三角函數(shù)與平面向量中的易錯(cuò)易漏點(diǎn)分析

1、三角函數(shù)與平面向量中的易錯(cuò)易漏點(diǎn)分析廣東省東莞市清溪中學(xué) 程旭升 523660三角函數(shù)部分解三角函數(shù)問題時(shí)，同學(xué)們普遍存在會(huì)而不對(duì)、對(duì)而不全。造成失誤的原因是由于忽視角的范圍，不善于挖掘隱含條件，從而導(dǎo)致功虧一簣，下面舉例說明.一忽視函數(shù)的定義域?qū)欠秶闹萍s致錯(cuò)注意定義域?qū)欠秶闹萍s 有些三角函數(shù)的定義域，因其相對(duì)隱蔽，解題時(shí)往往被忽略考慮，造成錯(cuò)解。 例1. 求函數(shù)的遞增區(qū)間。 錯(cuò)解：設(shè) 剖析：上述解法忽略了函數(shù)的定義域。因?yàn)轭}目中分母不能為零，即 例2.求函數(shù)的最小正周期。錯(cuò)解：，。即函數(shù)的最小正周期為。錯(cuò)解剖析：不是的周期，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有意義，所以由周期函數(shù)定義知應(yīng)有成立，然而根本無意

2、義，故不是其周期，錯(cuò)解是由于忽視其定義域產(chǎn)生的。正確解法： 解：函數(shù)的定義域要滿足兩個(gè)條件； 要有意義且 ，且 當(dāng)原函數(shù)式變?yōu)闀r(shí)， 此時(shí)定義域?yàn)?顯然作了這樣的變換之后，定義域擴(kuò)大了，兩式并不等價(jià) 所以周期未必相同，那么怎么求其周期呢？首先作出的圖象： 而原函數(shù)的圖象與的圖象大致相同 只是在上圖中去掉所對(duì)應(yīng)的點(diǎn) 從去掉的幾個(gè)零值點(diǎn)看，原函數(shù)的周期應(yīng)為 說明：此題極易由的周期是而得出原函數(shù)的周期也是，這是錯(cuò)誤的，原因正如上所述。那么是不是說非等價(jià)變換周期就不同呢？也不一定，如1993年高考題：函數(shù)的最小正周期是（ ）。a. b. c. d. 。此題就可以由的周期為而得原函數(shù)的周期也是。但這個(gè)解法

3、并不嚴(yán)密，最好是先求定義域，再畫出圖象，通過空點(diǎn)來觀察，從而求得周期。二忽視注意三角函數(shù)值對(duì)角范圍的制約致錯(cuò) 三角求值或求角的大小時(shí)，不僅要注意有關(guān)角的范圍，還要結(jié)合有關(guān)角的三角函數(shù)值把角的范圍縮小到盡可能小的范圍內(nèi)，不然容易出錯(cuò)。 例3. 已知、為銳角，求。 錯(cuò)解：由、為銳角，知，所以。 又或cos=， 得。 剖析：在上面的解法中，未能就題設(shè)條件進(jìn)一步縮小+的范圍，引起增解。我們可以作如下進(jìn)一步分析： 因?yàn)樗曰颉Ｓ郑?，于是，故?例4 已知是方程x2-6x+7=0的兩根，求的值.錯(cuò)解：由韋達(dá)定理得又因?yàn)?，所?由得或辨析:由知，兩根同號(hào)且均大于0，所以。故正確答案為：三忽視三角形的邊角關(guān)

4、系對(duì)角范圍的制約致錯(cuò) 解與三角形有關(guān)的三角問題時(shí)，必須注意三角形中的邊角等量關(guān)系、邊角的不等關(guān)系及內(nèi)角和關(guān)系等對(duì)角范圍的制約，以免產(chǎn)生增解。 例5 a、b、c為abc的內(nèi)角，且，求cosc的值。 錯(cuò)解：由，得，且 。 剖析1：由于，故，兩邊乘abc外接圓的直徑2r，得 所以角b一定是銳角。于是，故。 剖析2：若 得矛盾。故角b為銳角，從而，故。例6 a、b、c為abc的內(nèi)角，a、b、c依次成等差數(shù)列，求cosacosb的取值范圍.錯(cuò)解：因?yàn)閍、b、c成等差數(shù)列，所以2b=a+c，所以b=600，a+c=1200，由cos(a+c)=cosacosc-sinasinc, cosacosc=1/2

5、cos(a+c)+cos(a-c)=1/2cos1200+cos(2a-1200)=-1/4+1/2cos(2a-1200) ，因?yàn)椋?，所以辨析：注意到b=600,c+a=1200則c=1200-a0，所以00a1200,-12002a-12001200,從而。故正確答案應(yīng)為：四. 忽視變形式子對(duì)角范圍的制約致錯(cuò) 在三角變形過程中，有時(shí)要利用變形后的式子來進(jìn)一步縮小角的范圍，這樣才能得出正確的結(jié)果。例7已知，且，求的值。錯(cuò)解：由已知等式得， 得：。，或。剖析：上述解法錯(cuò)了，錯(cuò)在沒有利用題設(shè)條件進(jìn)一步縮小的范圍，產(chǎn)生了增根。事實(shí)上，同理可得,又，因此結(jié)合得：，。又。從而，故。五、忽視三角函數(shù)

6、的值域致錯(cuò)例8.若，求的最大值與最小值。錯(cuò)解：由已知得：，則有。當(dāng)時(shí)，取得最大值1，當(dāng)時(shí)，取得最小值。分析：最小值求錯(cuò)了，錯(cuò)的原因就是未注意正弦函數(shù)的有界性。正解：由知，解之得：。故的最大值與最小值分別為1和。六、三角代換不等價(jià)致錯(cuò)例9.已知，求證：。錯(cuò)證：設(shè)，則有故不等式成立。錯(cuò)解分析：這里的題設(shè)條件中盡管呈現(xiàn)正、余弦函數(shù)的有界性，但兩個(gè)字母a、b并非有一定的制約關(guān)系，因此不能設(shè)成同名，且最后一步正、余弦平方和大于零也欠推敲。例10.已知，求的取值范圍。錯(cuò)解：由得：，可設(shè)，其中，則有。由所設(shè)推得：，即。，于是，。錯(cuò)解：剖析：仔細(xì)分析滿足已知不等式的、的取值范圍應(yīng)為，故在三角代換時(shí)不等價(jià)，對(duì)角

7、的范圍要限制成，正確結(jié)果應(yīng)為。七、解法不當(dāng)引起增解致錯(cuò)例11.已知，且，求。錯(cuò)解：，又。由知，或。錯(cuò)解剖析：由于正弦值為的角在上不唯一，才造成兩解。正確解法應(yīng)是取余弦，因余弦函數(shù)在中是單調(diào)的，這樣才不會(huì)擴(kuò)大解集，即 由知例12.若，求的取值范圍。 解：令，則有 說明：此題極易只用方程組（1）中的一個(gè)條件，從而得出或。原因是忽視了正弦函數(shù)的有界性。另外不等式組（2）的求解中，容易讓兩式相減，這樣做也是錯(cuò)誤的，因?yàn)閮墒街械牡忍?hào)成立的條件不一定相同。這兩點(diǎn)應(yīng)引起我們的重視。平面向量部分平面向量是高中數(shù)學(xué)教材中的新增內(nèi)容，運(yùn)用向量知識(shí)解題常可收到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的神奇功效，它已成為高考數(shù)學(xué)的新寵但同

8、學(xué)們?cè)诔鯇W(xué)這部分內(nèi)容時(shí)，往往容易出現(xiàn)這樣或那樣的錯(cuò)誤，現(xiàn)列舉幾種常見錯(cuò)誤，以期起到防患于未然的作用一對(duì)向量的數(shù)量積的理解不透徹，與實(shí)數(shù)有關(guān)性質(zhì)運(yùn)算相混淆從而出現(xiàn)錯(cuò)誤。 例1：（1）設(shè)與為非零向量，下列命題： 若與平行，則與向量的方向相同或相反； 若與共線，則a、b、c、d四點(diǎn)必在一條直線上；若與共線，則；若與反向，則其中正確命題的個(gè)數(shù)有 （ ）（a）1個(gè) （b）2個(gè) （c）3個(gè) （d）4個(gè)（2）下列結(jié)論正確的是 （ ）（a） （b） （c）若（d）若與都是非零向量，則的充要條件為錯(cuò)解：（1）有學(xué)生認(rèn)為全正確，答案為4；也有學(xué)生認(rèn)為或是錯(cuò)的，答案為2或3；（2）a或b或c。分析：學(xué)生對(duì)向量基礎(chǔ)知

9、識(shí)理解不正確、與實(shí)數(shù)有關(guān)性質(zhì)運(yùn)算相混淆，致使選擇錯(cuò)誤。第（1）小題中，正確的應(yīng)該是，答案為2。共線向量（與共線）的充要條件中所存在的常數(shù)可看作為向量作伸縮變換成為另一個(gè)向量所作的伸縮量；若，為非零向量，則共線的與滿足與同向時(shí)，與反向時(shí)。第（2）小題中，正確答案為（d）。學(xué)生的錯(cuò)誤多為與實(shí)數(shù)運(yùn)算相混淆所致。選擇支d同時(shí)要求學(xué)生明確向量垂直、兩個(gè)向量的數(shù)量積、向量的模之間互化方法，并進(jìn)行正確互化。例2已知、都是非零向量，且向量與垂直，向量與垂直，求向量與的夾角錯(cuò)解由題意得，即 ，兩式相減得，即，所以，（不合題意舍去）或，由知與同向，故向量與的夾角為剖析本題誤用實(shí)數(shù)的性質(zhì)，即實(shí)數(shù)、若滿足則必有或，但

10、對(duì)于向量、若滿足則不一定有或，因?yàn)橛芍c有關(guān)，當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)、均可以不為正解由前知代入得，所以，故二、忽略共線向量致誤例3已知同一平面上的向量、兩兩所成的角相等，并且，求向量的長(zhǎng)度錯(cuò)解易知、皆為非零向量，設(shè)、所成的角均為，則，即，所以，同理，由=3，故剖析本例誤以為、皆為非共線向量，而當(dāng)向量、共線且同向時(shí)，所成的角也相等均為，符合題意正解(1)當(dāng)向量、共線且同向時(shí)，所成的角均為,所以；(2)當(dāng)向量、不共線時(shí)，同錯(cuò)解.綜上所述, 向量的長(zhǎng)度為6或三、忽視兩向量夾角的意義致誤例4正的邊長(zhǎng)為1，且，求的值錯(cuò)解由于正的邊長(zhǎng)為1，所以，且，所以，同理可得，由=6，故剖析本題誤以為與的夾角為事實(shí)上，兩

11、向量的夾角應(yīng)為平面上同一起點(diǎn)表示向量的兩條有向線段之間的夾角，范圍是，因此，與的夾角應(yīng)為正解作，與的夾角即與的夾角為，所以，同理可得，由=0，故例5。在邊長(zhǎng)為1的正三角形abc中，求的值。錯(cuò)解：=分析：兩向量夾角的定義的前提是兩向量的起點(diǎn)要重合。向量的夾角通過向量平移后發(fā)現(xiàn)不是，而是。這是由于對(duì)兩向量夾角的定義理解不透造成的。正解：=四、忽視充要條件致誤例6已知，設(shè)與的夾角為，要使為銳角，求的取值范圍錯(cuò)解因?yàn)闉殇J角，所以，由知，只須，即，即剖析本題誤以為兩非零向量與的夾角為銳角的充要條件是，事實(shí)上，兩向量的夾角，當(dāng)時(shí)，有，對(duì)于非零向量與仍有，因此，是兩非零向量與的夾角為銳角的必要不充分的條件即

12、有如下結(jié)論：兩非零向量與的夾角為銳角的充要條件是且不平行于正解由為銳角，得且，由，而、恒大于0，所以，即；若平行則即，但若平行則或，與為銳角相矛盾，所以；綜上，且例7已知，且與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍錯(cuò)解：設(shè)與的夾角為，則，依題意知，與均不是零向量，且為銳角，故所求的的范圍是 分析：在已知條件下就變量的取值范圍，實(shí)質(zhì)是尋找充要條件。兩向量與的夾角為銳角的充要條件是且與不共線，正確的答案為：所求的的范圍是五、亂用平移公式致誤例8已知、，則向量按向量平移后得到的向量是（ ）a b c d錯(cuò)解由、得，將及代入平移公式得，故選d剖析平移公式揭示的是點(diǎn)沿著向量平移前后坐標(biāo)的變化關(guān)系，它不適用于向量

13、平移的規(guī)律，上述錯(cuò)誤是典型的亂用公式正解一將、按向量平移后分別變?yōu)?、，故，故?yīng)選c正解二因平移不影響向量大小的變化，故應(yīng)選c六、分不清平移前后致誤例9把一個(gè)函數(shù)的圖象按平移后得到的圖象的函數(shù)解析式為，那么原來函數(shù)的解析式為（ ）a b c d錯(cuò)解由向量平移公式得，即代入得，故選c剖析錯(cuò)選c項(xiàng)是分不清平移前后所致，是圖象平移后得到的函數(shù)解析式，應(yīng)為正解由平移公式得，代入得，故選b七對(duì)向量的坐標(biāo)的理解、處理不當(dāng)，不能徹底地弄清問題。例10. 判斷三角形的形狀：錯(cuò)解：因?yàn)樗匀切蝍bc為鈍角三角形。剖析：把點(diǎn)的坐標(biāo)誤認(rèn)為向量的坐標(biāo)，得出錯(cuò)誤的結(jié)論。給出點(diǎn)的坐標(biāo)，就可以確定有關(guān)向量的坐標(biāo)，而只要先在

14、直角坐標(biāo)系中描出a、b、c，就可大致估計(jì)計(jì)算那兩個(gè)向量的坐標(biāo)，然后通過計(jì)算這兩向量的數(shù)量積，就可判斷此三角形的形狀。正解： 故三角形abc為直角三角形。八.忽視兩向量垂直的概念是針對(duì)兩非零向量的而致錯(cuò).例11在四邊形abcd中，如果 試判定四邊形abcd的形狀 錯(cuò)解：，同理可得，四邊形abcd為平行四邊形在平行四邊形abcd中，由可以得到四邊形abcd為矩形 分析：雖然答案是正確的，但是由于兩向量垂直的概念是針對(duì)兩非零向量的，故得不到，從而就更推不到。事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，向量和可以是任意向量。因此推理是錯(cuò)誤的。 正確的解法： 即、 又 即 即四邊形abcd為平行四邊形，且，再由，得，從而，因此四邊形

15、abcd為矩形。九、對(duì)有關(guān)向量的垂直，由于思維定勢(shì)，在求解時(shí)不進(jìn)行討論而造成的失誤。例12. 已知，有一個(gè)角為直角，求實(shí)數(shù)k的值。錯(cuò)解：因?yàn)椤Ｆ饰觯捍私忮e(cuò)誤原因是自認(rèn)為是直角，故在解題構(gòu)思中丟掉另外兩種情況。正解：（1）若，則。（2）若。（3）若，無實(shí)數(shù)解，不存在實(shí)數(shù)值使。綜上所述，當(dāng)。要學(xué)好向量，還有如下六注意注意1：要區(qū)別向量向量既有大小又有方向，它的大小就是向量的模（長(zhǎng)度）記作| |，| |是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)。兩個(gè)向量不可以比較大小。它們之間的關(guān)系只能說是相等或不相等，平行或不平行，共線或不共線，是毫無意義的。但兩個(gè)向量的模之間可以比較大小，表示向量的長(zhǎng)度大于向量b的長(zhǎng)度。而實(shí)數(shù)a只有大小，沒有方向，兩個(gè)實(shí)數(shù)之間可以比較大小。注意2：要區(qū)別向量與實(shí)數(shù)0許多人在初學(xué)向量時(shí)常把與0混為一談，向量表示長(zhǎng)度為0的向量，即|=0，它的方向是任意的，規(guī)定向量與任意一個(gè)向量都平行。而0是一個(gè)沒有方向的實(shí)數(shù)。以下幾個(gè)式子都是錯(cuò)誤的：（1）（2）；（3）（4）.注意3：要區(qū)別向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)乘法ab向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)乘法ab有許多不同之處，因而要正確區(qū)分它，關(guān)鍵是以公式為依據(jù)。（1）從形的角度看，的幾何意義是一個(gè)向量的長(zhǎng)度乘以另一個(gè)向量在其上的射影：從數(shù)的角度看，若設(shè)（2）向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即不一定共線。注意：不能錯(cuò)