函數(shù)極值的求法畢業(yè)論文

1、 畢業(yè)論文畢業(yè)論文 題題 目目: : 函數(shù)極值的求法函數(shù)極值的求法 系系 別別: : 數(shù)學系數(shù)學系 專專 業(yè)業(yè): : 數(shù)學教育數(shù)學教育 班班 級級: : 1010 級（級（2 2）班）班 學學 號號: : 131002055131002055 姓姓 名名: : 指導老師指導老師: : 20132013 年年 4 4 月月 4 4 日日 目目 錄錄 1.1. 一元函數(shù)極值的求法 .1 1.1 費馬定理 .1 1.2 穩(wěn)定點 .2 1.3 極值的第一充分條件 .2 1.4 極值的第二充分條件 .2 1.5 極值的第三充分條件 .2 1.6 求一元函數(shù)極值的步驟 .3 2.2. 二元函數(shù)極值的求法

2、.4 2.1 極值必要條件 .4 2.2 極值充分條件 .4 2.3 求二元函數(shù)極值的基本方法 .4 3.3. 多元多元函數(shù)極值的求法函數(shù)極值的求法.8 8 3.1 普通極值問題 .9 3.2 條件極值問題. 11 3.3 求條件極值的步驟 .13 參考文獻參考文獻 .1 15 5 致 謝 .16 函數(shù)極值的求法 摘摘 要要：這篇論文主要討論了函數(shù)的極值問題，包括一元函數(shù)極值，二元 函數(shù)極值，多元函數(shù)極值，以及條件極值拉格朗日方法等.本文以定理的形式給 出了一元函數(shù)、二元函數(shù)，以及多元函數(shù)的求解方法.同時也給出了求多元函數(shù) 條件極值的拉格朗日乘數(shù)法. 關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞：極值、極值點、穩(wěn)定點、拉格朗

3、日 abstract: this paper discusses the issue of extreme value of function, including the extreme value of a function, binary functions extremism, extreme value of function of many variables and lagrangian methods for conditional extremism. this form of the theorem gives a unary function binary functio

4、n and method for solving multivariate function. it is also seeking conditional extreme value of function of many variables are given lagrange multiplier method. tags: extreme, extreme points, a stable point, lagrange 引言引言：在生產(chǎn)實踐、科學實驗和社會生活中，經(jīng)常遇到待解決“最好”、 “最大”、“最省”、“最小”等問題，這類問題可歸結(jié)為數(shù)學中的最大值和 最小值，函數(shù)的極值和最值有

5、一定的聯(lián)系，可以為求函數(shù)的最值作一定的參考. 函數(shù)的極值不僅在實際問題中占有重要的地位，而且也是函數(shù)形態(tài)的一個重要 特征，多元函數(shù)的極值問題是多元函數(shù)微分學的重要應用.對函數(shù)極值問題求解 方法的探討有利于我們解決現(xiàn)實生活中的很多最優(yōu)問題.本文就函數(shù)極值的問題 進行了一些探討，總結(jié)了一些求函數(shù)極值的方法，包括一元函數(shù)、二元函數(shù)、 多元函數(shù)的極值求解方法，深化了課本中的一些定理和概念，為更好的解決現(xiàn) 實中的最優(yōu)問題提供了一些參考. 1.一元函數(shù)極值的求法 函數(shù)的極值不僅在實際問題中占有重要的地位，而且也是函數(shù)性態(tài)的一個 重要特征，那么對一元函數(shù)的極值問題我們該怎樣解決呢？ 定義： 設函數(shù)，則是函數(shù)

6、的一個極小值，極大值與極 0 f xf x 0 f x f x 小值統(tǒng)稱為極值。在附近有定義，如果對附近的所有的點，都有 0 x 0 x ，則是函數(shù)的一個極大值。如果附近所有的點，都有 0 f xf x 0 f x f x ，則是函數(shù)的一個極小值，極大值與極小值統(tǒng)稱為極 0 f xf x 0 f x f x 值。 若函數(shù)在點處可導，且為的極值點，則.這就是說可導f 0 x 0 xf 0 0fx 函數(shù)在點取極值的必要條件是. 0 0fx 1.1 費馬定理 設函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，且在點可導.若點為的極值點，f 0 x 0 x 0 xf 則必有 0 0fx 1.2 穩(wěn)定點 我們稱滿足方程的點為

7、穩(wěn)定點.對于函數(shù)，點是穩(wěn) 0fx 3 f xx0 x 定點，但卻不是極值點. 1.3 極值的第一充分條件 設在點連續(xù)，在某鄰域內(nèi)可導.f 0 x 0; o ux 若當時，當時，則在點 i 00 ,xxx 0fx 00 ,xx x 0fxf 取得極小值； 0 x 若當時，當時，則在點 ii 00 ,xxx 0fx 00 ,xx x 0fxf 取得極大值. 0 x 1.4 極值的第二充分條件 設在的某鄰域內(nèi)一階可導，在處二階可導，且f 0 x 0; o ux 0 xx ， 0 0fx 0 0fx 若，則在取得極大值；. i 0 0fxf 0 x 若，則在取得極小值. ii 0 0fxf 0 x 1

8、.5 極值的第三充分條件 設在的某鄰域內(nèi)存在直到階導函數(shù)，在處階可導，且f 0 x1n 0 xn ，則 0 0 k fx1,21kn 0 0 n fx 當為偶數(shù)時，在取得極值，且當時取極大值， inf 0 x 0 0 n fx 時取極小值；. 0 0 n fx 當為奇數(shù)時，在處不取極值. iinf 0 x 1.6 求一元函數(shù)極值的步驟 1. 求函數(shù)的導數(shù)； f x 2. 令，解出穩(wěn)定點； 0fx 12 , n x xx 3. 判斷兩側(cè)的符號，找出局部極值點；1,2 i x in 4. 根據(jù)極值的第二充分條件進行判斷； 5. 根據(jù)極值的第三充分條件進行判斷. 例 1 求的極值點和極值 32 25

9、f xxx 解 在上連續(xù)，且當時有 52 32 33 2525f xxxxx, 0 x 21 33 3 1010101 333 x fxxx x 易見，為的穩(wěn)定點，為的不可導點.這兩點是否是極值點，1x f0 x f 需作進一步的討論. x ,000,1 1 1, y 不存在0 y 遞增0遞減3遞增 由上表可以看出：點為的極大值點，極大值；為的0 x f 00f1x f 極小值點，極小值. 13f 例 2求函數(shù)的極值 2 2 1 x f x x 解 由 2 2 1 x f x x 得 22 22 22 2 1222 1 0 11 xxxx fx xx 得穩(wěn)定點為或1x 1x 又 22 3 33

10、 22 4181 124 11 xxxx xx fxfx xx 于是 110 f 110f 故 是的極大值點，極大值，是的極小值點，極小值1 f x 11f1 f x . 11f 例 3 試求函數(shù)的極值 23 11f xxx 解 由于 322 2 22 22 2 211311 12131 1 541 11 51 0 fxxxxx xxx xxx xxx 得 1 1,1, 5 x 22 222 211 51151511 12 56154151 1208 fxxxxxxxx xxxxxx x xx 則，故不是的極值點；，故是 10f 1 f x 1240 f 1x 的極小值點；，故是的極大值點.

11、f x 124 0 525 f 1 5 x f x 所以極小值，極大值. 10f 13456 53125 f 2. 二元函數(shù)極值的求法 以上我們用導數(shù)的方法分析解決了一元函數(shù)極值的問題，那么對二元函數(shù) 極值的問題我們又該怎樣解決呢？ 定義： 設函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義.若對于任何點f 000 ,p xy 0 u p ，成立不等式 0 ,p x yu p （或） 0 f pf p 0 f pf p 則稱函數(shù)在點取得極大（或極小）值，點稱為的極大（或極?。┲礷 0 p 0 pf 點.極大值和極小值統(tǒng)稱為極值.極大值點和極小值點統(tǒng)稱為極值點. 2.1 極值必要條件 若函數(shù)在點存在偏導數(shù)，且在取得極值

12、，則有f 000 ,p xy 0 p ， 0 ,0 xo fxy 0 ,0 yo fxy 反之，若函數(shù)在點滿足上式，則稱點為的穩(wěn)定點.f 0 p 0 pf 需要說明的是與一元函數(shù)的情形相同，函數(shù)的偏導數(shù)不存在的點上也有可能取 得極值,如函數(shù)在原點無偏導數(shù),但在原點取得極小值. 22 ),(yxyxf 2.2 極值充分條件 設函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導),(yxfz ),( 00 yx 數(shù), 又令,令, , 0),( 00 yxf x 0),( 00 yxf y ayxf xx ),( 00 byxf xy ),( 00 , 則在處是否取得極值的條件如下: cyxf yy ),

13、( 00 ),(yxf),( 00 yx （1），時,在取極大值；0d 0af 0 p （2），時,在取極小值；0d 0a f 0 p （3）時,在不取極值.0d f 0 p （4）時,不能肯定在是否取得極值.0d f 0 p 證明 記 00 ( , )(,)f x yf xy 將按照具有拉格朗日型余項的泰勒公式展開到第二項,結(jié)合穩(wěn)定點條件有 (1.2) 22 22 1 (2) 2! xy xy fxfx yfy 令 ， 2 00 , x fxx yya ， xy00 ,fxx yyb ， 2 00 , y fxx yyc 由二階偏導數(shù)的連續(xù)性,有，時，、均趨于 0.0 x 0y 令 ,其中

14、,于是有cosx siny 22 xy (1.3) 2222 1 (cos2 cossinsincos2cossinsin) 2 abc (1)時0d 這時,故，(1.3)式括號中前三項可表示為0ac 0a (1.4) 2 22 1 cossinsinabacb a 顯然(1.4)式恒不為零,且與 a 同號.其絕對值為內(nèi)的的連續(xù)函數(shù)，有最0,2 小值.m 另一方面,時,由于、均趨于 0，則對一切都有0 ， (1.5) 22 coscossinsinm 只要充分小. 因此：時,函數(shù)取極小值；時,函數(shù)取極小值.0a 0 0a0 (2)時0d (i)若，仍可利用(1.4)的變換.時,內(nèi)表達式變?yōu)?故

15、0a 1 =0 2 a 為正.反之，若由條件 ()確定，則內(nèi)將變 22 cossin=0ab 2 sin0 2 成，故為負. 22 2 sinacb 充分小時，(1.3)式括號中后三項，不論在或時都可成為任 1 2 意小，故的符號即由前三項的符號決定. 這樣，在被考察的點的任意近處， 0 p 在由角度及確定的射線上，有異號的值.因此，在這點，函數(shù)不 1 2 可能有極值. (ii)若，(1.3)式括號中前三項就變成0a 2 2 cossinsinsin (2 cossin )bcbc 此時必有,故可這樣來確定使，于是，當0b 1 0 11 sin2coscb 及時，上面的三項式就有相反的符號，討

16、論可同上面一樣完 1 21 成. 所以，時，在取極值，有極大值，有極小值；0d f 0 p0a0a 時，在取不到極值，定理證畢.0d f 0 p 2.3 求二元函數(shù)極值的基本方法 （1）利用函數(shù)極值的定義求極值 （2）利用函數(shù)極值存在的充分必要條件求極值，則求的極值的一般),(yxfz 步驟為: 解方程組，求得一切實數(shù)解，即可求得一切0),(yxf x 0),(yxf y 駐點；),(),(),( 2211nn yxyxyx 對于每一個駐點，求出二階偏導數(shù)的值；),( ii yx(1,2,)incba, 確定的符號，按定理 2 的結(jié)論判定是否是極值，是極大 2 bac ),( ii yxf 值

17、還是極小值； 考察函數(shù)是否有導數(shù)不存在的點，若有用定義加以判別是否為極),(yxf 值點。 例 1 2 2 1zxy 解 解方程組 20 210 z x x z y y 得穩(wěn)定點，由于， 0(0,1) p(0,1)2 xx az ，(0,1)0 xy bz(0,1)2 yy cz ， 2 40dacb 故極值不存在. 例 2 . 22 () (5725) xxyy zxye 解 解方程組 2222 2222 ()() ()() 5(5725)(2)0 7(5725)(2 )0 xxyyxxyy xxyyxxyy z exyxy e x z exyxy e y 解得穩(wěn)定點及.在處 0(1,3)

18、p 1 13 , 2626 p 0 p ，,. 13 0 ()27 xx azpe 13 0 ()36 xy bzpe 13 0 ()51 yy czpe 于是 , 226 810dacbe 故在取得極大值 .z 0 p 13 0 ()z pe 同法可得函數(shù)在點取得極小值.z 1 p 1 52 1 ()26z pe 例 3 造一個容積為的長方體盒子，如何設計才能使所用材料最少？v 解 設盒子的長為，寬為，則高為故長方體盒子的表面積為xy xy v )(2 y v x v xys 這是關(guān)于的二元函數(shù)，定義域為yx,0, 0),(yxyxd 由，得駐點根據(jù)問題的實際意)(2 2 x v y x s

19、 )(2 2 y v x y s ),( 3 3 vv 義，盒子所用材料的最小值一定存在，又函數(shù)有唯一的駐點，所以該駐點就是 取得最小值的點即當時，函數(shù)取得最小值，也即當盒szyx 3 vs 3 2 6v 子的長、寬、高相等時，所用材料最少 3. 多元函數(shù)極值的求法 以上我們分別解決了一元函數(shù)極值問題和二元函數(shù)極值的問題，進而推廣， 面對多元函數(shù)的極值問題我們又該如何進行分析解決呢？ 3.1 普通極值問題 設是集合上的函數(shù)，如果對，存在 123 , n f x x xx n sr 00 01n pxx 在中的鄰域，使得，恒有 0 p n ru 123 , n px x xxsu 00 1231

20、 , nn f x x xxf xx 00 1231 , nn f x x xxf xx 則稱為在上的局部極大值（極小值） ，稱為 00 1n f xx 123 , n f x x xxs 0 p 的局部極大值（極小值）點，如果是開集，則稱為普通極 123 , n f x x xxs 0 p 值點，否則稱為條件極值點. 定理 1 如果是的普通極值點，且 00 01n pxx 123 , n f x x xx 在存在偏導數(shù)，則 123 , n f x x xx 0 p 00 1 0,1,2 n i f xx in x 證明 是內(nèi)點，因而是一元函數(shù)的極值點，因此 0 p 0 1 x 00 1n f

21、 xx 00 1 0,1,2 n i f xx in x 定義：設在區(qū)域上處處存在偏導數(shù)，如果在點 123 , n f x x xxd 成立，則稱為的判別 00 01n pxx 00 1 0,1,2 n i f xx in x 0 p 123 , n f x x xx 點. 如果為的極值點，則其實的判別點，但 0 p 123 , n f x x xx 123 , n f x x xx 反之并不成立. 例：令，則，但并不是 22 ,f x yxy 0,0 0 f x 0,0 0 f y 0,0 的極值點.,f x y 與一元函數(shù)相同，我們需要利用在判別點處的二階 taylor 123 , n f

22、 x x xx 展開來討論所給判別點是否是極值點以及是什么樣的極值點.為此我們需要下面 的引理 引理：設階對稱矩陣是正定（負定）的，則存在，使得對任意na0 ，恒有 123 , n x x xx 22 1231231 , t nnn x x xxa x x xxxx 22 1231231 , t nnn x x xxa x x xxxx 證明 中單位球面是有界閉集，因而是 n r 22 1231 ,/1 nnn sx x xxxx 緊集，上的函數(shù)連續(xù)且處處不為零，因而在 n s 123123 , t nn x x xxa x x xx 上 達到最小值，設為，則對任意恒有 n s 123 ,0

23、n x x xx 123123 2222 11 , t nn nn x x xxx x xx a xxxx 引理得證. 定理 2 設是在區(qū)域內(nèi)的判別點，若果 00 01n pxx 123 , n f x x xxd 在的黑賽（hesse）矩陣是正定的，則 123 , n f x x xx 00 01n pxx 0f hp 是的嚴格極小點，如果是負定的，則 00 01n pxx 123 , n f x x xx 0f hp 是的嚴格極大點，如果是不定的，則 00 01n pxx 123 , n f x x xx 0f hp 不是的極值點. 00 01n pxx 123 , n f x x xx

24、證明 設 200 1 0 n f ij f xx hp x x 正定，取滿足上面引理，將在點作二階 taylor 展開，由是0f 0 p 00 1n xx 判別點得 2 002000 12311 1 2 00000 11011 1 2 0 1 1 , 2 1 , 2 2 n nnnii i n t nnfnnii i n ii i f x x xxf xxd f xxxx xxxxhpxxxxxx xx 由于在趨于時是無窮小，因此存在的鄰 123 , n x x xx 00 1n xx 00 1n xx 域，使得時，得，u 123 , n x x xxu0 2 00 1231 , nn f x

25、 x xxf xx 是的嚴格極小點. 00 01n pxx 123 , n f x x xx 如果不定，則存在維向量和，使得， 0f hpn00 0 0 f hp 而，令，則 充分小時和都在內(nèi) 0 0 f hp 10 ppt 20 pptt 1 p 2 pd 且 2 22 100 2 2 0 f f f pf pthpt thp 充分小時，因此不是極大值點，同理t 2 0 0 f hp 0 p 2 2 200f f pf pthp 在 充分小時小于零，因此不是極小值點，得不是極值點.t 0 p 0 p 3.2 條件極值問題 我們把附有約束條件的極值問題稱為條件極值問題. . 條件極值問題的一般

26、形式是在條件組 ， 123 ,0 kn x x xx1,2,kmmn 的限制下，求目標函數(shù) 123 , n yf x x xx 的極值. . 在一般情況下要從條件組中解出個變元并不總是可能的，下面我們介m 紹的拉格朗日乘數(shù)法就是一種不直接依賴消元而求解條件極值問題的有效方法. . 我們從，皆為二元函數(shù)這一簡單情況入手，欲求函數(shù)f ,zf x y 的極值，其中受條件, x y ： c,0 x y 的限制. 若把條件看作所滿足的曲線方程，并設上的點位在c, x yc 000 ,p xyf 條件下的極值點，且在點的某鄰域內(nèi)方程能唯一確定可微的隱函 000 ,p xy 數(shù)，則必定也是的極值點，故由在

27、yg x 0 xx ,zf x g xh xf 可微，在可微，得到 000 ,p xyg 0 x 000000 ,0 xy h xfxyfxygx 而當滿足隱函數(shù)定理條件時 00 0 00 , , x y xy gx xy 把代入后又得到 0000 0 xyyx fppfpp 從而存在某一常數(shù)，使得在處滿足 0 000 ,p xy 000 000 0 0 0 0 xx yx fpp fpp p 如果引入輔助變量和輔助函數(shù) , ,l x yf x yx y 則中三式就是 000000 000000 000 ,0 ,0 ,0 xxx yyx lxyfpp lxyfpp lxyp 這樣就把條件極值問

28、題，轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的無條件極值問題，這種方法 稱為拉格朗日乘數(shù)法，中的函數(shù)稱為拉格朗日函數(shù)，輔助變量稱為拉格l 朗日乘數(shù). 對于由，兩式所表示的一般條件極值問題的拉格朗日函數(shù)是 1212 1212 1 , , nm m nkkn k l x xx f x xxx xx 其中，為拉格朗日乘數(shù)，并有下面定理 1 2 m 設在條件的限制下，求函數(shù)的極值問題，其中與在區(qū)域內(nèi)有連f k d 續(xù)的一階偏導數(shù). .若的內(nèi)點是上述問題的極值點，且雅可比矩陣d 00 01n pxx 0 11 1 1 n mm n p xx xx 的秩為，則存在個常數(shù)，使得為拉格朗mm 0 1 0 m 0000 11 , nm

29、xx 日函數(shù)的穩(wěn)定點. . 3.3 求條件極值的步驟如下： 作拉格朗日函數(shù) ； 1122mm lf 分別令 ， 121 0 nm xxx lllll 得到相應的方程組； 解上述方程組得到可能的條件極值點，再對這些點進行判定. 例 求函數(shù)xyyxyxc 22 2),( 在條件下的極值8 yx 解 構(gòu)造函數(shù)解方程組)8(2),( 22 yxxyyxyxf 得，故點是函數(shù)的可能極值點3, 5 , 7 yx) 3 , 5(),(yxc 因為只有唯一的一個駐點，且問題的最小值是存在的，所以此駐點(5, 3) 也是函數(shù)的最小值點最小值為),(yxc . 0 8 , 04 , 02 yx xyf yxf y x (萬元)2835325) 3 , 5( 22 c 例 6 求函數(shù)在條件及下的極值, ,f x y zxyz1xy 2 1xyz 解 作拉格朗日函數(shù) 2 1212 , , ,11l x y zxyzxyxyz 令 得 12 0 xyz lllll 12 0yz 12 0 xz 2 20 xyz 1xy 2 1xyz 解得，或， 1 0 2 01x 0