微分幾何與伴隨著微分幾何的發(fā)展

1、微分幾何與伴隨著微分幾何的發(fā)展而創(chuàng)立的張量分析是掌握廣義相對論的基礎(chǔ)工具。也由于廣義相對論的成功，使一向冷僻的微分幾何成為數(shù)學(xué)的中心學(xué)科之一。從微積分發(fā)明起，微分幾何的萌芽就誕生了。但是Euler、Clairaut和Monge的工作才真正使微分幾何成為獨(dú)立學(xué)科。Euler在關(guān)于測地學(xué)的工作中逐步得出重要得研究，并對法曲率的計(jì)算得出著名的Euler公式。Clairaut研究了曲線的曲率和撓率，Monge發(fā)表了分析應(yīng)用于幾何的活頁論文，將曲線與曲面的重要性質(zhì)用微分方程表示，使得經(jīng)典微分幾何的發(fā)展到達(dá)一個(gè)高峰期。Gauss在測地學(xué)的研究中，經(jīng)過繁雜的計(jì)算，于 1827年發(fā)現(xiàn)了曲面的兩個(gè)主曲率乘積與它

2、在外圍的Euclidean空間中的形狀無關(guān)，僅僅取決于其第一基本形式，這個(gè)結(jié)果被Gauss得意地稱為是絕妙定理，從而創(chuàng)立了內(nèi)蘊(yùn)幾何，把曲面的研究從外圍空間中解脫出來，將曲面自身作為一個(gè)空間來研究。1854年Riemann作了關(guān)于幾何基礎(chǔ)的假設(shè)，推廣了 Gauss在 2維曲面的內(nèi)蘊(yùn)幾何，從而發(fā)展出n維Riemann幾何，隨著多復(fù)變函數(shù)的發(fā)展。一批優(yōu)秀數(shù)學(xué)家將微分幾何的研究對象擴(kuò)展到復(fù)流形，再拓展到包含奇點(diǎn)的復(fù)解析空間理論。微分幾何的每一步前進(jìn)所面臨的都不僅僅是知識的深化，更意味著知識領(lǐng)域的不斷拓展。在這里，微分幾何與多復(fù)變函數(shù)論、Lie群理論、代數(shù)幾何以及PDE都彼此產(chǎn)生深刻的互相影響。數(shù)學(xué)在不

3、斷的分化，又不斷交融。多復(fù)變函數(shù)論與微分幾何的結(jié)合閃耀著迷人的光輝，單位圓和上半平面（兩者可以建立共形映射）上定義Poincare度規(guī)后，單復(fù)變函數(shù)論與微分幾何的聯(lián)系就歷歷可見。Poincare度規(guī)是共形不變量。著名的 Schwarz定理在引入Poincare度規(guī)后就可以解釋為：單位圓上Poincare度規(guī)在解析映射下不增加，當(dāng)且僅當(dāng)此映射是分式線性變換時(shí) Poincare度規(guī)不變。應(yīng)用Poincare度規(guī)下的雙曲幾何可以輕松證明著名的Picard小定理。而Picard大定理的證明需要用到艱深的模函數(shù)理論，如果用微分幾何觀點(diǎn)，也可以以極其簡明的方式證明。這里，微分幾何深深滲透到復(fù)變函數(shù)論之中。

4、在多復(fù)變函數(shù)論中，分析復(fù)仿射空間的區(qū)域定義度規(guī)后，接下來就實(shí)微分幾何的曲率計(jì)算和其他一系列計(jì)算。在單復(fù)變情形，所有奇點(diǎn)離散分布，而在多復(fù)變情形，由于著名的Hartogs開拓現(xiàn)象，所有孤立奇點(diǎn)都被吞沒，甚至于奇點(diǎn)形成的連續(xù)區(qū)域也經(jīng)常被吞沒，只有形成實(shí)余維數(shù)為1的流形才可以避免這個(gè)厄運(yùn)。但是，即使這種情形也需要其他限制條件才可以“確保安全”。多復(fù)變函數(shù)論中奇點(diǎn)的這種奇特性質(zhì)使得它們注定要成為流形。1922年Bergman引進(jìn)著名的Bergman核函數(shù)，那個(gè)時(shí)代的多復(fù)變函數(shù)還是 Weyl所說的草創(chuàng)時(shí)代，除了Hartogs、Poincare、Levi和Cousin等幾位前輩的著名研究外幾乎沒有任何實(shí)質(zhì)

5、性進(jìn)展，Bergman 的工作無疑給這個(gè)死氣沉沉的領(lǐng)域注入了一股活力。在多復(fù)變函數(shù)中的域上的Bergman度量，在一維情形就是單位圓和Poincare上半平面上的 Poincare度量，這注定了Bergman工作的重要性。代數(shù)幾何的基本研究對象是任意維仿射空間或者射影空間中的代數(shù)方程組（定義方程組）的公共零點(diǎn)（代數(shù)簇）的性質(zhì)，代數(shù)簇的定義方程組的系數(shù)以及代數(shù)簇的點(diǎn)所在的域所在的域稱為基域。不可約代數(shù)簇是其基域的有限次擴(kuò)域。我們熟悉的數(shù)域上線性空間就是以數(shù)域?yàn)榛虻臄U(kuò)域，線性空間維數(shù)就是擴(kuò)張次數(shù)。從這個(gè)觀點(diǎn)出發(fā)，代數(shù)幾何可以看成是對有限擴(kuò)域的研究。代數(shù)簇的性質(zhì)和其基域關(guān)系極其密切。對于域上復(fù)仿射

6、空間或者復(fù)射影空間中的代數(shù)簇，研究的過程中不僅有大量概念和微分幾何及多復(fù)變函數(shù)論重合，而且在研究過程中運(yùn)用到大量有關(guān)的相似工具。復(fù)流形以及復(fù)解析空間的每一步進(jìn)展無不同時(shí)影響著這些學(xué)科。許多相關(guān)領(lǐng)域的大師，雖然看上去只研究某一領(lǐng)域，但是其結(jié)果卻影響到其他領(lǐng)域。例如： Lerey研究代數(shù)拓?fù)涞贸龅脤诱摚诖鷶?shù)拓?fù)渲杏绊懖淮?，單卻由于Serre，Weil和H? Cartan（E?Cartan長子）的引進(jìn)，深刻影響了代數(shù)幾何和多復(fù)變函數(shù)論。Chern研究Hermite空間的示性類，但同時(shí)影響了代數(shù)幾何、微分幾何和多復(fù)變函數(shù)論。Hironaka研究代數(shù)幾何中的奇點(diǎn)消解，但是他研究的復(fù)流形到復(fù)解析空間的修

7、改與吹脹則影響了復(fù)解析空間理論。Yau證明了 Calabi猜想不僅影響了代數(shù)幾何和微分幾何同時(shí)影響了經(jīng)典廣義相對論。同時(shí)對于我們可以看出非線性常微分方程和偏微分方程在微分幾何中的重要地位。 Cartan研究對稱Riemann空間，得出了重要的分類定理，給出了1、2、3維空間中齊性有界域的完全分類，證明它們都是齊性對稱域，同時(shí)他猜想：這種等價(jià)關(guān)系在n維情形也成立。1959年，Piatetski-Shapiro卻在研究對稱有界域的自守函數(shù)論的過程中找到了兩個(gè)反例，在4維和5維的情形中各找出一個(gè)齊性有界域，它們不是齊性對稱域，他將這些域命名為Siegel域，以紀(jì)念Siegel在1943年研究自守函數(shù)

8、論方面的深刻工作。 Piatetski-Shapiro的這個(gè)結(jié)果深刻影響了多復(fù)變函數(shù)論和自守函數(shù)論，同時(shí)對于對稱空間理論等一系列課題產(chǎn)生深遠(yuǎn)影響。正如我們知道的， Cartan將對稱空間的研究化為Lie群和Lie代數(shù)的研究，這個(gè)觀點(diǎn)直接受Klein的影響而又大大發(fā)展了Klein的初步想法。當(dāng)年也正是 Cartan發(fā)展了Levi-Civita聯(lián)絡(luò)的概念，發(fā)展出微分幾何中的一般聯(lián)絡(luò)理論，通過流形上各點(diǎn)切空間的同構(gòu)映射，實(shí)現(xiàn)了Klein的夢想，同時(shí)大大促進(jìn)了微分幾何的發(fā)展。同樣是Cartan，斷定和樂群在流形研究中的重要性，幾經(jīng)波折，終于在他去世后三十年左右才被證實(shí)是正確的。在這里，我們看到了微分幾

9、何的浩瀚優(yōu)美。正如我們熟知的，測地線聯(lián)系著ODE（常微分方程），極小曲面和高維極小子流形聯(lián)系著PDE（偏微分方程）。這些方程都是非線性方程，因此對于分析學(xué)有著極高的要求。單復(fù)變函數(shù)論中著名的Cauchy-Riemann方程組聯(lián)結(jié)起PDE和復(fù)分析之間的聯(lián)系，在多復(fù)變情形，Cauchy- Riemann方程組不僅空前深化了這個(gè)聯(lián)系而且由于Cauchy-Riemann方程組的超定性（方程個(gè)數(shù)大于變量個(gè)數(shù)）導(dǎo)致了奇異的現(xiàn)象。這又使得 PDE與多復(fù)變函數(shù)論與微分幾何緊密結(jié)合。大多數(shù)學(xué)習(xí)微分幾何的學(xué)者都被Gauss與Riemann的內(nèi)蘊(yùn)幾何的無比深邃擊暈，被Cartan的活動(dòng)標(biāo)架法的優(yōu)美簡潔傾倒，被Che

10、rn的示性類理論的博大精深折服，被Yau深厚精湛的幾何分析功底震懾。當(dāng)年年輕的 Chern面對整體微分幾何時(shí)說自己就像面對一座閃耀金色光芒的山無比向往卻一時(shí)無法攀到最高峰。但是后來他卻趕在Hopf和Weil之前成為這個(gè)領(lǐng)域的一代宗師。如果說Cartan發(fā)展的微分幾何漸漸改變了廣義相對論的幾何模式的話，那么Chern等人的微分幾何不僅在延續(xù)Cartan的影響而且以纖維叢的形式推動(dòng)了規(guī)范場論的發(fā)展。微分幾何仍然像Einstein時(shí)代那樣和物理緊緊相連并且從物理中不斷獲取研究課題為什么三維球無法賦予平坦度規(guī)卻可以賦予共形平坦度規(guī)？因?yàn)槿S球和其他維數(shù)的球一樣無法與平坦空間建立等距映射，所以無法建立平

11、坦度規(guī)；而n維球都是單連通常曲率空間，因此可以可以建立共形平坦度規(guī)。在微分幾何中，等距的含義就是映射前后流形上對應(yīng)點(diǎn)之間的曲線距離不變。一個(gè)流形與平坦空間等距時(shí)其 Riemann截面曲率恒為零。因?yàn)樗星蛎娴那识紴檎某?shù)，所以n維球面以及其他的截面曲率非零的流形都無法賦予局部平坦度規(guī)。但是還有局部共形平坦這個(gè)概念，對于流形上兩個(gè)度規(guī)G和g，如果G=exp?g，則稱G與g之間的變換是共形變換。Weyl共形曲率張量在共形變換下保持不變，它是流形上的（1,3）型張量場。當(dāng)Weyl共形曲率張量為零時(shí)，流形的曲率張量可以用Ricci曲率張量與數(shù)量曲率表示，所以 Penrose 總是強(qiáng)調(diào)曲率=Ricc

12、i+Weyl。一個(gè)n維Riemann流形的度規(guī)張量g在局部上共形等價(jià)于平坦度規(guī)，則稱為共形平坦流形。所有截面曲率為常數(shù)的流形（常曲率流形）都是共形平坦的，所以都可以賦予共形平坦度規(guī)。而所有維數(shù)的球面（當(dāng)然包括三維球）都是常曲率流形，所以必定可以賦予共形平坦度規(guī)。反過來，共形平坦流形卻未必是常曲率流形。但是有一個(gè)和Einstein流形有關(guān)的美妙結(jié)果可以彌補(bǔ)這個(gè)遺憾：3維以上的共形平坦 Einstein流形必定是常曲率流形。就是說要想讓共形平坦流形卻是常曲率流形，就必須要求Ric=g，而這就是Einstein流形的定義。式中 Ric為Ricci曲率張量，g為度規(guī)張量，為常數(shù)。Einstein流形的

13、數(shù)量曲率S=m為常數(shù)。而且如果S非零則其上面不存在非零的平行切向量場。Einstein引入宇宙學(xué)常數(shù)，使得他錯(cuò)失了預(yù)言宇宙膨脹的偉大成就，于是Hubble就飛黃騰達(dá)了；但是帶有宇宙項(xiàng)的真空引力場方程卻產(chǎn)生了 Einstein流形，這為數(shù)學(xué)家的展現(xiàn)才智提供了新舞臺。對于3維連通Einstein流形，即使不要求其共形平坦，它也自動(dòng)是常曲率流形，其他維數(shù)不成立這個(gè)美妙性質(zhì)，我是大一暑假學(xué)習(xí)張量分析時(shí)才知道這個(gè)結(jié)果的，感覺看到這個(gè)結(jié)果是一種享受。實(shí)流形中的截面曲率與Kahler流形中的全純截面曲率是不一樣的概念，因此也產(chǎn)生不一樣的結(jié)果。全純截面曲率為常數(shù)的Kahler流形，其Ricci曲率必定為常數(shù)，

14、所以必定為 Einstein流形，稱為Kahler- Einstein流形。Kahler流形為Kahler- Einstein流形當(dāng)且僅當(dāng)其作為Riemann流形時(shí)是Einstein流形。N維復(fù)向量空間，復(fù)射影空間，復(fù)環(huán)面以及復(fù)雙曲空間都是Kahler- Einstein流形。Kahler-Einstein流形的研究成為幾何學(xué)家的智力享受。再回頭講講等距映射的一個(gè)重要結(jié)果?？紤]兩個(gè) Riemann流形M和N間的等距映射以及其誘導(dǎo)的切空間之間的映射，取M上任意點(diǎn)p，在其切空間任選兩個(gè)不共線的切向量，求出其截面曲率。在映射下p點(diǎn)及其切空間上的那兩個(gè)切向量在映射下變成另兩個(gè)切向量，也求出其截面曲率。

15、如果這個(gè)映射是等距映射，則這兩個(gè)截面曲率是相等的?；蛘吆┱f就是等距映射 不改變截面曲率。反過來，如果任意點(diǎn)都成立截面曲率不改變的性質(zhì)，那么映射是不是等距映射？答案是否定的。甚至在三維Euclidean 空間的曲面上都無法成立這個(gè)性質(zhì)。在局部情形，必須加上測地線的限制，應(yīng)用Jacobi場的性質(zhì)才能作到這一點(diǎn)。這就是著名得Cartan等距定理。這個(gè)定理是Jacobi場的精彩應(yīng)用。它的大范圍推廣是Ambrose和Hicks作出的，稱為Cartan-Ambrose-Hicks定理。微分幾何就是充滿無窮魅力。我們給pseudo-Riemannian空間分類，可以用Weyl共形曲率張量分類，可以用Ri

16、cci曲率張量分類，也可以用運(yùn)動(dòng)群進(jìn)行分類得出9種Bianchi型。而這些東西都是可以歸結(jié)到微分幾何的研究，這里遙遠(yuǎn)的Riemann觀點(diǎn)和稍近的Klein觀點(diǎn)完美結(jié)合，這里可以看出Cartan的偉大智慧，這里可以看出Einstein的深遠(yuǎn)影響。從Hermite對稱空間到Kahler-Hodge流形，微分幾何不僅與Lie群緊緊相連，也與代數(shù)幾何和拓?fù)鋵W(xué)血脈相通想起 1895 年偉大的Poicare寫偉大的位置分析創(chuàng)立組合拓?fù)鋾r(shí)曾經(jīng)毫不掩飾地說高維空間的微分幾何是意義不大的學(xué)科，對此他說了句：“家有美景，何須遠(yuǎn)求。”（Chern譯）拓?fù)渚褪羌抑忻谰?，干嗎要辛辛苦苦?jì)算曲面甚至高維流形的曲率？可是這

17、次這個(gè)全才數(shù)學(xué)家錯(cuò)了，但我們能不能說這位數(shù)學(xué)天才對微分幾何沒有大貢獻(xiàn)？不能?？纯唇裉煳⒎謳缀闻c拓?fù)鋵W(xué)的緊密相關(guān)我們就知道了。一個(gè)閉形式何時(shí)才是恰當(dāng)形式？在同倫于點(diǎn)的區(qū)域（單連通區(qū)域）有Poicare引理之逆告訴我們這個(gè)自動(dòng)成立。在非單連通區(qū)域有著名的de Rham定理告訴我們?nèi)绾纬闪?，那就是微分形式在所有閉鏈上的積分為零。即使在Poicare所忽視的微分幾何領(lǐng)域，他仍然以一種不經(jīng)意的方式深深影響了這個(gè)學(xué)科，或者毋寧說是影響了整個(gè)數(shù)學(xué)。任何一門學(xué)科創(chuàng)立后都尋求推廣的性質(zhì)，微分幾何也是這樣。從曲率上來說，平直的Euclidean空間曲率為零，幾何學(xué)家推廣到曲率為正常數(shù)（狹義的 Riemann空間）

18、和負(fù)常數(shù)的空間（Lobachevskii空間），我們知道，非歐幾何的偉大之處不僅在于它獨(dú)立了第五公設(shè)而且用其他情況替代而導(dǎo)致新幾何，更在于它的創(chuàng)立者能在其上進(jìn)行三角分析。但是著名數(shù)學(xué)家Milnor所說，在微分幾何進(jìn)入非歐幾何之前，非歐幾何只是沒手沒腳的軀干而已。只有在定義了度規(guī)以后進(jìn)行曲率的統(tǒng)一計(jì)算之后，非歐幾何才煥發(fā)出生機(jī)。Riemann在1854年的演講中只寫下了一個(gè)公式，就是這一個(gè)公式統(tǒng)一了正曲率、負(fù)曲率和零曲率的幾何。后人大都認(rèn)為Riemann這個(gè)公式又是憑直覺想出來的，實(shí)際上后來人們發(fā)現(xiàn)了他計(jì)算這個(gè)公式用的草稿紙，才知道天才也是要勤奮的。 Riemann已經(jīng)探索任意維數(shù)的任意曲率流形

19、的曲率了，但定量的計(jì)算超越了那個(gè)時(shí)代的數(shù)學(xué)工具，他只能寫出常曲率流形的統(tǒng)一公式。但是我們知道，即使到今天，這個(gè)結(jié)果仍然是重要的，微分幾何的名目繁多的“比較定理”都是以常曲率流形為比較模本的。當(dāng)年Riemann曾經(jīng)考慮了二次微分形式的二次方根,這就是我們都熟悉的Riemann metric,由此導(dǎo)出Riemannnian geometry,當(dāng)時(shí)他特意提及另一個(gè)情形,就是用四次微分形式的四次方根(相當(dāng)于四元乘積的和開四次方).這是兩者的聯(lián)系與區(qū)別。但他卻說對于這種情況和前面一種情況在研究上并不要求實(shí)質(zhì)上不同的方法。還說,這樣的研究比較費(fèi)時(shí)間并且對空間無法增加新的認(rèn)識,計(jì)算的結(jié)果也缺乏幾何意義。所以

20、 Riemann只研究了現(xiàn)在稱為Riemann metric的情形。為什么后世的Finsler熱衷于推廣Riemann不想研究的情形?可能是數(shù)學(xué)家好推廣以致于成為癖好。Cartan當(dāng)年在 Finsler幾何方面作過努力,但成效不大,Chern對這種幾何確實(shí)也寄予厚望同時(shí)也研究出一些成就.但我仍然和國際上的普遍看法一致,那就是 Finsler幾何前途黯淡. 這也正是Finsler幾何一直無法進(jìn)入微分幾何主流的本質(zhì)原因,它沒有真正值得幾何學(xué)家去奮斗的優(yōu)美性質(zhì),也沒有什么大的應(yīng)用價(jià)值.后來的K-展空間, Cartan空間也都沒有成為主流,雖然它們都是Riemannnian geometry的推廣,但

21、是沒有得到什么大的發(fā)展.4樓 實(shí)際上, 有時(shí)候推廣的東西能夠得到的新內(nèi)容不多,微分幾何也是這樣，不是研究的對象越平凡越好，而是應(yīng)當(dāng)適當(dāng)?shù)奶厥獠藕?。比如Riemann流形中,齊性 Riemann流形特殊,就具有更多優(yōu)美的性質(zhì),齊性Riemann流形中,對稱Riemann流形更特殊,所以性質(zhì)更優(yōu)美.這是從流形上Lie群的作用角度分析的。從度規(guī)的角度分析,定向偶數(shù)維的Riemann流形上賦予復(fù)結(jié)構(gòu),形成復(fù)流形,性質(zhì)就極其優(yōu)美。近復(fù)流形只有在近復(fù)結(jié)構(gòu)可積時(shí)才成為復(fù)流形。復(fù)流形必定可定向，因?yàn)榭梢院苋菀浊蟪鏊腏acobian必定非負(fù)，而實(shí)流形在一般情況下沒有這個(gè)性質(zhì)。再縮小范圍,Kahler流形更加具

22、有很好的性質(zhì)， Kahler流形的所有復(fù)子流形都是Kahler流形，而且還是極小子流形（Wirtinger定理），這個(gè)優(yōu)美的結(jié)果迷倒了多少微分幾何學(xué)家和代數(shù)幾何學(xué)家，因?yàn)槠渌话懔餍尾怀闪⑦@個(gè)優(yōu)美結(jié)果。如果要求 (復(fù))三維Kahler流形的第一Chern數(shù)為零,可以得出Calabi-Yau流形,這是理論物理學(xué)家極其有興趣的流形。Calabi-Yau流形的鏡流形同樣是代數(shù)幾何域微分幾何共同的課題。流行上的Hodge結(jié)構(gòu)至盡都是有著無盡吸引力的課題。微分幾何，一個(gè)道不盡的話題。就像代數(shù)幾何中要求雙有理等價(jià)是個(gè)奢求一樣，微分幾何中要求等距變換何嘗不艱難。分類學(xué)是整個(gè)數(shù)學(xué)的永恒課題。群論中有單群分類

23、，多復(fù)變函數(shù)論中有區(qū)域的分類，代數(shù)幾何中有代數(shù)簇的分類，微分幾何也有分類。艱難的課題引起一批批年輕的幾何學(xué)家和年老的學(xué)者的共同沖刺，微分幾何的前景無比光明。 微分幾何學(xué)以光滑曲線(曲面)作為研究對象，所以整個(gè)微分幾何學(xué)是由曲線的弧線長、曲線上一點(diǎn)的切線等概念展開的。既然微分幾何是研究一般曲線和一般曲面的有關(guān)性質(zhì)，則平面曲線在一點(diǎn)的曲率和空間的曲線在一點(diǎn)的曲率等，就是微分幾何中重要的討論內(nèi)容，而要計(jì)算曲線或曲面上每一點(diǎn)的曲率就要用到微分的方法。在曲面上有兩條重要概念，就是曲面上的距離和角。比如，在曲面上由一點(diǎn)到另一點(diǎn)的路徑是無數(shù)的，但這兩點(diǎn)間最短的路徑只有一條，叫做從一點(diǎn)到另一點(diǎn)的測地線。在微分

24、幾何里，要討論怎樣判定曲面上一條曲線是這個(gè)曲面的一條測地線，還要討論測地線的性質(zhì)等。另外，討論曲面在每一點(diǎn)的曲率也是微分幾何的重要內(nèi)容。在微分幾何中，為了討論任意曲線上每一點(diǎn)鄰域的性質(zhì)，常常用所謂“活動(dòng)標(biāo)形的方法”。對任意曲線的“小范圍”性質(zhì)的研究，還可以用拓?fù)渥儞Q把這條曲線“轉(zhuǎn)化”成初等曲線進(jìn)行研究。在微分幾何中，由于運(yùn)用數(shù)學(xué)分析的理論，就可以在無限小的范圍內(nèi)略去高階無窮小，一些復(fù)雜的依賴關(guān)系可以變成線性的，不均勻的過程也可以變成均勻的，這些都是微分幾何特有的研究方法。近代由于對高維空間的微分幾何和對曲線、曲面整體性質(zhì)的研究，使微分幾何學(xué)同黎曼幾何、拓?fù)鋵W(xué)、變分學(xué)、李群代數(shù)等有了密切的關(guān)系，

25、這些數(shù)學(xué)部門和微分幾何互相滲透，已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的中心問題之一。微分幾何在力學(xué)和一些工程技術(shù)問題方面有廣泛的應(yīng)用，比如，在彈性薄殼結(jié)構(gòu)方面，在機(jī)械的齒輪嚙合理論應(yīng)用方面，都充分應(yīng)用了微分幾何學(xué)的理論。其它數(shù)學(xué)分支學(xué)科算術(shù)、初等代數(shù)、高等代數(shù)、數(shù)論、歐式幾何、非歐幾何、解析幾何、微分幾何、代數(shù)幾何學(xué)、射影幾何學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)、分形幾何、微積分學(xué)、實(shí)變函數(shù)論、概率和數(shù)理統(tǒng)計(jì)、復(fù)變函數(shù)論、泛函分析、偏微分方程、常微分方程、數(shù)理邏輯、模糊數(shù)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)、突變理論、數(shù)學(xué)物理學(xué)應(yīng)用微分學(xué)來研究三維歐幾里得空間中的曲線、曲面等圖形性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支。差不多與微積分學(xué)同時(shí)起源于17世紀(jì)。單變量函數(shù)的幾何形象是一條

26、曲線，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就是曲線切線的斜率。函數(shù)的積分在幾何上則可理解為一曲線下的面積等等。這種把微積分應(yīng)用于曲線、曲面的研究，實(shí)質(zhì)上就是微分幾何學(xué)的開端。L.歐拉、G.蒙日、J.L.拉格朗日以及A.-L.柯西等數(shù)學(xué)家都曾為微分幾何學(xué)的發(fā)展作出過重要貢獻(xiàn)。與此同時(shí)，曲面內(nèi)蘊(yùn)幾何等嶄新的思想也在不斷地產(chǎn)生并積累著。在此基礎(chǔ)上，C.F.高斯奠定了曲面論基礎(chǔ)，并使微分幾何學(xué)成為一門新的數(shù)學(xué)分支。按F.克萊因變換群幾何的分類方法來看，微分幾何學(xué)應(yīng)屬于運(yùn)動(dòng)群，所以也稱為運(yùn)動(dòng)幾何學(xué)或初等微分幾何學(xué)。微分幾何學(xué)的研究對數(shù)學(xué)其他分支以及力學(xué)、物理學(xué)、工程學(xué)等的影響是不可估量的。如：偽球面上的幾何與非歐幾何有密切關(guān)系；

27、測地線和力學(xué)、變分學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)等有著深刻的聯(lián)系，是內(nèi)容豐富的研究課題。這方面有以J.阿達(dá)馬、H.龐加萊等人為首的優(yōu)異研究。極小曲面是和復(fù)變函數(shù)論、變分學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)關(guān)系極為深刻的研究領(lǐng)域，K.魏爾斯特拉斯、J.道格拉斯等人作出過卓越貢獻(xiàn)。微分幾何學(xué)的研究工具大部分是微積分學(xué)。力學(xué)、物理學(xué)、天文學(xué)以及技術(shù)和工業(yè)的日益增長的要求則是微分幾何學(xué)發(fā)展的重要因素。盡管微分幾何學(xué)主要研究三維歐幾里得空間中的曲線、曲面的局部性質(zhì)，但它形成了現(xiàn)代微分幾何學(xué)的基礎(chǔ)則是毋庸置疑的。因?yàn)橐蕾囉趫D形的直觀性及由它進(jìn)行類推的方法，即使在今天也未失其重要性今天很高興能夠在各位面前講講我做學(xué)問的經(jīng)驗(yàn)，可以供大家參考一下。我講如何

28、學(xué)好微分幾何的題目，主要是想跟大家講講有關(guān)于從前我做學(xué)問的態(tài)度，因?yàn)槲沂亲鰩缀蔚?，所以我就講做微分幾何。很明顯的，大部份的同學(xué)不會(huì)選幾何，不過沒有關(guān)系，其實(shí)就是講講我做學(xué)問的態(tài)度。首先，講講我從前的一些經(jīng)驗(yàn)。我從前在香港長大，在香港念中學(xué)、大學(xué)，然后到美國念研究所，所以至少在前一半跟大家的經(jīng)驗(yàn)應(yīng)該差不了太遠(yuǎn)，不過是時(shí)代有點(diǎn)不同。我在多年前念數(shù)學(xué)，你們現(xiàn)在念數(shù)學(xué)，看法上已經(jīng)有許多不相同，事實(shí)上我也不太了解你們現(xiàn)在的想法。不過基本上，我們都是中國文化出生的，所以我想仍有一部份共同的地方?；旧衔覀兪且v怎么作科學(xué)研究，也就是純科學(xué)的研究，我們要看的是我們的志向是怎樣的。假如我們想做一個(gè)好的科學(xué)家，

29、當(dāng)然我講的是怎么做一個(gè)好的數(shù)學(xué)家。先說我自己的經(jīng)驗(yàn)，我從前在香港培正中學(xué)念中學(xué)的時(shí)候，就開始對數(shù)學(xué)有興趣。當(dāng)然還有一些其它的課程，我對數(shù)學(xué)有興趣，一方面是受到我家庭的影響，我父親是做哲學(xué)的，所以對于念數(shù)學(xué)一直都相當(dāng)鼓勵(lì)，到了中學(xué)以后，我父親去世了。不過也因此對于自然科學(xué)有很濃厚的興趣。另一方面受老師的影響也很大。我想很重要的當(dāng)我們開始要做一個(gè)學(xué)問，尤其是你真的要做一個(gè)出色的科學(xué)家，跟你的興趣和你一開始所立下的志向有很大的關(guān)系。就是說，開始的時(shí)候你期望能夠做到什么。假如說開始的時(shí)候你根本不想做一個(gè)好的科學(xué)家，那么你就永遠(yuǎn)也不可能做一個(gè)好的科學(xué)家。從前有位大學(xué)老師跟我講說：假如你不買馬票，你永遠(yuǎn)也

30、中不了。倒不是說我鼓勵(lì)你們?nèi)ベI馬票，是說假如你不準(zhǔn)備做好的科學(xué)家，就永遠(yuǎn)也做不了一個(gè)好的科學(xué)家。不過是不是講，你想做一個(gè)好的科學(xué)家，你就可以做個(gè)好的科學(xué)家呢？當(dāng)然不是，你還要有很多其它的因素在里面，我想第一點(diǎn)是要你將做人的目標(biāo)先決定。我在國外二十多年了，也教了不少的學(xué)生，有些在世界上算是很出名，但有些不是太行。從這方面來講，比較好的學(xué)生和不好的學(xué)生我可以曉得不同的經(jīng)驗(yàn)。我想好的學(xué)生大部份一開始就決定他要做到什么程度的科學(xué)家，從很早就可以看得出來，因?yàn)橛辛酥鞠蛞院?，才曉得怎么去用功、怎么去花時(shí)間在上面。這看起來倒是老生常談，因?yàn)槟銖男W(xué)、中學(xué)到大學(xué)，大概很多老師都跟你講同樣的意見，可能你聽多了都

31、覺得沒有什么意思，但是事實(shí)上這是成功的第一個(gè)因素。我的一位老師跟我講，你要決定以后你想做什么，講明了，不是為名就是為利。當(dāng)時(shí)我很驚訝，老師為什么講這一句話。我們不能否定大部份的想法不是為名就是為利，同時(shí)這個(gè)想法也推動(dòng)了不少科學(xué)的研究。不過我們也曉得，單是為名為利不可能將科學(xué)達(dá)到最高峰的研究，我們一定要對這個(gè)科學(xué)有濃厚的興趣。我們應(yīng)當(dāng)曉得，做科學(xué)，我們有一個(gè)很純正的想法，就是對真理的追尋，在真理的背后有一個(gè)很漂亮的境界在里面，我們到了一個(gè)境界以后，對我們追求學(xué)問的人來講，是無法抗拒的，就算是沒有名沒有利，我們也希望能夠?qū)⑦@個(gè)真理搞清楚。舉例來講，如果你喜歡下棋的話，有時(shí)你會(huì)曉得下到一半的時(shí)候，結(jié)

32、局會(huì)是怎樣，你非為名也非為利，當(dāng)然可以講說你是為了好勝，但是有時(shí)候你總是想追求，想曉得怎么解決這個(gè)問題。在科學(xué)上來講我們要追求的是比這個(gè)高的境界。我為什么講為名為利這個(gè)事實(shí)呢？舉例來講，我們這幾年在哈佛大學(xué)里教了幾個(gè)在大學(xué)里念數(shù)學(xué)念得很好的學(xué)生，可是到了畢業(yè)的時(shí)候，我曉得他們明明對數(shù)學(xué)有很大的興趣，但是他們選取了完全不同的途徑，他們有些人寧愿選取做生意或是到銀行里面做事。我并不反對你們?nèi)プ錾?、賺大錢，我失望的緣故是因?yàn)檫@些學(xué)生明明是對做學(xué)問興趣特別大，但是他們沒有辦法去抗拒賺錢的引誘而放棄了繼續(xù)做學(xué)問的前途，有些人甚至過了幾年賺了錢，又想重新再做學(xué)問，但問題是無論你資質(zhì)有多好，一般來講你將做

33、學(xué)問的機(jī)會(huì)放棄以后，再想重新做起將會(huì)遇到許多困難。并不是說不可能，也曾有這種情形發(fā)生過，但是真正能夠達(dá)到的情形，幾乎是絕無僅有，做學(xué)問是不能中斷的。我遇見過很多朋友，有些甚至是很有名的數(shù)學(xué)家，他們有些人會(huì)講我現(xiàn)在一方面做行政的工作，一方面可以做學(xué)問，可是事實(shí)上，這是沒有辦法可以達(dá)到兩者兼顧的情形。我們曉得做學(xué)問幾乎是全心全意的工作，當(dāng)對證明追尋的時(shí)候，很難說受到其它外界的打擾，仍能夠達(dá)到很高的成功的。以我的經(jīng)驗(yàn)來講，在想問題的時(shí)候，晚上睡覺也在想這個(gè)問題，躺在床上也在想，早上起床第一件事就是想這個(gè)問題。我并不是講你們也要這樣子，我是希望你們在遇到一個(gè)問題要解決的時(shí)候，你要全力以赴，不可能在中間

34、慢慢想一點(diǎn)而在其它也可以花點(diǎn)功夫，這樣精神不集中的態(tài)度是不可能做好學(xué)問的。我想對大家做個(gè)建議，假如你想做個(gè)真正的好科學(xué)家的話，就不能夠再往回走，假如你想做生意，那干脆一開始就不要想這個(gè)問題，并不是你要做個(gè)好的教員就要照我剛才講的，要花這么多功夫，倒是要念好科學(xué)這是很重要的，所以這是第一點(diǎn)，立志很重要。第二點(diǎn)我要講的，我在國外多年，遇見過許多很出名的數(shù)學(xué)家，甚至許多有名的物理學(xué)家我也見過許多。在我認(rèn)為并沒有一個(gè)是真正的像一般報(bào)紙上所講的是天才，在我所親身認(rèn)識的大科學(xué)家，都是經(jīng)過很大的努力，才能夠達(dá)到他所達(dá)到的成就。我的學(xué)生問我：為什么你做的比我好？，我說很簡單，我比你用功。我在辦公室或是在家里邊

35、，我天天在想問題，你們在外面玩，而我花了功夫在解決想了很久的問題，我總比你不想、不花時(shí)間成就大一點(diǎn)。你可能去聽個(gè)大科學(xué)家或大數(shù)學(xué)家演講，你會(huì)覺得漂亮得不得了，怎么一個(gè)人能夠講得這么好！這個(gè)人是個(gè)天才！可是你有沒有想到，他在后面準(zhǔn)備花了多少時(shí)間想這個(gè)問題？大概你們聽過最出名的科學(xué)家費(fèi)因曼，費(fèi)因曼物理注1漂亮得不得了，所有出名的物理學(xué)家都這么講，去聽的人不是學(xué)生，都是老師或物理學(xué)家。費(fèi)因曼在準(zhǔn)備費(fèi)因曼物理的時(shí)候是什么事都不做，就只有腦子在花功夫，整天在想這個(gè)問題，跟許多學(xué)生不停的在談這個(gè)問題。費(fèi)因曼是個(gè)有名的天才，可是他準(zhǔn)備這個(gè)研究也花了許多不同的功夫。我想很多出名的科學(xué)家在有所表現(xiàn)出不同的時(shí)候，

36、你會(huì)覺得他是天才，事實(shí)上他用在后面的功夫都是很不少的。有許多很聰明很厲害的人可能是研究生甚至是教授，往往你給他一個(gè)問題，他可以很快給你一個(gè)答案，同時(shí)是很不錯(cuò)的一個(gè)答案。可是很多這樣出色的學(xué)生或是教授，過了很久以后，你總會(huì)覺得他沒有做出很好的成績出來。問題是，你解決的問題太容易了；沒有再花很多精神去考慮這個(gè)問題。尤其在我們中國人最缺乏的，就是在做中學(xué)生或是大學(xué)生的時(shí)候，沒有將一個(gè)問題從頭到尾仔細(xì)考慮清楚，并沒有真正的全部了解，這是個(gè)很重要的問題。從一個(gè)很小的問題，我們可以引發(fā)很多不同而且有意思的問題。思考要自己訓(xùn)練，不單是在聯(lián)考或在大學(xué)的時(shí)候，老師出個(gè)題目，你考了一百分就完了，假如這樣的話，你很

37、容易就滿足你自己，你不覺得問題有什么意思。往往出名的研究是在很平凡的問題里面，不停的思考所找出來的，很多人因?yàn)楹芸鞂栴}解決了，便不愿再想下去，所以不能夠再啟發(fā)新的東西?？茖W(xué)的研究，不是解決人家已經(jīng)曉得的問題。當(dāng)一個(gè)科學(xué)家問一個(gè)好的問題的時(shí)候，即是成功的一半。因?yàn)榭茖W(xué)的推動(dòng)是從不斷的找尋新的問題，新的方向出來的，解決從前的問題雖是個(gè)重要的推動(dòng)方向，可是我們還要找出新的方向，而不單是解決從前的問題。我們知道在物理上解決問題的時(shí)候，往往大的或出名的公式是將前面固定的理論推翻，而找出新的路子。為什么大數(shù)學(xué)家或大物理學(xué)家能夠做到這個(gè)地步呢？因?yàn)樗麄儾粩嗟膯枂栴}。有時(shí)候在一般人來講很明顯的問題，在出名的

38、科學(xué)家看起來，就不見得很明顯。為什么不明顯呢？因?yàn)槲覀冇胁煌瑢哟蔚膯栴}要一路考慮下去。問問題的能力是一個(gè)很重要的訓(xùn)練，并不是花很多功夫就可做到，我想在我們中國的小學(xué)、中學(xué)或大學(xué)里都沒有很好的做到這一點(diǎn)，我想從小應(yīng)該做到這一點(diǎn)的。現(xiàn)在我們來看數(shù)學(xué)跟其它物理、化學(xué)或生物等實(shí)驗(yàn)科學(xué)有那些不同？物理或化學(xué)等科學(xué)是從一般實(shí)驗(yàn)、現(xiàn)象界所找的題目，最后再經(jīng)過實(shí)驗(yàn)的證實(shí)，才能算是個(gè)成功的理論。理論物理學(xué)家可以發(fā)展很多不同漂亮的理論，但最后假如不能夠在實(shí)驗(yàn)里做出來的話，對物理學(xué)家來講就是一篇廢話。數(shù)學(xué)家有個(gè)好處。就是說，我們做了學(xué)問，一方面大部份是從一般的科學(xué)里面產(chǎn)生給我們的，一方面可以當(dāng)作文學(xué)作品來欣賞。我們

39、的取材多采多姿，一方面是比較基本的，從自然界或物理上的基本粒子、廣義相對論、重力場去拿出很多基本的大自然的問題。這方面對近代幾何學(xué)上的影響很大，另一方面可從比較沒那么基本的理論里發(fā)生出來。所謂不基本，并不是說不重要。我們要了解到我們有些問題是從工業(yè)界來的，譬如說做飛機(jī)、做螺絲，甚至做流體變動(dòng)的問題，都是可產(chǎn)生許多有趣的幾何問題或是數(shù)學(xué)問題。例如說機(jī)械人手怎么去拿東西？這都可以看做是基本的幾何問題，物理學(xué)家不一定有興趣，可是數(shù)學(xué)家卻有很大的興趣。另外我們也可以對與實(shí)際問題不相近的問題產(chǎn)生興趣，我們對一個(gè)圖畫得漂不漂亮，我們也可以在數(shù)學(xué)上研究。幾何在數(shù)學(xué)上的取材有三個(gè)不同方向：第一是從基本自然界里

40、產(chǎn)生的問題。從基本粒子、重力場到電磁波基本上如何產(chǎn)生的種種重要幾何問題，從表面上你看不出來為什么它跟幾何有關(guān)，但事實(shí)上近代物理將很多這種基本場論的問題變成幾何問題，對微分幾何來講有很大的貢獻(xiàn)。第二是剛才所講，工業(yè)界與古典力學(xué)出了很多很重要的幾何問題。第三就是純粹從美的觀點(diǎn)來找問題。舉例來講，從數(shù)論里面找了許多很漂亮的問題，尤其是近十或二十年來，大部份重要的數(shù)論問題大多是用幾何的方法來解決的，這是幾何在數(shù)學(xué)上三個(gè)重要的取材方向。我為什么講取材的問題呢？因?yàn)楹芏嘀袑W(xué)生或大學(xué)生在念幾何或是某些數(shù)學(xué)課程的時(shí)候，認(rèn)為我們念那個(gè)學(xué)科就念那個(gè)學(xué)科就夠了，而不要念其它的學(xué)問，這是個(gè)很錯(cuò)誤的觀念。因?yàn)閿?shù)學(xué)里面每

41、一門的學(xué)問都有密切關(guān)聯(lián)的，不單是數(shù)學(xué)，其實(shí)所有的理論科學(xué)中間都有很密切的關(guān)系。例如我們剛剛所講的，高能物理與數(shù)學(xué)的關(guān)系，或是化學(xué)甚至生物都跟數(shù)學(xué)有很大的關(guān)系，所以我想怎么學(xué)幾何呢？第一點(diǎn)是當(dāng)你決定好要做一個(gè)好的幾何學(xué)家時(shí)，你一定要廣泛的學(xué)不同的學(xué)問，基礎(chǔ)要比較廣，如微分方程、代數(shù)、物理學(xué)以及其它學(xué)科，至少在心理上有個(gè)準(zhǔn)備，就是說這些學(xué)科將來是對你有幫助的。你聽起來會(huì)覺得這是很困難的事情，你不可能學(xué)會(huì)這么多種不同的學(xué)問。這主要的分別就是你要有一個(gè)層次，你的專科是那一方面，就要多學(xué)一點(diǎn)，但不可忘掉其它的學(xué)科。有時(shí)在某個(gè)意義下，我們可以很驚訝的看到同一個(gè)學(xué)問、同一個(gè)命題，在兩個(gè)不同的學(xué)科里面，可以以

42、不同的方法出現(xiàn)，就是說以不同的方法證明。我想主要的原因是根本上這兩個(gè)學(xué)科的分別并不是很大。在幾十年前有個(gè)出名的物理學(xué)家說數(shù)學(xué)有不可思議的力量。為什么數(shù)學(xué)能夠在物理上有這么大的影響呢？因?yàn)閺奈锢韺W(xué)家的看法，數(shù)學(xué)家祇是在玩一些簡單的符號，純粹是在家里想一些自己的問題，與自然界的關(guān)系好像不大，其實(shí)這是個(gè)錯(cuò)誤的想法。我們數(shù)學(xué)家研究的問題是很具體的，只是有不同的層次，所以有點(diǎn)不同而已。舉例來說我們研究微分幾何上一個(gè)最簡單的圖形-圓球，這圓球可以說是一個(gè)抽象的觀念，我們也可以說它是自然界很具體的一部份。也就是說我們將所研究的圓球視為自然界的一部份，其實(shí)跟物理的現(xiàn)象差不了太遠(yuǎn)的。尤其在現(xiàn)代的高能物理里，我們

43、研究基本粒子，尤其到了量子力學(xué)的觀念以后，因?yàn)槟芰恳呀?jīng)到了很高的地步，所以有很多根本沒有辦法做實(shí)驗(yàn)，所以基本上也是在家里或課堂里或辦公室里用紙筆來算，這跟數(shù)學(xué)家想象的差不了太遠(yuǎn)。假如物理學(xué)家可以這么做，表示數(shù)學(xué)家也能夠坐在家里面而對自然界達(dá)到某種程度的了解。為什么我要講這些呢？這些與微分幾何有什么關(guān)系呢？我要講的是你在選題的時(shí)候，我們雖然有個(gè)自由度對于選題與自然界無關(guān)，但是我們也有一個(gè)限度在里面，假如我們選的問題與現(xiàn)實(shí)相差太遠(yuǎn)，最后我們的命題會(huì)被淘汰掉。在歷史上出現(xiàn)很多不同的研究，過了十年、二十年后就完全被淘汰的。你看現(xiàn)在的圖書館里面有許多的文章出現(xiàn)，不過再過個(gè)十年八年以后，我想大部份的文章是

44、會(huì)被淘汰掉的，根本在整個(gè)數(shù)學(xué)歷史上起不了任何作用。這是因?yàn)楹芏嗟奈恼聦?shí)在沒有解決問題，其次是對我們研究的對象沒有產(chǎn)生任何效果。所以雖然我們數(shù)學(xué)界不用時(shí)間來做證明，可是我們有某種程度的測試。一般來講，證的很好的數(shù)學(xué)，二十年或五十年內(nèi)都可以看到它在現(xiàn)實(shí)里出現(xiàn)幫助。我們曉得在這個(gè)二十年以來，從前許多不重要的問題，在今日的工程上發(fā)生很大的影響。舉例來講，從前在數(shù)論里對于質(zhì)數(shù)的搜查這個(gè)問題，這完全是一個(gè)無聊的命題。就是說一個(gè)很大的數(shù)，你怎么將它因子分解得很快。近十多年來，在國防科學(xué)上這問題變成一個(gè)重要的命題，有許多國防科學(xué)家在做這方面的研究，所以說數(shù)學(xué)上的選題很重要。為什么因子分解很重要呢？表面上看來跟

45、真正的用途好像沒有什么關(guān)聯(lián)，可是它是一個(gè)很自然的問題，一個(gè)很大的整數(shù)它怎么分解，很快地，表面上并不重要，但可以幫助我們了解質(zhì)數(shù)的分布情形，所以我說選題是一個(gè)很重要的問題。我記得從前我們在做大學(xué)生的時(shí)候，花了很多功夫去念一些文章與參考書，有些對數(shù)學(xué)來講是很無意義的，可是反過來說因?yàn)榛撕芏喙Ψ?，所以可以了解到有些問題比較重要，有些問題比較不重要，所以花的功夫并沒有白費(fèi)。其次我們講做一個(gè)學(xué)生應(yīng)該是怎么一個(gè)看法。對于做數(shù)學(xué)或做微分幾何來講，我覺得研究的氣氛很要緊，尤其在中國的環(huán)境里，好像是不太容易培養(yǎng)出這種氣氛來。假如你旁邊的朋友或同學(xué)跟你談的都是其它的問題，譬如說股票漲了或跌了或其它問題，久而久之

46、，你大概對于做學(xué)問也沒有很大的興趣，所以培養(yǎng)做學(xué)問的態(tài)度與你交的朋友、跟的老師的關(guān)系很大。如果你們時(shí)常討論學(xué)術(shù)上的問題，你就不會(huì)覺得自己很孤單，能夠激勵(lì)你對數(shù)學(xué)上有更大的興趣。假如你自暴自棄，就是說你認(rèn)為自己不能夠在數(shù)學(xué)上做研究，不能夠在數(shù)學(xué)上達(dá)到貢獻(xiàn)的話，你永遠(yuǎn)也達(dá)不到，而且同時(shí)也影響到你旁邊的朋友，使得大家都不能向前走。我們曉得許多出名的數(shù)學(xué)家甚至在牢里也可以寫一些出名的文章，倒不是你永遠(yuǎn)關(guān)在牢里就能做好的文章，是說人在最困難的時(shí)候也可以做研究。除了氣氛很重要外，你也需要得到先進(jìn)的支持，從前我們念中學(xué)的時(shí)候，念了很多關(guān)于做學(xué)問的方法，從前覺得很好笑，以后念書念得多了以后就覺得這些很重要，事

47、實(shí)上這些是很重要的經(jīng)驗(yàn)。有句話說學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則怠，你單是學(xué)而不想是不行的，你單是想而不學(xué)也是不行的，這兩句話看起來很簡單，其實(shí)就是怎么分配你的學(xué)習(xí)跟思想，這是一個(gè)很微妙很重要的問題。一個(gè)人無論你多用功多天才，你假如不將前人做過的東西去體驗(yàn)去學(xué)習(xí)，是不可能做好的。這道理很簡單，一個(gè)人的智慧有限，我們不可能與前面十年、五年所有人做過的加起來的智慧相比，我們要靠前人的經(jīng)驗(yàn)，要靠他們的啟發(fā)，才能夠向前邁進(jìn)，雖然有人自夸的講比他們加起來都行，我不相信這種情形，也沒見過這種情形。所以出名的貢獻(xiàn)如愛因斯坦、牛頓的貢獻(xiàn)，也是在前人的成果方面再向前走一大步或一小步。所以學(xué)是一定要的，可是如果你學(xué)過這個(gè)

48、東西以后而不去思考，不去消化，就算你可以考第一，考一百分，但是你不想是絕對沒有用的。我們看過很多出名的天才，十二歲就拿到學(xué)士學(xué)位，甚至拿了很高分，可是往往我們看不出他以后的成就。為什么很多所謂的天才在以后的科學(xué)發(fā)展里沒有任何的貢獻(xiàn)？這是因?yàn)樗麄儧]有思考，沒有思考在科學(xué)上完全不會(huì)引起任何的波瀾、任何的貢獻(xiàn)，對于整個(gè)科學(xué)完全沒有好處。所以學(xué)了以后一定要思考，怎么分配你的學(xué)習(xí)跟思考就往往要有導(dǎo)師的幫忙或是同學(xué)的幫忙。所謂的幫忙并不是說老師跟你講你應(yīng)當(dāng)這么做或應(yīng)當(dāng)怎么做，這樣往往是沒有很大的效果，所以我剛剛講的氣氛很重要。從人家用功的程度或是講話的態(tài)度的啟發(fā)，或是講話的時(shí)候能夠去聽，追根出什么東西來，

49、從它而得到很大的幫助。從前我到柏克萊去念研究所時(shí)，我花了很多功夫去聽很多不同的科目，有些人覺得很奇怪，為什么我會(huì)去聽那些課？我覺得這些課對我有好處，過了幾十年后我還是覺得有好處。有些課在我去聽的當(dāng)時(shí)可能不懂，可是聽了還是覺得有好處，因?yàn)橐粋€(gè)人的腦袋的想法并不是那么簡單的，有時(shí)候某些東西當(dāng)時(shí)可能不懂，可是慢慢的就能領(lǐng)悟很多東西。我舉例來講，我做博士論文的時(shí)候，我剛好要用到群論的東西，當(dāng)時(shí)我問過許多專家，但是都不懂，我突然想到從前在某一課上聽過一個(gè)有關(guān)這方面的論文，我忘了當(dāng)時(shí)講什么課，但我記得大概在那里可以找這方面的文章，所以我花了2天的時(shí)間在圖書館，結(jié)果給我找到差不多是我所要的文章。假如當(dāng)初不去

50、聽這門課的話，我完全沒有這個(gè)機(jī)會(huì)，所以有時(shí)候聽一門不懂的課，有很多不同的幫助，所以很多研究生我跟他們講，你們?nèi)ヂ犝n不一定要懂，你坐在那邊總比不坐在那邊好，你不坐在那邊的話，你完全不可能知道有其它的方法。我想最后還是你對整個(gè)學(xué)問有多大興趣的問題，假如你對這個(gè)學(xué)問興趣不大的話，你沒辦法長年累月的坐在圖書館，坐在辦公廳里，或是坐在一個(gè)課堂上聽課，所以你一定要先決定你對這學(xué)問的興趣有多大，當(dāng)然做研究還有許多其它方面比較復(fù)雜的原因，以后有機(jī)會(huì)我們再講下去。我想現(xiàn)在你們在大學(xué)的階段，最要緊的是決定以后你要做什么東西，其它的可能就容易做到了。分幾何學(xué)是運(yùn)用數(shù)學(xué)分析的理論研究曲線或曲面在它一點(diǎn)鄰域的性質(zhì)，換句

51、話說，微分幾何是研究一般的曲線和曲面在“小范圍”上的性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支學(xué)科。微分幾何的產(chǎn)生微分幾何學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展是和數(shù)學(xué)分析密切相連的。在這方面第一個(gè)做出貢獻(xiàn)的是瑞士數(shù)學(xué)家歐拉。1736年他首先引進(jìn)了平面曲線的內(nèi)在坐標(biāo)這一概念，即以曲線弧長這以幾何量作為曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)，從而開始了曲線的內(nèi)在幾何的研究。十八世紀(jì)初，法國數(shù)學(xué)家蒙日首先把微積分應(yīng)用到曲線和曲面的研究中去，并于1807年出版了它的分析在幾何學(xué)上的應(yīng)用一書，這是微分幾何最早的一本著作。在這些研究中，可以看到力學(xué)、物理學(xué)與工業(yè)的日益增長的要求是促進(jìn)微分幾何發(fā)展的因素。1827年，高斯發(fā)表了關(guān)于曲面的一般研究的著作，這在微分幾何的歷史上有重大的

52、意義，它的理論奠定了現(xiàn)代形式曲面論的基礎(chǔ)。微分幾何發(fā)展經(jīng)歷了150年之后，高斯抓住了微分幾何中最重要的概念和帶根本性的內(nèi)容，建立了曲面的內(nèi)在幾何學(xué)。其主要思想是強(qiáng)調(diào)了曲面上只依賴于第一基本形式的一些性質(zhì)，例如曲面上曲面的長度、兩條曲線的夾角、曲面上的一區(qū)域的面積、測地線、測地線曲率和總曲率等等。他的理論奠定了近代形式曲面論的基礎(chǔ)。1872年克萊因在德國埃爾朗根大學(xué)作就職演講時(shí)，闡述了埃爾朗根綱領(lǐng)，用變換群對已有的幾何學(xué)進(jìn)行了分類。在埃爾朗根綱領(lǐng)發(fā)表后的半個(gè)世紀(jì)內(nèi)，它成了幾何學(xué)的指導(dǎo)原理，推動(dòng)了幾何學(xué)的發(fā)展，導(dǎo)致了射影微分幾何、仿射微分幾何、共形微分幾何的建立。特別是射影微分幾何起始于1878年

53、阿爾方的學(xué)位論文，后來1906年起經(jīng)以威爾辛斯基為代表的美國學(xué)派所發(fā)展，1916年起又經(jīng)以富比尼為首的意大利學(xué)派所發(fā)展。隨后，由于黎曼幾何的發(fā)展和愛因斯坦廣義相對論的建立，微分幾何在黎曼幾何學(xué)和廣義相對論中的得到了廣泛的應(yīng)用，逐漸在數(shù)學(xué)中成為獨(dú)具特色、應(yīng)用廣泛的獨(dú)立學(xué)科。微分幾何學(xué)的基本內(nèi)容微分幾何學(xué)以光滑曲線(曲面)作為研究對象，所以整個(gè)微分幾何學(xué)是由曲線的弧線長、曲線上一點(diǎn)的切線等概念展開的。既然微分幾何是研究一般曲線和一般曲面的有關(guān)性質(zhì)，則平面曲線在一點(diǎn)的曲率和空間的曲線在一點(diǎn)的曲率等，就是微分幾何中重要的討論內(nèi)容，而要計(jì)算曲線或曲面上每一點(diǎn)的曲率就要用到微分的方法。在曲面上有兩條重要概

54、念，就是曲面上的距離和角。比如，在曲面上由一點(diǎn)到另一點(diǎn)的路徑是無數(shù)的，但這兩點(diǎn)間最短的路徑只有一條，叫做從一點(diǎn)到另一點(diǎn)的測地線。在微分幾何里，要討論怎樣判定曲面上一條曲線是這個(gè)曲面的一條測地線，還要討論測地線的性質(zhì)等。另外，討論曲面在每一點(diǎn)的曲率也是微分幾何的重要內(nèi)容。在微分幾何中，為了討論任意曲線上每一點(diǎn)鄰域的性質(zhì)，常常用所謂“活動(dòng)標(biāo)形的方法”。對任意曲線的“小范圍”性質(zhì)的研究，還可以用拓?fù)渥儞Q把這條曲線“轉(zhuǎn)化”成初等曲線進(jìn)行研究。在微分幾何中，由于運(yùn)用數(shù)學(xué)分析的理論，就可以在無限小的范圍內(nèi)略去高階無窮小，一些復(fù)雜的依賴關(guān)系可以變成線性的，不均勻的過程也可以變成均勻的，這些都是微分幾何特有的

55、研究方法。近代由于對高維空間的微分幾何和對曲線、曲面整體性質(zhì)的研究，使微分幾何學(xué)同黎曼幾何、拓?fù)鋵W(xué)、變分學(xué)、李群代數(shù)等有了密切的關(guān)系，這些數(shù)學(xué)部門和微分幾何互相滲透，已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的中心問題之一。微分幾何在力學(xué)和一些工程技術(shù)問題方面有廣泛的應(yīng)用，比如，在彈性薄殼結(jié)構(gòu)方面，在機(jī)械的齒輪嚙合理論應(yīng)用方面，都充分應(yīng)用了微分幾何學(xué)的理論。最初研究的是三維空間中的曲線、曲面。Gauss于1827年寫了一本50頁左右的小書，研究曲面的微分幾何，包括大學(xué)學(xué)的微分幾何的主要內(nèi)容。這本書標(biāo)志著微分幾何學(xué)的誕生。Gauss當(dāng)時(shí)主持一項(xiàng)土地測量的的項(xiàng)目，他寫這本是為了給這項(xiàng)工作一個(gè)理論基礎(chǔ)。Gauss也是非歐幾何學(xué)

56、（non- Euclidean geometry)的創(chuàng)始人之一。需要指出的是Gauss工作的主要領(lǐng)域是數(shù)論。 同Gauss一樣，Riemann工作的主要領(lǐng)域也不是幾何學(xué)，而是單復(fù)變函數(shù)，但他是現(xiàn)代微分幾何與解析數(shù)論的創(chuàng)始人。在他為取得大學(xué)教授資格的公開講演中，Riemann提出了微分幾何學(xué)發(fā)展的新思想，其中包括流形、Riemann度量、Riemann曲率等重要概念。簡單的說，就是用局部坐標(biāo)和坐標(biāo)變換來描述一個(gè)空間，用Riemann度量做最基本的幾何量，空間的幾何性質(zhì)如彎曲程度由度量用特定方式?jīng)Q定。 Riemann的工作由Christoffel、Ricci、Levi-Civita等人發(fā)展，后來成

57、為Einstein創(chuàng)立的廣義相對論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。簡單的說，廣義相對論將物理量解釋為幾何量。具體的說，空間和時(shí)間結(jié)合在一起由一個(gè)流形描述：不同的參照系給出不同的局部坐標(biāo)；不同參照系之間的關(guān)系即是坐標(biāo)變換。時(shí)空流形的度量由所謂Lorentz度量給出，象Riemann幾何一樣計(jì)算出曲率等幾何量。Einstein方程說：時(shí)空的物理量（能量動(dòng)量張量）等于時(shí)空的幾何量（Ricci曲率張量）。 Einstein的工作激發(fā)了數(shù)學(xué)家對微分幾何的興趣，從而極大地促進(jìn)了這門學(xué)科的發(fā)展。數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家當(dāng)時(shí)關(guān)心的自然的問題是Maxwell的電磁理論的幾何化和引力理論與電磁理論的統(tǒng)一。Einstein后期致力于大統(tǒng)一理論

58、的研究沒有取得有意義的進(jìn)展，一個(gè)重要的原因可能是他沒有利用廣義相對論出現(xiàn)以后發(fā)展的幾何學(xué)。 數(shù)學(xué)家Hilbert、Weyl和Cartan都對以上問題做過研究。他們的工作突出了流形上聯(lián)絡(luò)的重要性，他們都對數(shù)學(xué)上用來描述連續(xù)對稱性的Lie群的研究做出過重大貢獻(xiàn)。Cartan的工作為現(xiàn)代微分幾何的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。他引進(jìn)的微分形式理論是研究流形的代數(shù)拓?fù)涞幕竟ぞ?，纖維叢及其聯(lián)絡(luò)成為幾何學(xué)的基本研究對象。Weyl提出的規(guī)范原理后來被楊振寧等人發(fā)展為規(guī)范場論，成為各種統(tǒng)一理論的基礎(chǔ)。楊振寧先生上一世紀(jì)五十年代提出規(guī)范場論時(shí)并不清楚與幾何學(xué)的關(guān)系，后來他們逐漸認(rèn)識到了它與幾何學(xué)的一致性，引發(fā)了理論物理和微分幾何的深入交流，產(chǎn)生了Donaldson理論，Seiberg-Witten理論、 Gromov-Witten理論等。 陳省身先生的工作建立