隨機過程大作業(yè)s

1、信息與通信工程學院（小論文）專業(yè)：信息與通信工程2017年10月看病排隊分析摘要:排隊問題是生活中比較常見而且比較難解決的問題，因此研究如何解決排隊問題對于生活有很大幫助。本文通過研究看病排隊這一具體問題分析，來分析排隊這一類的問題?？床∨抨爢栴}的實質是解決需求和供給之間的關系，如何合理分配醫(yī)療資源是解決這個問題的關鍵。通過對實際看病過程中的排隊數(shù)據(jù)進行分析來搭建相應的數(shù)學模型，利用數(shù)學模型來分析這一類問題是研究排隊問題的一種常見思路。排隊問題的模型有很多，這里采用泊松過程來進行分析。對數(shù)據(jù)進行處理來驗證使用泊松過程解決看病排隊問題的合理性。主要實用MATLAB這款數(shù)據(jù)處理軟件進行數(shù)據(jù)分析，通

2、過圖形直觀的顯示驗證結果。關鍵詞：泊松過程MATLAB 一、研究背景排隊等待是我們每個人都要經歷的，比如等待交款、等候就餐、等電梯、等公交等。患者不同于健康人，患者的病情是拖不起的，同時排隊等待對患者的身心不利，也會產生人群聚集而不利于系統(tǒng)的預防工作，“非典”疫情是使老百姓也充分意識到系統(tǒng)排隊等待的一些弊端。隨著人們防病意識的增加、生活節(jié)奏的加快和對醫(yī)療服務水平要求之高，排隊等待的組織管理問題尤顯重要。系統(tǒng)如果使患者等待，將會導致患者不滿意或可能失去患者，甚至發(fā)生交叉感染。因此，患者排隊等待問題是應該引起系統(tǒng)管理者高度重視的問題?？床∨抨牭却龁栴}在生活中是不可避免的。等待絕對不發(fā)生的唯一條件是

3、，規(guī)定患者在固定的時間間隔到達，而且服務時間是一定的。由于醫(yī)療服務能力與需求不可能完全匹配，比如多數(shù)系統(tǒng)受成本、設施、人員等客觀條件的限制，不能輕易增加設備和人員，以適應和配合患者的需求變化，或者醫(yī)療需求較難預測而醫(yī)療服務能力缺乏相應的彈性。由于患者到達系統(tǒng)的時間是隨機的，接受服務所需要的時間也是隨機的，即使預約患者按照約定時間到達系統(tǒng)，但由于醫(yī)生對疾病診治時間的不確定性，后面的患者也不得不等待。所以排隊是醫(yī)療服務過程中不可避免的就診過程，特別是在大系統(tǒng)接受就診，排隊等待時間（特別是排隊掛號、候診、交款、等待檢查）占就診時間的很大部分。在不可避免排隊等待的情況下，怎樣充分利用醫(yī)療資源對于解決排

4、隊等候排隊有很大幫助。因此研究分析患者看病排隊等候問題有利于分析患者看病需求和系統(tǒng)醫(yī)療資源的切合點，達到患者和系統(tǒng)都滿意。排隊論就是解決排隊等待問題的一門學科，又稱為等待線問題、隨機服務系統(tǒng)理論等，是運籌學的一個分支。排隊論的基本思量是由丹麥數(shù)學家、電氣工程師愛而郎1909年將概率論應用于自動電話設計問題中，從而開創(chuàng)了排隊論這一應用數(shù)學學科，并且為排隊論建立了許多基本的原則。排隊論通過對服務對象到來及服務時間的統(tǒng)計研究，得出這些數(shù)量指標（等待時間、排隊長度等）的統(tǒng)計規(guī)律，然后根據(jù)這些規(guī)律來改進服務系統(tǒng)的結構或某些指標最優(yōu)。本文由于受時間和水平的限制，不能對排隊等待問題做深入的研究，僅根據(jù)所學隨

5、機過程這門課，對于排隊這個問題用泊松過程來研究的理論驗證。二、基本原理1、對研究排隊系統(tǒng)來說，最關心排隊系統(tǒng)的一些數(shù)量指標，主要包括：（1）單位時間到達系統(tǒng)的患者數(shù)的期望值，即單位時間內的患者到達率，記作，而1/表示相鄰兩個患者到達的平均時間間隔。（2）單位時間內服務患者數(shù)的期望值，即單位時間內患者的平均離去率，記作，而1/表示每個患者的平均服務時間。（3）在時刻t系統(tǒng)中恰好有n個患者的概率是Pn(t)，顯然P0(t)為系統(tǒng)空閑率。（4）系統(tǒng)內的平均患者數(shù)，即正在接受診斷的患者與排隊等候的患者數(shù)之和，也稱為隊長，記作L。通常需要隊長的分布和前二階矩。（5）系統(tǒng)內排隊等待的平均患者數(shù)稱為等待隊長

6、，記作Lq。等待隊長與隊長的關系是等待隊長不包括正在接受服務的患者數(shù)。（6）患者從進入系統(tǒng)到接受診斷完離開系統(tǒng)的平均時間稱為患者在系統(tǒng)中花費的時間或平均逗留時間，記作W。（7）患者在系統(tǒng)內排隊等待的平均時間稱為患者花費在排隊系統(tǒng)中的平均等待時間，一般記作Wq。平均等待時間與平均逗留時間的關系是平均等待時間不包括被服務所花費的時間。以上7個指標主要從患者出發(fā)提出的技術指標，而從服務機構角度來說，還關心以下幾個技術指標。（8）單位時間內被服務的患者數(shù)稱為系統(tǒng)的絕對通過能力。（9）單位時間被服務患者數(shù)與請求診斷患者數(shù)之比稱為系統(tǒng)的相對通過能力。（10）空閑的服務機構從有患者到達時起一直到系統(tǒng)沒有患者

7、時為止這段時間稱為忙期。（11）系統(tǒng)從開始沒有患者起到一直系統(tǒng)有患者時為止這段時間稱為閑期。閑期與忙期是相對應的。（12）對于有n個服務臺的系統(tǒng)，從系統(tǒng)開始有k個患者在等待服務時起一直到有一個服務臺空閑時為止這段時間稱為系統(tǒng)的k階繁忙期。而零階繁忙期又稱為繁忙期。（13）對于損失制的排隊系統(tǒng)中、系統(tǒng)的滿員概率稱為系統(tǒng)的損失率。2、根據(jù)排隊系統(tǒng)的表示方法，我們將到達醫(yī)院等待服務的患者的人數(shù)設定為服從泊松分布，患者相繼到達時間和服務時間都服從負指數(shù)分布，其具有無記憶性。我們將相應的排隊數(shù)學模型表示為如下圖1：患者到達診斷完成離開診斷完成離開隊列醫(yī)生1醫(yī)生kM/M/N系統(tǒng)即服務機構有N個服務臺，而患

8、者源的數(shù)量無限。設M/M/N系統(tǒng)的輸入過程是參數(shù)為的泊松過程，每個服務臺的服務時間是都服從參數(shù)的負指數(shù)分布。患者到達時間和工作人員服務時間相互獨立。根據(jù)模型，患者的到來遵循參數(shù)為的泊松過程，即任意兩個患者到來的時間間隔遵循參數(shù)為的負指數(shù)分布：我們都知道在醫(yī)院里都是取號按到達的先后順序依次接受服務的，所以可以將之等同于患者排成一個隊列按到達的先后順序依次接受服務。在本文的模型中，一共有N個服務窗口，假設每個服務窗口服務一次的時間遵循參數(shù)為的負指數(shù)分布，各個服務窗口之間是相互獨立的，且服務窗口與患者的到達時間也是相互獨立的。那么以相應關系給出所需要的全部數(shù)量指標符號2： ：平均隊長，表示系統(tǒng)中的患

9、者數(shù)，是排隊等候的患者數(shù)和正在掛號的患者數(shù)總和。：平均列隊長，表示系統(tǒng)中排隊等候的患者數(shù)。：平均占用服務臺數(shù)，即正在掛號的患者數(shù)。：平均逗留時間，包括等待時間和掛號時間。：平均等待時間，也稱平均排隊等待時間。：系統(tǒng)到達平衡時，所有服務臺空閑的概率。：患者到達的平均速率，即單位時間內平均到達的患者數(shù)。：平均掛號速率，即單位時間內掛號完畢離去的患者數(shù)。：服務強度，表示每個窗口單位時間內的平均掛號時間，且只有當?shù)臅r候才不會排成無限的隊列。nn=n-1=2=1=2=2n3=30=210n-1nn+11=n-1=(n-1)我們可以根據(jù)上述轉移關系圖得到M/M/N系統(tǒng)相關轉移計算公式，如下：這里要求1.在

10、本文的模型中，醫(yī)院服務窗口數(shù)量一方面要考慮患者者的需求，另一方面也要考慮自身人力消耗的因素。所以我們最后的目標是求出在不同的患者量的情況下的最佳窗口數(shù)目N。即得到兩者的一個確定的表達式 ，下面對該模型的進行理論求解。設患者到達的速率為N，服務的速率為，窗口數(shù)為N，記狀態(tài)為隊伍里有個人等待時的狀態(tài)。則有狀態(tài)時的患者到達率為，狀態(tài)時的服務率為將某時刻存在個患者排隊的概率設為，即得到的平衡方程。將其進行整理如下：采用遞推法，遞推先關表達式得到下述結果：3我們將上式歸一化處理得到相關求和結果：給定系統(tǒng)的服務強度為33、平均隊長系統(tǒng)中患者的平均數(shù)即平均隊長為：4、平均列隊長若存在排隊等待的患者，就說明系

11、統(tǒng)中患者數(shù)大于服務臺數(shù)量，因此有個患者在接受服務時，排隊等候的患者數(shù)為。那么系統(tǒng)中排隊患者的平均數(shù)即為等待列隊長，即：5、平均占用服務臺數(shù)根據(jù)上述數(shù)量指標解釋：6、患者等待時間的分布2將相應結果帶入醫(yī)院M/M/N系統(tǒng)數(shù)學模型中：2根據(jù)上述算式，可以通過確定的平均速率和平均服務速率，進行計算來確定服務臺窗口數(shù)量。7、平均逗留時間在系統(tǒng)平穩(wěn)條件滿足的情況下，患者在系統(tǒng)逗留時間包括等待時間和接受服務時間兩個部分，由于等待時間和接受服務時間是相互統(tǒng)計獨立的，因此接受服務時間服從指數(shù)分布，它的概率密度函數(shù)，求得的均值和方差如下，所以可以得到：因此可以得到逗留時間的分布函數(shù)為8、系統(tǒng)通過能力由于M/M/N

12、系統(tǒng)的患者數(shù)量無限制，因此它屬于等待制的排隊系統(tǒng)，即到達系統(tǒng)中的患者遲早得到服務臺服務，因此系統(tǒng)損失率為系統(tǒng)相對通過能力為系統(tǒng)絕對通過能力為三、仿真分析通過對以上數(shù)據(jù)了解分析，這里使用Matlab編程對比仿真結果和理論結果，以證明理論推導的，正確性代碼見附錄1、2、3。我們對仿真實驗進行如下設計：設模擬的總人數(shù)為n，服務窗口數(shù)為N，首先利用一個的矩陣來記錄每個人的信息。其中第一行表示到達時刻，第二行表示服務時間長度，第三行表示等待時間長度，第四行表示離開時刻。其中到達時刻和服務時間長度可由己知的求得。易知離開的時刻=到達的時刻+服務時間長度+等待時間長度。用長度為N的Serve_State表示

13、每個窗口的接受服務的人的離開時刻。前N個人到達后不需要等待，故等待時間為零。從第N+1個人開始，先由Serve_State求出N 個窗口中的提早結束服務的窗口，如果結束服務的時刻小于患者到來的時刻，則該患者的等待時間為零：如果結束服務的時刻大于患者到來的時刻，則二者之差為該患者的等待時間。同時更新該窗的接受服務的人的離開時刻。在求出所有患者的等待時間后，對其求平均值，得到最后要求的平均等待時間。初始值設定：服務窗口數(shù)N=5，模擬總人數(shù)n=500,服務速率mu=4,患者到達速率lambda=100。我們對患者到達速率和服務臺工作速率分別進行50仿真實驗，取其中一組圖像展示如下：圖1 患者到達速率

14、仿真結果和理論結果圖2 服務速率仿真結果與理論結果分別對如上實驗結果求解均方誤差MSE，結果如下圖所示：圖3 患者到達速率均方誤差圖4 服務臺工作速率均方誤差結論：根據(jù)數(shù)值結果，我們可以看出此模型推算出的相關參數(shù)的患者到達速率和服務臺工作速率的5仿真結果大致相似，擬合程度較高。同時計算50次仿真的均方誤差曲線數(shù)值較小，說明預測模型描述實驗數(shù)據(jù)具有比較好的精確度。模型符合實驗結果要求，針對此類問題可作出合理規(guī)劃滿足實際情況。4、 參考文獻1何選森.隨機過程與排隊論.長沙:湖南大學出版社.2羅鵬飛,張文明.隨機信號分析與處理.北京:清華大學出版社,2006.3王梓坤.隨機過程通論.北京:北京師范大

15、學出版社,1996.五、附錄1、main.m%主要程序：對仿真結果和理論結果進行對比，證明理論推導的正確性N=5;%服務窗口數(shù)n=500;%模擬實際人數(shù)mu=4;%服務速率lambda=1:0.5:20;%對參數(shù)患者到達速率lambda進行掃描y1=zeros(1,length(lambda);%儲存排隊仿真結果y2=zeros(1,length(lambda);%儲存排隊理論結果for t=1:50for i=1:length(lambda)y1(i)=MMN(lambda(i),mu,n,N);y2(i)=time(lambda(i),mu,N);enda(t)=mse(y1,y2);%計

16、算均方誤差endfigureplot(lambda,y1,r,LineWidth,2);hold onplot(lambda,y2,c,LineWidth,2);xlabel(患者到達速率)legend(仿真結果,理論結果); title(仿真結果與理論結果對比);figureplot(a,y);legend(患者到達速率mse);lambda=100; mu=20:0.5:40;%對服務速率mu進行掃描 y1=zeros(1,length(mu);%儲存排隊仿真結果 y2=zeros(1,length(mu);%儲存排隊理論結果for j=1:50for i=1:length(mu)y1(i

17、)=MMN(lambda,mu(i),n,N);y2(i)=time(lambda,mu(i),N);end b(j)=mse(y1,y2);endfigureplot(mu,y1,b,LineWidth,2);hold onplot(mu,y2,g,LineWidth,2);xlabel(服務速率)legend(仿真結果,理論結果);title(仿真結果與理論結果對比);figureplot(b,m);legend(服務速率mse);2、MMN.m%MMN模型function y=MMN(lambda,mu,n,N)%lambda患者到達速率 mu服務速率 n仿真患者數(shù)目 N服務臺數(shù)%用4*

18、n的矩陣分別記錄每位患者到達時間、服務時間、等待時間和離開時間state=zeros(4,n);state(1,:)=exprnd(1/lambda,1,n);%患者到達時間服從指數(shù)分布temp=cumsum(state(1,:);state(1,:)=temp;state(2,:)=exprnd(1/mu,1,n);%患者接受服務時間服從指數(shù)分布state(3,1:N)=zeros(1,N);%前N個人不用等直接可以進行掛號state(4,1:N)=sum(state(1:3,1:N);%前N個人離開時間serve_state=zeros(1,N);%記錄窗口結束服務的時刻serve_state=state(4,1:N);%初始化for k=N+1:n%討論N+1個人以以后的患者m,position=min(serve_state