專題2立方和公式、和(差)的立方公式(必講)(張俊)

1、專題二 立方和（差）公式、和（差）的立方公式我們在初中已經(jīng)學習過了下列一些乘法公式：2 2（1） 平方差公式（a b）（a b） a b ；（2） 完全平方公式（a b）2 a2 2ab b2。我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式(ab)(a2ab b2)3 ab3 ；（2）立方差公式(ab)(a2ab b2)3 ab3 ；（3）三數(shù)和平方公式(ab c)2a2 b22 c2(ab bc ac)；（4）兩數(shù)和立方公式(ab)3 a3 3a2b3ab2b3 ；（5）兩數(shù)差立方公式(ab)3 a3 3a2b3ab2b3。對上面列出的五個公式，有興趣的同學可以自己去證明。反過來，

2、就可以利用上述公式對多項式進行因式分解。例1計算：（1）（32y）（9 6y 4y2）；（2） （5x 2y）（25x2 |xy 4 y2）；2（3）（2x 1）（4 x 2x 1）。分析：兩項式與三項式相乘，先觀察其是否滿足立方和（差）公式，然后再計算解:（ 1）原式=33 （2y）327 8y3 ；（2）原式=（5x）3y）3125x31 y3 ；2 8（3）原式=8x3 4x2 2x 4x2 2x 1 8x3 8x2 4x 1。說明：第（1）、（ 2）兩題直接利用公式計算.第（3）題不能直接利用公式計算，只好用多項式乘法法則計算，若將此題第一個因式中“+T改成“-1 ”則利用公式計算；若

3、將第二個因式中“ 2x ”改成“ 2x ”則利用公式計算；若將第二個因式中“ 2x ”改成“ 4x ”,可先用完全平方公式分解因式，然后再用和的立方公式計算23322332（2x 1）（2x 1）2（2x 1）3（2x）33（2x）21 3（2x） 12138x312x26x 1。例2計算:(1)(x31)(x6 x3 1)(x91)；(2)(x 1)(x 1)(x2 x 1)(x2 x 1)；(3)(x 2y)2(x2 2xy 4y2)2 ；分析:利用乘法的交換律、積的乘方，找出滿足立方和（差）的兩個因式，是計算的關(guān)鍵原式(X9 1)( x91) x18 1 ；(2)解法一：原式(x 1)(

4、x x 1)(x 1)(xx 1) (x3 1)(x3 1)x6 1 ；(3)22解法二：原式 (x 1)(x 1)(x1)x( x(x2 1)(x2 1)2 x2(x2 1)(x4 x2 1)1) X原式（x2y)(x22 22xy 4y )(x33 28y )X616x3y364 y6。說明：第（2）、（ 3）題往往先用立方和（差）公式計算簡捷.相反，如第（2）題的第二種解法就比較麻煩.例3因式分解:(1)33x y 125 ；(2)4a 27 a ；(3)分析:對照立方和（差）公式，正確找出對應的a,b是解題關(guān)鍵，然后再利用立方公式分解因式。解：（1）原式 （xy）353 (xy 5)(

5、x2y25xy 25)；(2)原式 a(133327a )a1(3a)2a(1 3a)(1 3a 9a )（3）原式(x3)2 (y3)2 (X3 y3)(x3 y3) (x y)(x2 xy y2)(x y)(x2 xy y2)。說明：我們可嘗試一下，第(3)題先用立方差公式分解就比較復雜，會導致有的同學分解不 徹底。例4設(shè)x y 5,xy 1 ,試求x3 y3的值。3322分析：對于立方和公式 a b (a b)(a ab b )，我們不難把它變成：3 a323b (a b)(a b) 3ab，即 a33b (a b) 3ab(a b),再應用兩數(shù)和、 兩數(shù)積解題較為方便。解：3333x

6、y (x y) 3xy(x y) 53(1) 5 140。說明:立方和(差)與和(差)的立方之間可以相互轉(zhuǎn)化。例5如果 ABC的三邊a,b,c滿足a3a2bab2 ac2 bc2 b30 ,試判斷 ABC的形狀。分析:直接看不出三角形邊之間的關(guān)系，可把左邊的多項式分解因式，變形后再找出三角形三邊之間的關(guān)系。解：因為a3a2bab22 acbc2b30 ,所以a3 b3(a2b ab2)(ac2bc2)0 ,2即(a b)(aabb2)ab(ab)c2(ab) 0,2 2 2(a b)(a b c )0,所以a b或a2 b2 c2,因此 ABC是等腰三角形或直角三角形 說明：此類題型，通常是把

7、等式一邊化為零，另一邊利用因式分解進行恒等變形練習1.計算:(1)(4a)(16 4aa2);(2)(2 a】b)(4 a2-ab丄b2339(3)(x1)(x2x1)；(4) X(x 2)2 (x2 2x 4)(x 2)。2.計算：(1)(x2)(x(2)(2x3y)3(3)(51 b)33b)；(4)(m1)3(m2)2(x2 2x 4)( x22 m 1)3。(1) (2x 1)3 x3 ；(2)27 x38y3 ；(3)2x31 3 y ； 4(4)m664。4.化簡:aba a b b- aba 、ab b5若a bc 0，求證3.分解因式:o(1)已知m n6.3 a7.8.9.(

8、2)已知：x已知兩個正方體,已知a b 1 ,2，求 m3y 1,求 x3其棱長之總和為求a3n32x 4);b2c abc b36mn的值;3xy的值.48cm,33ab b的值。已知a b 2,ab 48，求a4 b4的值。10.已知實數(shù)a,b,c滿足 abc0, abc答案:1. (1)643小 3a ； (2) 8a1 ,327b ； (3)2. ( 1)x664;(2) 8x3體積之和為1,a2b20。28cnf,求兩個正方體的棱長.c22, a3 b3 c3，求 abc的值。x3 1 ;36x2(4)4x2 4x 8。y 54xy227 y3 ；5 213963(3)125 25b -b2 b3 ；(4)m93m63m31。3273、(1)(3x 1)(3x2 3x 1) ；(2)(3x2y)(9x2 6xy4y2)；4)。(3)(2x y)(4x2