曲面及其方程

1、1 2 1 空間直角坐標(biāo)系 2 兩矢量和在軸上的投影 3 矢量積的分配律的證明 4 混合積的幾何意義 5 一般柱面 F(x,y)=0 6 一般柱面 F(y,z)=0 7 橢圓柱面 8 雙曲柱面 9 拋物柱面 10 旋轉(zhuǎn)面的方程 11 雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面 12 單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面 13 旋轉(zhuǎn)錐面 14 旋轉(zhuǎn)拋物面 15 環(huán)面 16 橢球面 17 橢圓拋物面 18 雙曲拋物面 19 雙曲面的漸近錐面 20 單葉雙曲面是直紋面 21 雙曲拋物面是直紋面 22 一般錐面 23 空間曲線圓柱螺線 24 空間曲線在坐標(biāo)面上的投影 25 空間曲線作為投影柱面的交線(1) 26 空間曲線作為投影柱面的交線(2) 27

2、 作出平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所圍成的立體圖形 3 28 圖形 所圍立體作出曲面0, 0, 0, 222222 zyxazxyx，a 29 形在第一卦限所圍立體圖平面 azyx,az,ay,ax 30 . 1 1 2222 所圍立體圖形和 作出曲面zyxyxz 4 八個(gè)卦限八個(gè)卦限 z y x 0 1. 5 八個(gè)卦限八個(gè)卦限 z y x 0 . 1. 6 八個(gè)卦限八個(gè)卦限 z y x 0 M x y N z (x,y,z) M (x,y,z) 點(diǎn)的坐標(biāo)點(diǎn)的坐標(biāo) . 1. 7 0 z y x 0 M x y N z (x,y,z) (x

3、,y,z) 坐標(biāo)和點(diǎn)坐標(biāo)和點(diǎn) M 1. . 8 0 z y x 0 N M點(diǎn)到坐標(biāo)面的距離點(diǎn)到坐標(biāo)面的距離 M點(diǎn)到原點(diǎn)的距離點(diǎn)到原點(diǎn)的距離 M點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離 P Q 到到z軸軸: 22 1 yxd 到到x軸軸: 到到y(tǒng)軸軸: 22 2 yzd 22 3 zxd M(x,y,z) d1 d2 d3 . . . 1. . 9 x 0 z y M點(diǎn)的對稱點(diǎn)點(diǎn)的對稱點(diǎn) 關(guān)于關(guān)于xoy面面: (x,y,z) (x,y,-z) 關(guān)于關(guān)于x軸軸: (x,y,z) (x,-y,-z) Q 0 關(guān)于原點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn): (x,y,z) (-x,-y,-z) 1. . M(x,y,z) x R P (

4、x,y,-z) (x,-y,-z) (-x,-y,-z) 10 u A B c 兩矢量的和在軸上的投影等于投影的和兩矢量的和在軸上的投影等于投影的和 A B c 2. 兩矢量和在軸上的投影兩矢量和在軸上的投影 11 A c u A B c B CAAC jPr CBBC jPr BAAB jPr CACBBA ACBCAB jPr jPr jPr . . 兩矢量的和在軸上的投影等于投影的和兩矢量的和在軸上的投影等于投影的和 2. 兩矢量和在軸上的投影兩矢量和在軸上的投影 12 引理引理 ca c a 1 a 將矢量將矢量a一投一轉(zhuǎn)（轉(zhuǎn)一投一轉(zhuǎn)（轉(zhuǎn)900），）， 證明證明 sin| a 引入引入

5、 證畢證畢 (a+b) c=(a c)+(b c) ) 2 cos(| a 0 ca c0 3.3. : 兩矢方向兩矢方向: 一致一致； a2 |a2|= |a1| a2 得得a2 13 (a+b) c=(a c)+(b c) c 0 ca b a a+b 1 b 11 ba 0 cb cacac )(| 0 cbcbc )(| 0 cbacbac )()(| 0 0 )(cba (a+b) c a c 由矢量和的平行四邊形法則，由矢量和的平行四邊形法則， 1 a11 ba 1 a 1 b 得證得證 c0 3.3. : . . b c 將平行四邊形一投一轉(zhuǎn)將平行四邊形一投一轉(zhuǎn) (a+b) c=

6、(a c)+(b c) 14 b c a b a S=|a b| h | | abc|jPr| cba ba h S V 4.4. 混合混合積的幾何意義積的幾何意義 |cba 15 h a c a b b 4.4. 混合混合積的幾何意義積的幾何意義 . | | abc|jPr| cba ba h S V |cba 16 h a c a b b 4.4. 混合混合積的幾何意義積的幾何意義 . 其混合積其混合積 abc = 0 | | abc|jPr| cba ba h S V |cba 三矢三矢 a, b, c共面共面因此，因此， 17 x z y 0 母線母線 F( x,y )=0 z = 0

7、 準(zhǔn)線準(zhǔn)線 (不含不含z) M(x,y,z) N (x, y, 0) S 曲面曲面S上每一點(diǎn)都滿足方程；上每一點(diǎn)都滿足方程； 曲面曲面S外的每一點(diǎn)都不滿足方程外的每一點(diǎn)都不滿足方程 點(diǎn)點(diǎn)N滿足方程，故滿足方程，故點(diǎn)點(diǎn)M滿足方程滿足方程 5.5. 一般一般 18 母線母線 準(zhǔn)線準(zhǔn)線 (不含不含x) F( y, z )=0 x = 0 x z y 0 6.6. 一般一般 19 1 2 2 2 2 b y a x a b z x y o 7.7. 橢圓橢圓 20 z x y = 0 y 1 2 2 2 2 b z a x o 8.8. 雙曲雙曲 21 pxy2 2 z x y o 9.9. 拋物拋物

8、 22 曲線曲線 C 0 0),( x zyf C y z o 繞繞 z軸軸 10.10. 旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)的方程的方程 23 曲線曲線 C 0 0),( x zyf x C y z o 繞繞 z軸軸 . 10.10. 旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)的方程的方程 24 曲線曲線 C 0 0),( x zyf 旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面 S CS M N), 0( 11 zy zz 1 z P MPy | 11 y 1 z y z o 繞繞 z軸軸 . 22 yx f (y1, z1)=0 M(x,y,z) 10.10. 旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)的方程的方程 . x S 25 曲線曲線 C 0 0),( x zyf 旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)

9、一周得旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面 S x CS M N ), 0( 11 zy zz 1 z P MPy | 11 y 1 z 0),( 22 zyxfS： . 繞繞 z軸軸 . . 22 yx f (y1, z1)=0 M(x,y,z) f (y1, z1)=0f (y1, z1)=0 10.10. 旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)的方程的方程 . y z o S 26 x z b y a x 雙曲線雙曲線 0 y 11.11. 繞繞 x 軸一周軸一周 27 x z b y a x 雙曲線雙曲線 0 z y 繞繞 x 軸一周軸一周 11.11. 28 x 0 z y 得得雙雙葉葉旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)雙雙曲曲面面 1 2 22 2 2 b

10、 zy a x . z b y a x 雙曲線雙曲線 11.11. . 繞繞 x 軸一周軸一周 29 a x y o 12.12. 上題雙曲線上題雙曲線 繞繞 y 軸一周軸一周 0 1 2 2 2 2 z b y a x 30 a x y o z 上題雙曲線上題雙曲線 繞繞 y 軸一周軸一周 0 1 2 2 2 2 z b y a x 12.12. 31 a . x y o z 得單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面得單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面 1 2 2 2 22 b y a zx . . 12.12. 上題雙曲線上題雙曲線 繞繞 y 軸一周軸一周 0 1 2 2 2 2 z b y a x 32 0 0 2 2 2 2 =

11、z = b y a x 13.13. 旋轉(zhuǎn)錐面旋轉(zhuǎn)錐面 兩條相交直線兩條相交直線 繞繞 x 軸一周軸一周 x y o 33 0 0 2 2 2 2 =z = b y a x . 兩條相交直線兩條相交直線 繞繞 x 軸一周軸一周 x y o z 13.13. 旋轉(zhuǎn)錐面旋轉(zhuǎn)錐面 34 x y o z 0 0 2 2 2 2 =z = b y a x . 兩條相交直線兩條相交直線 繞繞 x 軸一周軸一周 得旋轉(zhuǎn)錐面得旋轉(zhuǎn)錐面 0 2 22 2 2 b zy a x . 13.13. 旋轉(zhuǎn)錐面旋轉(zhuǎn)錐面 35 y o z 0 2 x azy 14.14. 拋物線拋物線繞繞 z 軸一周軸一周 36 y o

12、 x z 0 2 x azy 拋物線拋物線繞繞 z 軸一周軸一周 14.14. 37 y a yx z 22 . o x z 生活中見過這個(gè)曲面嗎？生活中見過這個(gè)曲面嗎？ . 14.14. 0 2 x azy 拋物線拋物線繞繞 z 軸一周軸一周得旋轉(zhuǎn)拋物面得旋轉(zhuǎn)拋物面 38 14. 例例 . 39 15.15. y x o r R )0() 222 rRryRx（ 圓圓繞繞 y軸軸 旋轉(zhuǎn)所成曲面旋轉(zhuǎn)所成曲面 40 15.15. z 繞繞 y軸軸 旋轉(zhuǎn)所成曲面旋轉(zhuǎn)所成曲面 y x o . )0() 222 rRryRx（ 圓圓 41 15.15. z 繞繞 y軸軸 旋轉(zhuǎn)所成曲面旋轉(zhuǎn)所成曲面 22

13、222 )(ryRzx 環(huán)面方程環(huán)面方程 . 生活中見過這個(gè)曲面嗎？生活中見過這個(gè)曲面嗎？ y x o )(4)( 222222222 zxRrRzyx 或或 . . )0() 222 rRryRx（ 圓圓 42 . 15.15. 43 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 截痕法截痕法 用用z = h截曲面截曲面 用用y = m截曲面截曲面 用用x = n截曲面截曲面 a b c y x z o 16.16. 44 x z y 0 截痕法截痕法 用用z = a截曲面截曲面 用用y = b截曲面截曲面 用用x = c截曲面截曲面 17.17. z q y p x 2 2 2 2

14、2 45 x z y 0 截痕法截痕法 用用z = a截曲面截曲面 用用y = b截曲面截曲面 用用x = c截曲面截曲面 17.17. . z q y p x 2 2 2 2 2 46 用用z = a截曲面截曲面 用用y = 0截曲面截曲面 用用x = b截曲面截曲面 x z y 0 z q y p x 2 2 2 2 截痕法截痕法 （馬鞍面）（馬鞍面）18.18. 雙曲拋物面雙曲拋物面 47 截痕法截痕法 . 18.18. 雙曲拋物面雙曲拋物面 （馬鞍面）（馬鞍面） x z y 0 用用z = a截曲面截曲面 用用y = 0截曲面截曲面 用用x = b截曲面截曲面 z q y p x 2

15、2 2 2 48 截痕法截痕法 . 18.18. 雙曲拋物面雙曲拋物面 （馬鞍面）（馬鞍面） x z y 0 用用z = a截曲面截曲面 用用y = 0截曲面截曲面 用用x = b截曲面截曲面 z q y p x 2 2 2 2 49 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 0 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 單葉單葉： 雙葉雙葉： y x z o 在平面上，雙曲線有漸近線。在平面上，雙曲線有漸近線。 相仿，相仿，單葉雙曲面單葉雙曲面和和雙葉雙曲面雙葉雙曲面 有有漸近錐面漸近錐面。 用用z=z=h h去截它們，當(dāng)去

16、截它們，當(dāng)| |h h| |無限增大時(shí)，無限增大時(shí)， 雙曲面雙曲面的截口橢圓與它的的截口橢圓與它的漸進(jìn)錐面漸進(jìn)錐面 的截口橢圓任意接近，即：的截口橢圓任意接近，即： 雙曲面和錐面任意接近。雙曲面和錐面任意接近。 漸近錐面：漸近錐面： 19.19. 錐錐 50 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 例如，儲(chǔ)水塔、例如，儲(chǔ)水塔、 電視塔等建筑都電視塔等建筑都 有用這種結(jié)構(gòu)的。有用這種結(jié)構(gòu)的。 . 20.20. 51 z b y a x 2 2 2 2 21. 21. 52 n次齊次方程次齊次方程F(x,y,z)= 0 的圖形是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的錐面；的圖形是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的錐面； 方程方程

17、 F(x,y,z)= 0是是 n次齊次的：次齊次的： ).,(),( zyxFttztytxF n 若若 準(zhǔn)線準(zhǔn)線 頂點(diǎn)頂點(diǎn) n次齊次方程次齊次方程F(x,y,z)= 0.反之，以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的錐面的方程是反之，以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的錐面的方程是 錐面是直紋面錐面是直紋面 x 0 z y t是任意數(shù)是任意數(shù) 22.22. 一般錐一般錐 53 23.23. 圓柱螺線圓柱螺線 P 同時(shí)又在平行于同時(shí)又在平行于z軸的方向軸的方向 等速地上升。等速地上升。 其軌跡就是圓柱螺線。其軌跡就是圓柱螺線。 圓柱面圓柱面 222 ayx y z 0 x a x = y = z = acos t bt M(x,y,z) a

18、sin t t M 螺線從點(diǎn)螺線從點(diǎn)P Q 當(dāng)當(dāng) t 從從 0 2 ， bPQ 2叫螺距叫螺距 N . Q （移動(dòng)及轉(zhuǎn)動(dòng)都是等速進(jìn)（移動(dòng)及轉(zhuǎn)動(dòng)都是等速進(jìn) 行，所以行，所以z與與t t成正比。成正比。) ) 點(diǎn)點(diǎn)P在圓柱面上等速地繞在圓柱面上等速地繞z軸旋轉(zhuǎn)；軸旋轉(zhuǎn)； 54 。平平面面的的投投影影在在的的交交線線及及求求曲曲面面 2 2222 xoyLyxzyxz 22 22 2 yxz yxz 1 . 1 1 22 z yx 解解 y x z o 得得交線交線L： 24. 24. 由由 55 z =0 . 2 1 1 1 22 z yx y x z o 解解 1 22 yx L 所求投影曲線為

19、所求投影曲線為 1 22 yx 0 1 22 z yx . . . 得得交線交線L： 24. 24. . 投影柱面投影柱面 22 22 2 yxz yxz 由由 。平平面面的的投投影影在在的的交交線線及及求求曲曲面面 2 2222 xoyLyxzyxz 56 1283 442 22 22 xzy zxzy 將將其其換換成成 L: x z y 0 ( ) 投投影影柱柱面面的的交交線線 25. 25. 消去消去zy2 = 4x y2 = 4x 57 1283 442 22 22 xzy zxzy 將將其其換換成成 L: x z y 0 ( ) 投投影影柱柱面面的的交交線線 消去消去z (消去消去x

20、 ) 25. 25. . y2+(z 2)2 = 4 y2+(z 2)2 = 4 y2 = 4x y2 = 4x 58 1283 442 22 22 xzy zxzy 將將其其換換成成 L： L: x z y 0 L 轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系，有下頁圖 ( ) 投投影影柱柱面面的的交交線線 轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系，有下頁圖 . 消去消去z (消去消去x ) . y2+(z 2)2 = 4 y2 = 4x y2+(z 2)2 = 4 y2 = 4x 25. 25. 59 L： L x z y 0 y2+(z 2)2 = 4 y2 = 4x (消去消去z) y 2 + (z 2)2 = 4 (消去消去x) y2 = 4x

21、26. 60 6 6 6 x+y+z=6 3x+y=6 2 27. 27. 作圖練習(xí)作圖練習(xí) x 0 z y 平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和x+y+z =6所圍成的立體圖所圍成的立體圖 61 6 6 6 x+y+z=6 3x+y=6 2 . x 0 z y 平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和x+y+z =6所圍成的立體圖所圍成的立體圖 27. 27. 作圖練習(xí)作圖練習(xí) 62 3x+y=6 3x+2y=12 x+y+z=6 . 6 6 6 x 0 z y 4 2 平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和x+y+z =6所圍成的立體圖所圍成的立體圖 27. 27. 作圖練習(xí)作圖練習(xí) 63 3x+y=6 3x+2y=12 x+y+z=6 . 6 6 6 x 0 z y 4 2 平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和x+y+z =6所圍成的立體圖所圍成的立體圖 27. 27. 作圖練習(xí)作圖練習(xí) 64 4 2 x+y+z=6 . x 0 z y 6 6 6 平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和x+y+z =6所圍成的立體圖所圍成的立體圖 27. 27. 作圖練習(xí)作圖練習(xí) 65 4 2 . x 0 z y 6 6