熱力學(xué)與時(shí)間之始

1、科學(xué)文化評(píng)論第1卷 第1期(2004):熱力學(xué)與時(shí)間之始質(zhì)疑彭若斯與霍金的奇性定理趙 崢作者簡(jiǎn)介： 趙錚，1943年生，北京師范大學(xué)物理學(xué)系教授。摘 要 文章介紹了廣義相對(duì)論中的奇點(diǎn)困難，介紹了彭若斯與霍金給出的著名的奇性定理的證明。奇性定理認(rèn)為時(shí)間一定有開(kāi)始和終結(jié)。文章指出，類光測(cè)地線可以看作固有加速度為無(wú)窮大的類時(shí)線。奇性定理是在絕對(duì)零度或溫度發(fā)散的情況下證明的，熱力學(xué)第三定律可能是克服奇點(diǎn)困難的關(guān)鍵。文章還指出，熱平衡的傳遞性等價(jià)于鐘速同步的傳遞性。熱力學(xué)第三定律將保證時(shí)間的無(wú)限性，而熱力學(xué)第零定律將保證可以在大范圍內(nèi)統(tǒng)一地定義時(shí)間。關(guān)鍵詞 廣義相對(duì)論 奇性定理 熱力學(xué)第三定律 時(shí)間 加

2、速度 熱力學(xué)第零定律 鐘速同步 時(shí)間有沒(méi)有開(kāi)始和結(jié)束？千百年來(lái)，許多偉大的思想家對(duì)此進(jìn)行過(guò)深入的探索，但是有關(guān)的探討都局限在哲學(xué)的分析和猜測(cè)上。從20世紀(jì)60年代開(kāi)始，物理學(xué)開(kāi)始介入了這一問(wèn)題的研究。其標(biāo)志是彭若斯（r. penrose）和霍金（s. w. hawking）提出的奇性定理（singularity theorems），該定理概括并超出了關(guān)于宇宙開(kāi)端和終結(jié)的研究。奇性定理可粗略表述為：只要廣義相對(duì)論成立，因果性良好，有物質(zhì)存在，就至少有一個(gè)物理過(guò)程，其時(shí)間存在開(kāi)始或存在結(jié)束，或既有開(kāi)始又有結(jié)束hawking & ellis, 1973; wald, 1984; 霍金、彭若斯，199

3、6；梁燦彬，2000；趙錚，1999 & 2001。這一數(shù)學(xué)定理在物理學(xué)和哲學(xué)上的重大意義是不言而喻的。遺憾的是，到目前為止，它還沒(méi)有引起哲學(xué)界的注意，物理界對(duì)它的重視也遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。20世紀(jì)最重大的物理成就是相對(duì)論和量子論的誕生。經(jīng)過(guò)近百年的努力，狹義相對(duì)論和量子論已被大量的實(shí)驗(yàn)事實(shí)所證實(shí)，其理論框架也基本建立了起來(lái)。然而，對(duì)于愛(ài)因斯坦本人最為重視的廣義相對(duì)論，情況卻不能令人滿意。一方面，驗(yàn)證廣義相對(duì)論的實(shí)驗(yàn)非常稀少，另一方面，它的理論結(jié)構(gòu)還存在重要困難。理論上的困難主要有三個(gè)。一是引力場(chǎng)量子化的努力一直不成功，不僅把引力場(chǎng)與其它規(guī)范場(chǎng)統(tǒng)一起來(lái)的努力沒(méi)能達(dá)到目的，而且連引力波也至今沒(méi)有探測(cè)到。第

4、二個(gè)主要困難就是上面提到的奇性定理。時(shí)間一定有開(kāi)始和結(jié)束的結(jié)論很難被人接受。第三個(gè)困難是相對(duì)論與熱力學(xué)不協(xié)調(diào)，不僅廣義相對(duì)論不協(xié)調(diào)，甚至狹義相對(duì)論也與熱力學(xué)不協(xié)調(diào)landsberg, 1978。物理界并非沒(méi)有看到廣義相對(duì)論存在問(wèn)題，奇怪的是絕大多數(shù)物理學(xué)家只注意了第一個(gè)困難。盡管幾十年來(lái)也沒(méi)有取得重要進(jìn)展，許多人還是把大量精力投入引力場(chǎng)量子化和統(tǒng)一場(chǎng)論的研究，卻極少有人重視廣義相對(duì)論的后兩個(gè)困難。下面，作者將對(duì)奇性定理造成的困難作簡(jiǎn)要的介紹，并討論其可能引發(fā)的重大科學(xué)與哲學(xué)進(jìn)展。一 時(shí)間的開(kāi)始與終結(jié)廣義相對(duì)論中的奇點(diǎn)困難廣義相對(duì)論誕生不久，人們就發(fā)現(xiàn)愛(ài)因斯坦方程的解（即滿足廣義相對(duì)論的時(shí)空）普

5、遍存在奇異性（奇點(diǎn)或奇環(huán)等）。奇異性有兩類，一類是內(nèi)稟奇異性，表現(xiàn)為時(shí)空曲率發(fā)散，而且這種發(fā)散與坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)。例如，球?qū)ΨQ黑洞（史瓦西黑洞）的“中心”奇點(diǎn)，轉(zhuǎn)動(dòng)黑洞內(nèi)部的奇環(huán)，大爆炸宇宙的初始奇點(diǎn)，大塌縮宇宙的大擠壓終結(jié)奇點(diǎn)等，都屬于這類奇異性。另一類是坐標(biāo)奇異性。這種奇異性是由于坐標(biāo)系選擇不當(dāng)而引起的，可以用坐標(biāo)變換加以消除。只存在坐標(biāo)奇異性的地方，時(shí)空曲率正常，并不出現(xiàn)發(fā)散。應(yīng)該說(shuō)明，坐標(biāo)奇異性往往也有它的物理意義和幾何意義。例如，各種黑洞的表面（事件視界，event horizon）都存在坐標(biāo)奇異性，黑洞的許多重要性質(zhì)都與這種奇異性的存在有關(guān)。不過(guò)，本文的目的不是討論黑洞，對(duì)坐標(biāo)奇異

6、性不感興趣。下面，我們探討的都是內(nèi)稟奇異性。為了討論方便，下面我們把出現(xiàn)內(nèi)稟奇異性的地方（奇點(diǎn)、奇環(huán)等），統(tǒng)稱為奇點(diǎn)。 奇點(diǎn)是物理理論無(wú)法了解的地方，它隨時(shí)可能產(chǎn)生無(wú)法預(yù)測(cè)的信息。環(huán)形奇點(diǎn)的附近還會(huì)出現(xiàn)“閉合類時(shí)線”，沿這類曲線生活運(yùn)動(dòng)的人，會(huì)回到自己的過(guò)去。這簡(jiǎn)直令人不可思議。更為嚴(yán)重的是，彭若斯和霍金證明了 “奇性定理”。這個(gè)定理可粗略表述為：只要愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論正確，并且因果性成立，那么任何有物質(zhì)的時(shí)空，都至少存在一個(gè)奇點(diǎn)。值得注意的是，彭若斯和霍金在提出并證明“奇性定理”的過(guò)程中，對(duì)“奇點(diǎn)”概念進(jìn)行了重新認(rèn)識(shí)，提出了極其重要的新思想: 奇點(diǎn)應(yīng)該看作時(shí)間的開(kāi)始或終結(jié)! 這就是說(shuō)，他們

7、的奇性定理證明了時(shí)間一定有開(kāi)始和終結(jié)。 彭若斯與霍金等人對(duì)于奇點(diǎn)的這一認(rèn)識(shí)，來(lái)源于對(duì)宇宙和黑洞的研究。在大爆炸宇宙模型中，宇宙與時(shí)間一起誕生于時(shí)空曲率發(fā)散的初始奇點(diǎn)；對(duì)于其中的大塌縮結(jié)局，宇宙與時(shí)間又一起終結(jié)于時(shí)空曲率發(fā)散的大擠壓奇點(diǎn)。另一方面，廣義相對(duì)論告訴我們，黑洞內(nèi)部的時(shí)空坐標(biāo)要發(fā)生互換，原來(lái)的時(shí)間t 成為空間坐標(biāo)，而徑向坐標(biāo)r 則成為時(shí)間坐標(biāo)。所以黑洞內(nèi)部的等r 面不再是球面，而成為了等時(shí)奇點(diǎn) 視界 圖1 史瓦西黑洞面。對(duì)于黑洞，時(shí)間方向指向 r = 0 的奇點(diǎn)處。這樣, 等r 面成為“單向膜”，任何進(jìn)入黑洞的物質(zhì)只能向r 減小的方向運(yùn)動(dòng)，不能停留，也不可能反向運(yùn)動(dòng)，而且沒(méi)有任何力和任

8、何物質(zhì)結(jié)構(gòu)能夠抗拒這種運(yùn)動(dòng)。這是因?yàn)?，這不是一般的運(yùn)動(dòng)，而是一個(gè)時(shí)間發(fā)展的過(guò)程，什么力量都不能抵擋，不能不順著時(shí)間方向前進(jìn)。也就是說(shuō)，任何物質(zhì)都必須“與時(shí)俱進(jìn)”。黑洞內(nèi)部整個(gè)是單向膜區(qū)，黑洞的邊界(視界)是單向膜區(qū)的起點(diǎn)。進(jìn)入黑洞的飛船和任何其它物質(zhì)都將在有限的時(shí)間內(nèi)穿越單向膜區(qū)到達(dá)奇點(diǎn)。值得注意的是，由于時(shí)空坐標(biāo)互換， r = 0 現(xiàn)在不是黑洞的“球心”, 而是時(shí)間的終點(diǎn)。這就是說(shuō), 進(jìn)入黑洞的飛船和宇航員在經(jīng)歷有限時(shí)間之后，就到達(dá)了時(shí)間的終點(diǎn)?；蛘哒f(shuō)，他們的時(shí)間將在有限的經(jīng)歷中結(jié)束。按照廣義相對(duì)論，還可能存在白洞。白洞是黑洞的時(shí)間反演。它的內(nèi)部也是單向膜區(qū)，只不過(guò)時(shí)間方向從奇點(diǎn) r = 0

9、 處指向視界處，所以它的單向膜的單向性與黑洞相反。需要強(qiáng)調(diào)的是，白洞內(nèi)部的r = 0 處，不是時(shí)間的終點(diǎn)，而是時(shí)間的起點(diǎn)。有奇點(diǎn)的時(shí)空，稱為奇異時(shí)空。然而，如果有人把奇點(diǎn)從時(shí)空中挖掉，剩下的時(shí)空還能叫做奇異時(shí)空嗎？彭若斯和霍金認(rèn)為即使把奇點(diǎn)挖掉，時(shí)空的根本性質(zhì)也不會(huì)有變化，仍然是奇異時(shí)空。然而，挖掉奇點(diǎn)之后，時(shí)空中就不存在曲率為無(wú)窮大的點(diǎn)了，因此，僅僅用“曲率無(wú)窮大”來(lái)定義奇點(diǎn)是有缺陷的。他們注意到，雖然人們可以把奇點(diǎn)從時(shí)空中挖掉，但挖掉之后總會(huì)留下空洞，那么時(shí)空中任何一條經(jīng)過(guò)空洞的曲線都會(huì)在那里斷掉。于是，彭若斯和霍金建議，干脆把奇點(diǎn)從時(shí)空中“去掉”，認(rèn)為它們不屬于時(shí)空。粗略地說(shuō)，干脆把它們

10、看作時(shí)空中的“空洞”。但是任何一個(gè)正常點(diǎn)也都可以從時(shí)空中挖掉，形成空洞，時(shí)空中的曲線到達(dá)這樣的空洞當(dāng)然也會(huì)斷掉。不過(guò)，這種空洞可以補(bǔ)上，而奇點(diǎn)處的空洞則由于曲率發(fā)散而補(bǔ)不上。圖2. 左：奇異的時(shí)空 右：挖掉奇點(diǎn)的奇異時(shí)空于是，彭若斯和霍金這樣去證明他們的“奇性定理”: 證明時(shí)空中至少存在一條具有如下性質(zhì)的類光(光速)或類時(shí)(亞光速)曲線: 它在有限的長(zhǎng)度內(nèi)會(huì)斷掉，而且斷掉的地方不能用任何手段修補(bǔ)，以使這條曲線可以延伸過(guò)去。類空(超光速)曲線（space-like curves）不在他們的考慮范圍之內(nèi)，因?yàn)檫@樣的曲線描述超光速運(yùn)動(dòng)，而自然界不存在超光速運(yùn)動(dòng)的粒子。類光曲線（null curves

11、）描述光子運(yùn)動(dòng)，類時(shí)曲線（time-like curves）描述低于光速的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)， 例如電子運(yùn)動(dòng)、火箭運(yùn)動(dòng)以及我們?nèi)祟惪梢赃M(jìn)行的任何活動(dòng)?？傊? 光速或亞光速曲線描述自然界存在的一切實(shí)際過(guò)程。相對(duì)論研究表明，時(shí)空中的亞光速曲線的長(zhǎng)度，恰恰是沿此線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)(或火箭、或任何物體和人)所經(jīng)歷的時(shí)間（固有時(shí)間，proper time）。所以，按照彭若斯和霍金的觀點(diǎn)，“奇點(diǎn)”就是時(shí)間過(guò)程斷掉的地方。奇性定理的實(shí)質(zhì)內(nèi)容是: 在因果性成立、廣義相對(duì)論正確、而且有物質(zhì)存在的時(shí)空中，至少有一個(gè)可實(shí)現(xiàn)的物理過(guò)程，它在有限的時(shí)間之前開(kāi)始，或在有限的時(shí)間之后終結(jié)。也就是說(shuō)，至少有一個(gè)物理過(guò)程，它的時(shí)間有開(kāi)始，或

12、有終結(jié)，或者既有開(kāi)始又有終結(jié)。換句話說(shuō)，至少有一個(gè)時(shí)間過(guò)程，它的一頭或兩頭是有限的?？傊?，奇性定理告訴我們，時(shí)間是有限的，不是無(wú)窮無(wú)盡的。黑洞的內(nèi)部，有一個(gè)時(shí)間的“終點(diǎn)”，即黑洞的奇點(diǎn)。白洞的內(nèi)部，有一個(gè)時(shí)間的“起點(diǎn)”，即白洞的奇點(diǎn)。膨脹宇宙的時(shí)間有一個(gè)起點(diǎn)(大爆炸奇點(diǎn))，脈動(dòng)宇宙的時(shí)間，則不僅有一個(gè)起點(diǎn)(大爆炸奇點(diǎn))，還有一個(gè)終點(diǎn)(大擠壓奇點(diǎn))。奇性定理的前提條件是無(wú)可非議的。奇性定理的證明過(guò)程，依據(jù)了現(xiàn)代微分幾何和廣義相對(duì)論的研究成果，經(jīng)過(guò)了不少專家的反復(fù)推敲?？磥?lái)，奇點(diǎn)困難無(wú)法擺脫。奇點(diǎn)一定存在，時(shí)間一定有限。奇性定理不僅確認(rèn)了奇點(diǎn)不可避免，而且指出奇點(diǎn)困難反映了時(shí)間的有限性。二 奇性定

13、理概述 下面，我們先介紹一些基本概念，然后介紹證明奇性定理的思路hawking & ellis, 1973; wald, 1984; 霍金、彭若斯，1996；梁燦彬，2000；趙錚，1999 & 2001 。1 測(cè)地線與仿射參量 由于一般的世界線不易找到合適的參量來(lái)表征“長(zhǎng)度”，彭若斯和霍金在研究奇點(diǎn)時(shí)把注意力集中到測(cè)地線（geodesics）上。測(cè)地線是直線在彎曲時(shí)空中的推廣，它是不受外力（萬(wàn)有引力不算外力）的自由質(zhì)點(diǎn)和自由光子在彎曲時(shí)空中的運(yùn)動(dòng)軌跡。測(cè)地線有一種很好的參量可以反映長(zhǎng)度，那就是仿射參量（affine parameter）。類時(shí)測(cè)地線（time-like geodesics，自

14、由質(zhì)點(diǎn)的軌跡）的仿射參量可以看作固有時(shí)間（即沿此測(cè)地線運(yùn)動(dòng)的觀測(cè)者親身經(jīng)歷的時(shí)間）。類光測(cè)地線（null geodesics，自由光子的軌跡）的仿射參量雖然不能看作固有時(shí)間, 但仍能很好地描述光線的長(zhǎng)度。如果有一根非類空測(cè)地線(即類時(shí)或類光的測(cè)地線)，在未來(lái)或過(guò)去方向上，在有限的仿射長(zhǎng)度內(nèi)斷掉，不能再繼續(xù)延伸，那么，這根測(cè)地線就被認(rèn)為碰到了時(shí)空的“洞”。如果這個(gè)“洞”補(bǔ)不上(例如, 曲率發(fā)散處的“洞”就補(bǔ)不上)，那么它就是奇點(diǎn)。嚴(yán)格說(shuō)來(lái)，“洞”不一定是一個(gè)點(diǎn)，可能是一個(gè)區(qū)域，而且此區(qū)域不屬于時(shí)空，甚至可能不屬于流形，個(gè)別情況還不屬于拓?fù)淇臻g。2 時(shí)空的因果結(jié)構(gòu) 分別滿足下述條件的時(shí)空，具有不同

15、的因果結(jié)構(gòu)。它們滿足的因果性一個(gè)比一個(gè)好。圖3. 左：閉合類時(shí)線 右：閉合類光線. 編時(shí)條件(chronology condition)：不存在閉合類時(shí)線。即，一個(gè)人或一個(gè)質(zhì)點(diǎn)不能隨著時(shí)間前進(jìn)，又轉(zhuǎn)回自己的過(guò)去。. 因果條件(causality condition)：不存在閉合因果線。即，不僅沒(méi)有閉合類時(shí)線，也沒(méi)有閉合類光線。閉合類光線表示一條光線隨著時(shí)間前進(jìn)，會(huì)轉(zhuǎn)回它的過(guò)去。. 強(qiáng)因果條件(strong causality condition)：不存在閉合因果線，也不存在無(wú)限逼近閉合的因果線。. 穩(wěn)定因果條件(stable causality condition)：在微擾下也不出現(xiàn)閉合因果線

16、。即，不存在閉合因果線，而且在對(duì)時(shí)空進(jìn)行微擾的情況下，也不會(huì)導(dǎo)致原來(lái)不閉合的因果線閉合起來(lái)。. 整體雙曲(globally hyperbolic)：時(shí)空存在柯西面。所謂柯西面是這樣一張超曲面，時(shí)空中的任何一條因果線都必須與它相交，而且只交一次。整體雙曲的時(shí)空是因果性最好的時(shí)空。整體雙曲的時(shí)空一定穩(wěn)定因果，穩(wěn)定因果的時(shí)空一定強(qiáng)因果。強(qiáng)因果時(shí)空一定滿足因果條件，因果條件一定推出編時(shí)條件。閔可夫斯基時(shí)空和史瓦西時(shí)空都是整體雙曲的。reissner-nordstrom時(shí)空（即帶電史瓦西時(shí)空）是穩(wěn)定因果的。轉(zhuǎn)動(dòng)軸對(duì)稱的kerr時(shí)空和kerr-newman時(shí)空（帶電kerr時(shí)空）則因果性很差，連編時(shí)條件都

17、不滿足，在奇環(huán)附近存在閉合類時(shí)線，沿此類時(shí)線生存的觀測(cè)者，將不斷地返回自己的過(guò)去。3 能量條件 . 弱能量條件(weak energy condition) 固有能量密度 r 一定非負(fù)，r = t00 = tab xa xb 0(1)式中 tab 為能量動(dòng)量張量, xa 為觀測(cè)者四速。固有能量密度即任何觀測(cè)者實(shí)際測(cè)量的，自己周圍且相對(duì)于自己靜止的時(shí)空鄰域的能量密度。. 強(qiáng)能量條件(strong energy condition) tab xa xb txa xa (2)即r 0(3) 式中 r 為固有能量密度， pi 為壓強(qiáng)(應(yīng)力)。強(qiáng)能量條件是說(shuō)應(yīng)力不能太負(fù)。事實(shí)上，在絕大多數(shù)情況，應(yīng)力都是

18、正的，所以，一般情況下強(qiáng)能量條件反而比弱能量條件弱。但是，存在應(yīng)力為負(fù)的情況，這時(shí)，強(qiáng)能量條件就比弱能量條件強(qiáng)了。. 主能量條件(dominant energy condition) 能流密度 ja tab xb 未來(lái)指向，且類時(shí)或類光。即 ja xa 0 r 0(未來(lái)指向)(4) ja ja 0 u2 1 (類時(shí)或類光)(5) 式中 u 為能流的三維速度。主能量條件實(shí)質(zhì)上是要求能流不能超光速，且弱能量條件必須成立。從主能量條件可以推出弱能量條件。4 共軛點(diǎn)與最長(zhǎng)線 測(cè)地線的共軛點(diǎn)（conjugate points），是指無(wú)限鄰近的測(cè)地線的一對(duì)交點(diǎn)。共軛點(diǎn)有兩種，一種是線匯（congruenc

19、e）的共軛點(diǎn)，另一種是線匯與超曲面（hypersurface）共軛的點(diǎn)。線匯的共軛點(diǎn)是這樣定義的：測(cè)地線匯中無(wú)限鄰近的測(cè)地線，如果有兩個(gè)交點(diǎn)，則稱此二交點(diǎn)為共軛點(diǎn)。線匯與超曲面共軛的點(diǎn)，是指垂直于此超曲面的一組無(wú)限鄰近的測(cè)地線的交點(diǎn)。測(cè)地線匯, 按照定義, 是指過(guò)每一時(shí)空點(diǎn)有一根且只有一根測(cè)地線的情況。在測(cè)地線的交點(diǎn)，當(dāng)然有兩根以上的測(cè)地線。從這個(gè)意義上講，共軛點(diǎn)是線匯的奇點(diǎn)，但它還不是時(shí)空的奇點(diǎn)。圖4. 線匯的共軛點(diǎn)圖5. 線匯與超曲面的共軛點(diǎn)可以證明：. 連接 p、s兩點(diǎn)的類時(shí)線中存在局部最長(zhǎng)線 g 的充要條件是，g 是測(cè)地線，且 p、s間無(wú)與 p 共軛的點(diǎn)。. 從類空超曲面 s 出發(fā)的類

20、時(shí)線 g 的長(zhǎng)度取局部最大值的充要條件是，g 是垂直于 s的測(cè)地線，且其上無(wú)共軛點(diǎn)?？傊还苁穷悤r(shí)線還是類光線，長(zhǎng)度取最大值的一定是無(wú)共軛點(diǎn)的測(cè)地線。5奇性定理的導(dǎo)出 可以證明： . 在強(qiáng)因果時(shí)空中，不一定有最長(zhǎng)線，如果有，則一定是無(wú)共軛點(diǎn)的測(cè)地線。. 在整體雙曲時(shí)空中，一定有最長(zhǎng)線，它一定是無(wú)共軛點(diǎn)的測(cè)地線。另一方面，又可以證明： 如果廣義相對(duì)論正確，強(qiáng)能量條件成立，并且時(shí)空中至少有一個(gè)存在物質(zhì)的時(shí)空點(diǎn)，則測(cè)地線上在有限的仿射距離內(nèi)必存在共軛點(diǎn)?？傊?，因果性要求有最長(zhǎng)線，即要求存在無(wú)共軛點(diǎn)的測(cè)地線。能量條件、廣義相對(duì)論和物質(zhì)的存在則要求測(cè)地線上一定有共軛點(diǎn)，而且是在有限的仿射距離內(nèi)就出現(xiàn)共

21、軛點(diǎn)。如果時(shí)空同時(shí)滿足上述因果性和能量條件，并存在物質(zhì)，而且廣義相對(duì)論正確，那就會(huì)導(dǎo)致矛盾的結(jié)論：測(cè)地線上既要有共軛點(diǎn)，又要無(wú)共軛點(diǎn)。解決此矛盾的唯一出路是，測(cè)地線不能無(wú)限延伸, 在出現(xiàn)共軛點(diǎn)之前, 在有限的仿射距離內(nèi)就斷掉。也就是說(shuō), 此測(cè)地線一定會(huì)遇到奇點(diǎn)，時(shí)空一定存在奇異性。這樣，就證明了奇性定理：如果廣義相對(duì)論正確，能量非負(fù)，時(shí)空不完全是真空，因果性好，則時(shí)空一定存在奇點(diǎn)。奇性定理有各種大同小異的表述，下面我們給出其中的一種。奇性定理：如果 . 廣義相對(duì)論正確；. 強(qiáng)能量條件成立；. 編時(shí)條件成立；. 一般性條件成立，即 任何類時(shí)或類光測(cè)地線上包含某一點(diǎn)，在該點(diǎn)有 rabcd xa x

22、d 0 ，(對(duì)于類時(shí)測(cè)地線；xa 為切矢，四速)(6) rab ka kb 0 ，(對(duì)于類光測(cè)地線；ka 為切矢, 四速)式中rabcd 和rab 分別為曲率張量和里奇張量；. 有一點(diǎn) p ， 所有從 p 出發(fā)的類時(shí)或類光測(cè)地線都再次會(huì)聚；則時(shí)空至少有一根不完備的類時(shí)或類光測(cè)地線。上述定理的條件(4)與(5)，實(shí)質(zhì)上是要求時(shí)空中存在物質(zhì)（matter）不為零的點(diǎn)。奇性定理告訴我們，如果一個(gè)時(shí)空是愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程的解，因果性良好，能量密度非負(fù)，而且此時(shí)空中至少有一點(diǎn)不是真空，則這個(gè)時(shí)空一定存在奇異性。粗略地說(shuō)，一定存在奇點(diǎn)。我們看到，史瓦西時(shí)空、kerr-newman時(shí)空、膨脹宇宙模型中都有奇點(diǎn)。

23、閔可夫斯基時(shí)空和de sitter時(shí)空沒(méi)有奇點(diǎn)，這是因?yàn)樗鼈兪峭耆恼婵?，沒(méi)有任何物質(zhì)存在。通常確認(rèn)時(shí)空奇點(diǎn)有兩個(gè)步驟。一是證明有非類空測(cè)地線在該處不可延伸。二是證明反映時(shí)空曲率的標(biāo)量在該處發(fā)散。這種發(fā)散使得該處的時(shí)空不能被修補(bǔ)，以使測(cè)地線延伸過(guò)去。三奇點(diǎn)困難與熱力學(xué)第三定律多數(shù)相對(duì)論專家相信，奇點(diǎn)困難是由于引力場(chǎng)沒(méi)有量子化而造成的。奇性定理是經(jīng)典廣義相對(duì)論的結(jié)論。如果把引力場(chǎng)量子化，奇點(diǎn)困難可能會(huì)自動(dòng)消失。遺憾的是，引力場(chǎng)量子化的努力還遠(yuǎn)未成功。也有一些人由于種種原因不相信引力場(chǎng)量子化就能自然消除奇點(diǎn)困難?；艚鸨救藙t試圖引入虛時(shí)間來(lái)化解奇點(diǎn)困難。我們?cè)趯?duì)黑洞和奇點(diǎn)的長(zhǎng)期研究中，注意到了伴隨奇

24、點(diǎn)出現(xiàn)的一個(gè)重要物理特征：奇點(diǎn)總是伴隨溫度異常而出現(xiàn)趙錚，1999 & 2001?；艚痍P(guān)于黑洞存在量子熱效應(yīng)的研究，大大拓展了相對(duì)論工作者的視野hawking, 1974 & 1975。作為純粹引力產(chǎn)物的黑洞，居然會(huì)伴隨有溫度，這不能不令人猜測(cè)，萬(wàn)有引力與熱之間有著比人們迄今所知更為深刻的本質(zhì)聯(lián)系。其實(shí)，稍加思索就可知道，人類已知的相互作用和物理效應(yīng)中，只有萬(wàn)有引力和熱是普適的，萬(wàn)有的，不可屏蔽的。在對(duì)黑洞和霍金熱效應(yīng)的研究中，我們注意到，這種效應(yīng)依賴于坐標(biāo)系（坐標(biāo)溫度）和觀測(cè)者（固有溫度）。凡是接觸奇點(diǎn)的坐標(biāo)系，都處于絕對(duì)零度或溫度發(fā)散的狀態(tài)；凡是有限溫度的坐標(biāo)系，都伸展不到奇點(diǎn)處趙錚，19

25、99 & 2001。在霍金熱效應(yīng)發(fā)現(xiàn)的前夕，安魯（w.g.unruh）發(fā)現(xiàn)了另一個(gè)重要效應(yīng)unruh, 1976：在真空中（絕對(duì)零度）作勻加速直線運(yùn)動(dòng)的觀測(cè)者會(huì)發(fā)現(xiàn)自己處在熱輻射之中，輻射溫度與他的固有加速度（即觀測(cè)者自身測(cè)量的自己的加速度。本文所述的加速度均指固有加速度）成正比。安魯效應(yīng)與霍金熱效應(yīng)有相同的根源，都是由于不同觀測(cè)者（或坐標(biāo)系）定義的真空不等價(jià)而引起的 霍金效應(yīng)屬于引力效應(yīng)，安魯效應(yīng)屬于慣性效應(yīng)。牛頓認(rèn)為慣性效應(yīng)起源于觀測(cè)者（或物體）相對(duì)于絕對(duì)空間的加速。馬赫認(rèn)為不存在絕對(duì)空間，慣性效應(yīng)起源于觀測(cè)者（或物體）相對(duì)于宇宙中全部質(zhì)量的加速。馬赫的這一思想被稱為馬赫原理，得到愛(ài)因斯坦

26、的支持。粗看起來(lái)廣義相對(duì)論的某些效應(yīng)似乎與馬赫原理有關(guān)，但深入的探討發(fā)現(xiàn)二者并不一致劉遼，1987。實(shí)驗(yàn)觀測(cè)支持了廣義相對(duì)論，但沒(méi)有支持馬赫原理。筆者在研究霍金、安魯效應(yīng)時(shí)，指出這兩個(gè)效應(yīng)均可看作時(shí)間尺度（指坐標(biāo)時(shí)間，不是固有時(shí)間）變換的補(bǔ)償效應(yīng)趙崢，劉遼，1993；趙崢，黎忠恒，1996；馬勇，趙崢，1996；ma yong, zhao zheng, 1996；趙錚，1999 & 2001。加速會(huì)引起真空能級(jí)的改變，慣性效應(yīng)可能起源于真空的形變，特別是真空能量零點(diǎn)的改變。慣性力可以看作真空形變的力學(xué)效應(yīng)，安魯效應(yīng)則可以看作真空形變的熱效應(yīng)。慣性作用不是超距作用，而是局域作用。慣性力是真空形變

27、造成的反作用力趙錚，劉遼，1997；趙錚，1999 & 2001。安魯效應(yīng)很容易被推廣到作變加速運(yùn)動(dòng)的情況，這時(shí)溫度仍與加速度成正比，一起隨時(shí)間變化。值得注意的是，有一大類奇點(diǎn)（類時(shí)奇點(diǎn)）是一般類時(shí)線不可能達(dá)到的，只有類光線或趨近類光的類時(shí)線才能達(dá)到chakrbarti, geroch & liang canbin, 1983。容易證明，這種類時(shí)線在趨近奇點(diǎn)時(shí)，加速度將趨于無(wú)窮大。依據(jù)安魯效應(yīng)，沿這種類時(shí)線運(yùn)動(dòng)的觀測(cè)者（或物體）在達(dá)到奇點(diǎn)時(shí)，溫度將發(fā)散chakrbarti, geroch & liang canbin, 1983; zhao zheng, 1997。我們注意到，證明奇性定理所用

28、的世界線都是測(cè)地線（類時(shí)、類光兩種）。按照安魯效應(yīng)，沿類時(shí)測(cè)地線（加速度為零）運(yùn)動(dòng)的觀測(cè)者處于絕對(duì)零度。我們最近證明了類光測(cè)地線可以看作加速度為無(wú)窮大的類時(shí)線，對(duì)應(yīng)溫度發(fā)散的情況。倫德勒（w. rindler）曾經(jīng)指出，平直時(shí)空中某種特殊的類光線，可以看作固有加速度為無(wú)窮大的類時(shí)線rindler, 1977。不過(guò)，這種特殊的類光線存在突變的拐點(diǎn)，相當(dāng)于被鏡子反射了一下，因而不是類光測(cè)地線。在文獻(xiàn)tian guihua, zhao zheng & liang canbin, 2002中，我們把倫德勒的這一結(jié)論推廣到彎曲時(shí)空中可以無(wú)限延伸的類光測(cè)地線。下面我們將指出，這一結(jié)論對(duì)于存在共軛點(diǎn)的類光測(cè)

29、地線也適用。這就是說(shuō)，在奇性定理的證明中所使用的類光測(cè)地線（這種類光線會(huì)碰到奇點(diǎn)，不能無(wú)限延伸），也可看作固有加速度為無(wú)窮大的類時(shí)線tian guihua & zhao zheng, 2003a; 2003b; 2003c。眾所周知，類光測(cè)地線不能用“固有時(shí)間”來(lái)描述，而只能用另一類仿射參量描述，因此不能直接對(duì)類光測(cè)地線定義加速度。我們證明的途徑是，把類光測(cè)地線看作一族類時(shí)線匯的極限線。在類時(shí)線上可以嚴(yán)格定義加速度，然后讓這族類時(shí)線趨近作為極限線的類光測(cè)地線，把這樣得到的極限加速度定義為類光測(cè)地線的加速度。關(guān)于存在共軛點(diǎn)的類光測(cè)地線，霍金等人曾證明一條定理：設(shè)是光滑因果線上的兩點(diǎn)，不存在連接兩

30、點(diǎn)的光滑單參因果曲線族 (；當(dāng)時(shí)，類時(shí)) 的充要條件是：是一條類光測(cè)地線，且在之間不存在與共軛的點(diǎn)hawking & ellis, 1973; wald, 1984。從這條定理可知，當(dāng)上存在共軛于的點(diǎn)時(shí)，一定可以從微擾出因果曲線族，除為類光測(cè)地線外，（）都是類時(shí)線。不難看出，是類時(shí)線匯的極限線。圖中為的切矢，為偏離矢量。圖6. 類光線及微擾出的類時(shí)線我們定義上的加速度a ，然后令逼近，發(fā)現(xiàn)加速度。這樣，我們就證明了0的加速度發(fā)散。這就是說(shuō)，有共軛點(diǎn)的類光測(cè)地線，可以看作固有加速度為無(wú)窮大的世界線。這是一個(gè)極具啟發(fā)性的結(jié)果。通常認(rèn)為，自由光子作慣性運(yùn)動(dòng)，其固有加速度當(dāng)然是零?，F(xiàn)在我們看到一個(gè)驚人

31、的相反結(jié)論，作慣性運(yùn)動(dòng)的光子的固有加速度居然是無(wú)窮大。這啟示我們?cè)诠?、慣性與時(shí)間的背后，存在重要的未知關(guān)系。光在相對(duì)論中已經(jīng)處于核心地位，但從本文的工作來(lái)看，我們對(duì)光的認(rèn)識(shí)還非常不夠，需要進(jìn)一步深化。上述情況提示我們，奇點(diǎn)的出現(xiàn)，或達(dá)到奇點(diǎn)，往往伴隨溫度異常的情況（絕對(duì)零度或無(wú)窮大）出現(xiàn)。熱力學(xué)第三定律指出不能通過(guò)有限次操作把系統(tǒng)的溫度降低到絕對(duì)零度。實(shí)際上，溫度定義在一個(gè)開(kāi)區(qū)間上，它的上限（無(wú)窮大；或負(fù)溫度系統(tǒng)的-0 k）與下限（絕對(duì)零度）均不能通過(guò)有限次操作達(dá)到?？梢园训谌赏茝V到包括上限的情況。因此，我們認(rèn)為，奇性定理是在違背熱力學(xué)第三定律的情況下證明的。奇點(diǎn)的出現(xiàn)是違背第三定律造成的

32、。也就是說(shuō)，熱力學(xué)第三定律不容許時(shí)間有開(kāi)始和終結(jié)趙錚，1999 & 2001。四鐘速同步與熱力學(xué)第零定律眾所周知，熱力學(xué)第二定律表示時(shí)間有方向?，F(xiàn)在我們看到，第三定律表示時(shí)間是無(wú)限的，無(wú)始無(wú)終的。其實(shí)，分析力學(xué)早就告訴我們，熱力學(xué)第一定律（能量守恒定律）對(duì)應(yīng)時(shí)間的均勻性。那么，第零定律是否與時(shí)間有關(guān)呢？我們?cè)谝幌盗醒芯恐兄赋觯诹愣傻葍r(jià)于鐘速同步的傳遞性趙崢，1991；zhao zheng & pin chen，1997；趙崢，裴壽鏞，劉遼，1999。第零定律是說(shuō)熱平衡具有傳遞性：如果系統(tǒng)a與b達(dá)到熱平衡，系統(tǒng)b與c也達(dá)到熱平衡，則a與c必定達(dá)到熱平衡。這條定律，保證熱力學(xué)中可以定義一個(gè)叫做

33、溫度的參量。廣義相對(duì)論中也有一條關(guān)于傳遞性的理論：“同時(shí)”的傳遞性。在廣義相對(duì)論中，靜置于不同地點(diǎn)的鐘，靠光速不變?cè)韥?lái)對(duì)準(zhǔn)。如果a鐘與b鐘已對(duì)準(zhǔn)，b鐘與c鐘也已對(duì)準(zhǔn)，那么a、c兩個(gè)鐘是否一定對(duì)準(zhǔn)了呢？如果a、c已對(duì)準(zhǔn)，就叫做同時(shí)具有傳遞性，就可以在大范圍內(nèi)定義統(tǒng)一的時(shí)間。在狹義相對(duì)論中已經(jīng)證明，靜置于平直時(shí)空同一個(gè)慣性系中的鐘，同時(shí)具有傳遞性，因此，靜置于這個(gè)慣性系中所有的鐘都可以對(duì)準(zhǔn)。所以，每個(gè)慣性系可以有自己統(tǒng)一的時(shí)間。但是，廣義相對(duì)論的研究表明，在彎曲時(shí)空中（或在平直時(shí)空的非慣性系中），“同時(shí)”不一定具有傳遞性，靜置于同一參考系的鐘，不一定能相互對(duì)準(zhǔn)。朗道等人給出了同時(shí)具有傳遞性的條件

34、，也就是說(shuō)在大范圍內(nèi)定義同時(shí)、在時(shí)空中建立統(tǒng)一的同時(shí)面的條件。朗道指出，彎曲時(shí)空中a、b二空間點(diǎn)的同時(shí)意味著它們的坐標(biāo)鐘相差劉遼，1987；趙錚，劉遼，1993dt = ta tb = -(g0i /g00)dxi , (i = 1, 2, 3) (7) 式中g(shù)0i 與g00 是時(shí)空度規(guī)的分量，由于 dt 一般不是全微分，從而有 0 ,所以，一般不能沿閉合路徑把坐標(biāo)鐘調(diào)整到“同時(shí)”，即不能在全時(shí)空建立統(tǒng)一的同時(shí)面。僅僅在時(shí)軸正交系中，即g0i = 0 (8) 時(shí)，或在條件= = 0 (9) 下，可以建立統(tǒng)一的同時(shí)面?？梢?jiàn)，一般說(shuō)來(lái)，同時(shí)具有傳遞性的條件是時(shí)軸正交。我們推測(cè)，如果熱力學(xué)第零定律也

35、反映時(shí)間屬性的話，它很可能與同時(shí)的傳遞性有關(guān)。但是，研究表明，熱力學(xué)第零定律的要求與同時(shí)傳遞性的要求不完全一致。為此，我們引入了一個(gè)新的對(duì)鐘等級(jí)：不要求鐘的時(shí)刻對(duì)好，只要求鐘的速率對(duì)好。我們算出，各空間點(diǎn)坐標(biāo)鐘速率可調(diào)整同步的充要條件是 = = 0(10)或= 0 . (11)這是一個(gè)比時(shí)軸正交(g0i = 0)要弱的條件。條件(10)不要求(9)所示的閉路積分為零，只要求此閉路積分是一個(gè)與時(shí)間無(wú)關(guān)的常數(shù)趙錚，1991；1999；2001， = 常數(shù) .(12)顯然，各點(diǎn)鐘速相同只是建立統(tǒng)一的同時(shí)面的必要條件，而不是充分條件。滿足(10)但不滿足(9)的時(shí)空，可以在全時(shí)空把鐘速調(diào)整一致，即鐘速

36、同步具有傳遞性，但還不能建立同時(shí)面，即同時(shí)還不具有傳遞性。我們進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，鐘速同步的傳遞性等價(jià)于熱力學(xué)第零定律。我們?cè)凇捌胶鉄彷椛湟欢ǔ尸F(xiàn)普朗克黑體譜”的假定下，證明了鐘速同步的傳遞性與熱力學(xué)第零定律等價(jià)趙錚，1999；趙崢，裴壽鏞，劉遼，1999；趙錚，2001。也就是說(shuō)，我們把系統(tǒng)處于熱平衡時(shí)，輻射具有普朗克黑體譜，看作一條基本的物理規(guī)律。以此為基礎(chǔ)，在平直和彎曲時(shí)空中，均證明了熱力學(xué)第零定律等價(jià)于鐘速同步的傳遞性。我們具體給出了鐘速同步所要求的幾何條件(10)或(11)。它比建立同時(shí)面的條件要弱。狹義相對(duì)論中的慣性系滿足這一條件，但并不是任何時(shí)空中的任何參考系均滿足這一條件。我們證明了凡

37、滿足這一條件的時(shí)空，目前表述的熱力學(xué)第零定律均在其中成立。另一方面，在第零定律成立的時(shí)空中，一定可以找到一個(gè)“鐘速同步具有傳遞性”的坐標(biāo)系。換句話說(shuō)，如果第零定律是自然界的一條基本定律，它將對(duì)時(shí)空作出限制，其中能夠找到“鐘速同步”坐標(biāo)系的時(shí)空，才是物理的，才真正存在。當(dāng)然，也有另一種可能：存在著熱平衡不具有傳遞性的物理時(shí)空，這就需要我們進(jìn)一步發(fā)展熱力學(xué)，包括改寫(xiě)目前形式的熱力學(xué)第零定律。五結(jié) 論我們指出熱力學(xué)第三定律可能是克服奇點(diǎn)困難的關(guān)鍵。熱力學(xué)第三定律保證時(shí)間沒(méi)有開(kāi)始和結(jié)束。而熱力學(xué)第零定律則保證可以在大范圍內(nèi)定義統(tǒng)一的時(shí)間。人們?cè)缫阎罒崃W(xué)第二定律表示時(shí)間有方向，第一定律顯示時(shí)間的均勻

38、性。如此看來(lái)，熱力學(xué)的四條定律均與時(shí)間的屬性有關(guān)。如果我們探討的方向是正確的，我們就不僅回答了廣義相對(duì)論中的奇點(diǎn)困難，深化了對(duì)光的認(rèn)識(shí)，而且揭示了引力、時(shí)間與熱力學(xué)之間存在比迄今所知更為廣泛、深刻的本質(zhì)聯(lián)系。這種聯(lián)系可能會(huì)對(duì)物理學(xué)和哲學(xué)產(chǎn)生重要影響。參考文獻(xiàn):chakrbarti, s. k., geroch, r. and liang can-bin (1983). j. math. phys. 24: 597.hawking, s. w. and ellis, g. f. r. (1973). the large scale structure of space-time. cambridge: cambridge university pre