續(xù)，(a,b)內(nèi)皆可導(dǎo)，且f (a) = 0, g(b) = 0 , 則存在 (a, b)，使 f ( )g( ) f( )g( ) = 0 證：令F (x) = f (x)g(x)，

7、則F(a)=F(b)=0，顯然F(x)在a, b上滿足羅爾定理的條 件，則存在：(a,b)，使F)=0，即證. 例5設(shè)f(x)在0, 1上連續(xù)，(0, 1 )內(nèi)可導(dǎo)，f(0)=0, k為正整數(shù)。 求證：存在 (0,1)使得f ( ) kf( f () k 證：令 g(x) = (x -1) , a = 0, b = 1，則 f (0) = 0 , g(1) = 0 ,用模型 n,存在 -三(0,1)使得 f ( )( -1)k k( 一 1)kf( )=0 故 f ( )(-1) kf( ) = 0 則 f ( ) kf( f () 例 6 設(shè) f (x), g(x)在(a, b)內(nèi)可導(dǎo)，且

8、f (x)g(x) = f (x)g (x),求證 f (x)在(a, b)內(nèi)任 意兩個(gè)零點(diǎn)之間至少有一個(gè)g(x)的零點(diǎn) 證：反證法：設(shè) a 為 VX2 vb , f (xj =0 , f(X2) = 0而在(xX2)內(nèi) g(x)式 0 , 則令F (x)二丄兇在x1, x2 上用羅爾定理 g(x) ；f (xj =f(X2) =0,F(xJ=0, F(X2)0 g(xjgg) (不妨假設(shè)g(xj = 0, g(x2)= 0否則結(jié)論已經(jīng)成立) 則存在：(X1,X2)使F(J=0，得出f (Jg(J-f)g)= 0與假設(shè)條件 矛盾。所以在(xx2)內(nèi)g(x)至少有一個(gè)零點(diǎn) 例 7 設(shè) f (x)

9、, g(x)在a, b二階可導(dǎo)，且 g (x) = 0，又 f (a)二 f (b) = g(a)二 g(b) = 0 求證：(1)在(a, b )內(nèi) g(x) = 0 ； (2)存在.-(a, b)，使丄4)=牛) g (-) g(-) 證：(1)用反證法，如果存在(a, b)使g(c)=0，則對g(x)分別在a,c和c,b 上用羅爾定理，存在 x (a, c)使g(xi)=O，存在x (c, b)使g(x2) = 0, 再對g (x)在xi, X2 上用羅爾定理存在X3 (Xi,X2)使g(X3)=0與假設(shè)條 件g(x)=O矛盾。所以在(a, b)內(nèi)g(x) = 0 (2)由結(jié)論可知即f)

10、g( J-f( Jg() =0，因此 令 F (x) = g(x)f (x) - g(x) f (x)，可以驗(yàn)證 F (x)在a, b上連續(xù)，在(a, b) 內(nèi)可導(dǎo)，F(xiàn) (a)二F(b)二0滿足羅爾定理的三個(gè)條件 故存在I三(a, b)，使F () = 0 于是 f ( )g( )-f( )g ()二。成立 例8設(shè)f (x)在0,3 1上連續(xù)，(0 ,3)內(nèi)二階可導(dǎo)，且 2 2f(0) f(x)dx 二 f(2)f(3) (I) 證明存在心10,2 1使f = f 0 (II) 證明存在；二. 0,3 使 f ”=0 證：(I)由積分中值定理，存在0,2 1， 2 使 0 f xdx = f 2-0 故存在 0,2 1使2f 0 =2f 即f譏產(chǎn)f 0 f f2 f f3 (n)由 2f 0 = f 2 f 3，可知f0 , 2 / f x在12,3 1上連續(xù)由價(jià)值定理可知存在1.2,3 1,使f c二f 0 ,