數(shù)列解題技巧

1、第四講 數(shù)列與探索性新題型的解題技巧 【命題趨向】 從 2007 年高考題可見(jiàn)數(shù)列題 命題有如下趨勢(shì)： 1. 等差（比）數(shù)列的基本知識(shí)是必考內(nèi)容，這類(lèi)問(wèn)題既有選擇題、填空題，也有解答題；難度易、中、難 三類(lèi)皆有 . 2. 數(shù)列中an與Sn之間的互化關(guān)系也是高考的一個(gè)熱點(diǎn) 3. 函數(shù)思想、方程思想、分類(lèi)討論思想等數(shù)學(xué)思想方法在解決問(wèn)題中常常用到，解答試題時(shí)要注意靈活應(yīng) 用. 4. 解答題的難度有逐年增大的趨勢(shì) ,還有一些新穎題型 ,如與導(dǎo)數(shù)和極限相結(jié)合等 . 因此復(fù)習(xí)中應(yīng)注意： 1. 數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，學(xué)習(xí)時(shí)要善于利用函數(shù)的思想來(lái)解決.如通項(xiàng)公式、前 n 項(xiàng)和公式等 . 2. 運(yùn)用方程的思想

2、解等差（比）數(shù)列，是常見(jiàn)題型，解決此類(lèi)問(wèn)題需要抓住基本量ai、d （或q），掌握好 設(shè)未知數(shù)、列出方程、解方程三個(gè)環(huán)節(jié)，常通過(guò) “設(shè)而不求，整體代入 ”來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算 . 3. 分類(lèi)討論的思想在本章尤為突出學(xué)習(xí)時(shí)考慮問(wèn)題要全面，如等比數(shù)列求和要注意q=1和q工1兩種情況 4. 等價(jià)轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中常常運(yùn)用的，數(shù)列也不例外如an與Sn的轉(zhuǎn)化；將一些數(shù)列轉(zhuǎn)化成等差（比）數(shù) 列來(lái)解決等 .復(fù)習(xí)時(shí)，要及時(shí)總結(jié)歸納 . 5. 深刻理解等差（比）數(shù)列的定義，能正確使用定義和等差（比）數(shù)列的性質(zhì)是學(xué)好本章的關(guān)鍵. 6. 解題要善于總結(jié)基本數(shù)學(xué)方法 .如觀察法、類(lèi)比法、錯(cuò)位相減法、待定系數(shù)法、歸納法、數(shù)形結(jié)合法，

3、養(yǎng) 成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，定能達(dá)到事半功倍的效果 . 7數(shù)列應(yīng)用題將是命題的熱點(diǎn)，這類(lèi)題關(guān)鍵在于建模及數(shù)列的一些相關(guān)知識(shí)的應(yīng)用. 【考點(diǎn)透視】 1理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義，了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公 式寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng) . 2理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n 項(xiàng)和公式，并能運(yùn)用公式解答簡(jiǎn)單的問(wèn)題. 3理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n 項(xiàng)和公式，并能運(yùn)用公式解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題. 4數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，所以在高考中占有重要的地位.高考對(duì)本章的 考查比較全面， 等差數(shù)列， 等比數(shù)列的考查每年都不會(huì)遺漏 .解答題

4、多為中等以上難度的試題， 突出考查考 生的思維能力， 解決問(wèn)題的能力， 試題大多有較好的區(qū)分度 .有關(guān)數(shù)列的試題經(jīng)常是綜合題， 經(jīng)常把數(shù)列知 識(shí)和指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和不等式的知識(shí)綜合起來(lái)，試題也常把等差數(shù)列、等比數(shù)列，求極限和數(shù)學(xué)歸納 法綜合在一起。探索性問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)，常在數(shù)列解答題中出現(xiàn)。本章中還蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，在 主觀題中著重考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類(lèi)討論等重要思想，以及配方法、換元法、待定系數(shù)法等 基本數(shù)學(xué)方法應(yīng)用問(wèn)題考查的重點(diǎn)是現(xiàn)實(shí)客觀事物的數(shù)學(xué)化，常需構(gòu)造數(shù)列模型，將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué) 問(wèn)題來(lái)解決 【例題解析】 考點(diǎn)1正確理解和運(yùn)用數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式 理解數(shù)列的概念

5、，正確應(yīng)用數(shù)列的定義，能夠根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式 典型例題 例1.（ 2006年廣東卷）在德國(guó)不來(lái)梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商店櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若 干堆“正三棱錐”形的展品，其中第1堆只有1層，就一個(gè)球；第 2 , 3 , 4,堆最底層（第一層）分別 按圖4所示方式固定擺放，從第二層開(kāi)始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第n堆第n層就放一個(gè)乒 f (n) （答案用n表示） 思路啟迪：從圖中觀察各堆最低層的兵乓球數(shù)分別是 12,3,4,推測(cè)出第n層的球數(shù)。 乓球，以f （n）表示第n堆的乒乓球總數(shù)，則f 3 11 / 19 解答過(guò)程：顯然f 310. 第n堆最低層（第一層

6、）的乒乓球數(shù), ana1已2L an n n 1，第n堆的乒乓球數(shù)總數(shù)相當(dāng)于 2 n堆乒乓 球的低層數(shù)之和，即f n a a. 1 2 2 (1222 L 2 n2) 例2 .（2007年湖南卷理） 將楊輝三角中的奇數(shù)換成 1，偶數(shù)換成0,得到如圖所示的0-1三角數(shù)表從 所以： n n 1 n 2 f(n) 6 上往下數(shù)，第1次全行的數(shù)都為1的是第1行，第2次全行的數(shù)都為1的是第3行，第n次全行的數(shù) 都為1的是第 行；第61行中1的個(gè)數(shù)是 第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 思路啟迪：計(jì)算圖形中相應(yīng) 1的數(shù)量的特

7、征，然后尋找它們之間的規(guī)律。 解：第1次全行的數(shù)都為1的是第2 1 =1行，第2次全行的數(shù)都為1的是第22仁3行，第3次全行的數(shù) 都為1 的是第23 1=7行, ,第n次全行的數(shù)都為1的是第2n 1行；第61行中1的個(gè)數(shù)是25 1 應(yīng)填2n 1 , 32 考點(diǎn)2 數(shù)列的遞推關(guān)系式的理解與應(yīng)用 在解答給出的遞推關(guān)系式的數(shù)列問(wèn)題時(shí)，要對(duì)其關(guān)系式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的類(lèi)型進(jìn)行解題。 如“逐差法”若an an n,且a11 ；我們可把各個(gè)差列出來(lái)進(jìn)行求和, 可得到數(shù)列 an的通項(xiàng). ananan 1an 1 n n 1 a2 a1atn n 1 L 2 1 - 2 再看逐商法”即 an 1 a

8、n 1且a1 1，可把各個(gè)商列出來(lái)求積。 n 2 L 2gln! an -agang_ 龔81 an 1 an 2a1 另外可以變形轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列與等比數(shù)列，禾U用等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)解決問(wèn)題。 例3 .（ 2007年北京卷理） a1 數(shù)列a中，a12,an 1an cn （ c是常數(shù)，n1,2,3,L），且a“a2,a?成公比不為1的等比數(shù)列. （I）求c的值；（II）求a的通項(xiàng)公式. 思路啟迪：（1 ）由印，a2, a3成公比不為1的等比數(shù)列列方程求 c ； （2）可根據(jù)遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng)，然后分析每一項(xiàng)與該項(xiàng)的序號(hào)之間的關(guān)系，歸納概括出an與n 之間的一般規(guī)律，從而作出猜想，寫(xiě)

9、出滿(mǎn)足前4項(xiàng)的該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式. 解：（I） a12， a22 c， a32 3c， 因?yàn)閍“ a2， a3成等比數(shù)列，所以（2 c）2 2（2 3c），解得c 0或c 2 . 當(dāng)c 0時(shí)， Xn Xn 1 X1. 2 n 1 1 2 n 2 1 , 1 X 6 2 21x1 ，從而 X13. 2 6 小結(jié)：數(shù)列遞推關(guān)系是近幾年高高數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)，主要是一些能轉(zhuǎn)化為等差等比數(shù)列的遞推關(guān)系式。對(duì)連續(xù) 兩項(xiàng)遞推ankan-1 d n 2,k1，可轉(zhuǎn)化為 k an 1 ；對(duì)連續(xù)三項(xiàng)遞推的關(guān)系 an 1 kan dan-1 n 2 如果方程x2 kx d=0有兩個(gè)根、，則上遞推關(guān)系式可化為 an 1

10、anan 3n 1 或 3n 13n3n 3n 1 . 考點(diǎn)3數(shù)列的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn之間的關(guān)系與應(yīng)用 an與Sn的關(guān)系：anS1n=1，數(shù)列前n項(xiàng)和 （II）對(duì)任意給定的正整數(shù) n （n 2），數(shù)列bk滿(mǎn)足 蚣 k n (k 1,2, ak 1 n 1), bi1.求 bid bn . 思路啟迪：注意利用bk 邑 J L色b解決問(wèn)題. bk i bk 2 b 1 解：(i)當(dāng) k 1，由 a1 S-ia-ia2 及 a1 1，得 a2 2 . 2 當(dāng)k 2時(shí)，由akSk Sk i 1 akak 1 2 ak k，得 ak( ak 1 2 ak 1)2ak. 因?yàn)閍k 0，所以ak 1ak

11、 1 2 從而a2m 1 1 (m 1) 2 2m 1. 16 / 19 j (即前面 .記排 、a5,并 2 1 n(n 1) 2 例15 .設(shè)f(x)是定義在(0,)上的單調(diào)可導(dǎo)函數(shù) .已知對(duì)于任意正數(shù) X，都有 f f (x) X 丄，且 f(x) a2m 2 (m 1) 2 2m，m N* .故 ak k(k N*). (n)因?yàn)?ak k , 所以 bk 1 n k n k bk ak 1 k 1 所以bk- bk b 1 匹b1 (1) k 1 (n k 1)(n k 2) 1 bk 1 bk 2 bi k (k 1) 2 1 k 1 1 k (1) C n(k 1,2, ,n).

12、 n 故d b2 bs L bn 1 C1 Cn Cn C； L (1)n 1 n Cn n S Cn C1 Cn C2 C n ( 1)n C； 1 n n 考點(diǎn)8數(shù)列綜合應(yīng)用與創(chuàng)新問(wèn)題 數(shù)列與其它數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合性問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)，全面考察數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握和運(yùn)用的情況，以及分析 問(wèn)題解決問(wèn)題的能力和思維的靈活性、深刻性、技巧性等，涉及的數(shù)學(xué)思想方法又從一般到特殊和從特殊 到一般的思想、函數(shù)與方程的思想、探索性思想等。 例14 . ( 2006年湖南卷)在m ( m2)個(gè)不同數(shù)的排列 P1P2Pn中，若1 P 某數(shù)大于后面某數(shù))，則稱(chēng) Pi與Pj構(gòu)成一個(gè)逆序.一個(gè)排列的全部逆序的總數(shù)稱(chēng)為該排列的

13、逆序數(shù) 列(n 1)n(n 1)321的逆序數(shù)為a.,如排列21的逆序數(shù)a1 1，排列321的逆序數(shù)a3 6.求 寫(xiě)出an的表達(dá)式； 命題目的：考查排列、數(shù)列知識(shí) 過(guò)程導(dǎo)引：由已知得 a410, a515 , an n (n 1) f(1) a 0. (I)求f(a 2)，并求a的值； (n)令a 丄 n N，證明數(shù)列 a是等差數(shù)列； n f(n) ，求證: (川)設(shè)kn是曲線(xiàn)y f(x)在點(diǎn)(n2, f(n2)處的切線(xiàn)的斜率(nN )，數(shù)列心的前n項(xiàng)和為s 4Sn2. 解答過(guò)程： (I)取 X 1,f (a 2)1 ； 思路啟迪：根據(jù)已知條件求出函數(shù) a 再取 x a 2 f (1) a a

14、 a 2 則a 2，或1 (舍去) (n)設(shè) f(x) t，則 f(t 1，再令 t f(1 冷)t f (X), 2 , X t 2 X 即 Xt2 t 0, t 2,或 1 x x f (1) a 0 , 則 f (X) t -, an X 1 an 1 an , n 2 N，所以 an 是等差數(shù)列. (3)由(2) f(x) f (x) knf (n2) 所以 Sn 2(1 又當(dāng)n 2時(shí), kn (n 1)n 1)， n 則Sn 1 21 (1 R 1 1 (2 3)L 21 (1 1 -)4， n f X的關(guān)系式，求出an的遞推關(guān)系式然后可求解題中要求. 22 故 4 Sn 2. 例1

15、6 .( 2007年廣東卷理) 已知函數(shù)f (X) X2 X 1 , 是方程f(X)=0的兩個(gè)根( ),f (X)是 f(X)的導(dǎo)數(shù)；設(shè) a11 , an 1 an-(n=1,2,) f (an) (1) 求，的值； (2) 證明：對(duì)任意的正整數(shù) n,都有ana ； (3) 記bn In如(-=1,2,)，求數(shù)列bn的前-項(xiàng)和Sn . an a 思路啟迪：(1)注意應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系求，的值；(2)注意先求f(x) ; ( 3 )注意利用，的關(guān)系. 解：(1 )f(x)x2 x 1,是方程 f(x)=0 的兩個(gè)根()， 1 751 亦 13 / 19 (2) f(x) 2x 1, an 1 2

16、彳 anan1 an 2an 1 1 15 an(2an 1)(2an 1) 一 2 44 2an 1 =!(2a 4 1) 2an 1 ai 由基本不等式可知 a2 厲 1 恃-1 0 (當(dāng)且僅當(dāng) ai 5 1 時(shí)取等號(hào))， a2 0 同, a3 (3) an 1 an (an 1 2 _)(an 2an ,an 別(an 1 2an 1 an 1 (an 同理 an 1 2an 1 (n=1,2,) )，而 2 1 -,tn 12bn，又 b ln 1 2ln S 2(2n 1)lny5 - 【專(zhuān)題訓(xùn)練與高考預(yù)測(cè)】 選擇題 a3+ a 5的值等于( 1.已知a n 是等比數(shù)列，且 a n

17、0 , a 2 a 4 +2 a 3 a 5+a 4 a 6=25 ,那么 A.5 B.10 C.15. D.20 2.在等差數(shù)列an中, 已知 a1 +a 2 +a 3+a 4 +a 5= 20 ,那么 a 3 等于( A.4 B.5 C.6D7. 3.等比數(shù)列an的首項(xiàng) a1 = 1,前n項(xiàng)和為Sn,若魚(yú) 31 32 lim Sn等于( n B. I C.2 D. 2 4.已知二次函數(shù) y=a(a+1) x2 (2a+1)x+1，當(dāng) a=1 , n,時(shí)，其拋物線(xiàn)在 x軸上截得的線(xiàn)段長(zhǎng)依 次為d 1,d2，,dn,，貝V lim n (d 1+d2+dn)的值是( A.1 B.2 C.3 D

18、.4 25 / 19 二.填空題 5已知a,b,a+b成等差數(shù)列, a,b,ab成等比數(shù)列，且 0log m(ab)0,S130且a豐1),記Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，試比較 Sn與 bn 1 log abn+1的大小，并證明你的結(jié)論. 3 19. 某公司全年的利潤(rùn)為b元，其中一部分作為獎(jiǎng)金發(fā)給n位職工，獎(jiǎng)金分配方案如下：首先將職工按工 作業(yè)績(jī)(工作業(yè)績(jī)均不相同)從大到小，由1到n排序，第1位職工得獎(jiǎng)金b元，然后再將余額除以n發(fā)給 n 第2位職工，按此方法將獎(jiǎng)金逐一發(fā)給每位職工，并將最后剩余部分作為公司發(fā)展基金. (1)設(shè)ak(1 ak+i(k=1,2,n 1),并解釋此不等式關(guān)于分配原則的實(shí)

19、際意義； 發(fā)展基金與n和b有關(guān)，記為Pn(b),對(duì)常數(shù)b,當(dāng)n變化時(shí)，求|jm Pn(b). 【參考答案】 一 選擇題 1.解法一：因?yàn)閍 n是等比數(shù)列，設(shè)a n的公比為q，由a n 0知q0， 因 a 2 a 4 +2 a 3 a 5+ a 4 a 6=25， 所以，a 1q a 1 q 3 +2a 1q2a1q4+a1q3a1q5 =25， 即az2 （ 1+ q 2）2=25， a2（ 1+ q 2）=5， 得 a 3+ a 5= a 1q 2 +a 1 q 4 = a 1q 2 （ 1+ q 2）=5 .故選擇答案 A . 解法二：因a n是等比數(shù)列，a 2 a 4 = a 2，a 4

20、 a 6= a 5 ， 原式可化為 a2 +2 a 3 a5+ a 5 =25,即（a3+ a 5）2 =25. 因an0, a3+ a5= 5 ,故選擇答案A 2解法一：因?yàn)閍 n是等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為a 1，公差為d， 由已知 a 1 + a 2 +a 3 +a 4 +a 5 = 20 有 5 a 1 +10d = 20 ， a 1 +2d = 4,即a 3= 4.故選擇答案 A. 解法二：因a n是等差數(shù)列，所以a1 + a 5= a 2 + a 4 =2 a 3 ， 由已知 a 1 +a 2 +a 3+a 4 +a 5 = 20 彳得 5 a 3 = 20 ， a 3 = 4. 故選擇

21、答案A 3.解析：禾U用等比數(shù)列和的性質(zhì).依題意，S10 31，而a1= 1,故q工1, Sw S531 32 丄,根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)知S5, S532 S10 S5, S15 S1o, 也成等比數(shù)列，且它的公比為q5 S5 32 32 q5= 丄，即q= 1 32 2 a1 2 lim Sn n 1 q 3 故選擇答案B. 4.解析：當(dāng) a=n 時(shí) y=n（n+1）x2 （2n+1）x+1 由丨 X1 X2 I = 一，得 dn=1, an（n 1） d1 +d2 +d n lim (d1d2 n 故選擇答案 1,111 1 n(n 1)223 1 lim (1)1. n n 1 丄1丄 n

22、1 n, 1 dn) A. 二、5.解析：解出a、 b,解對(duì)數(shù)不等式即可. 故填答案:(s ,8) 6.解析：利用S奇/S偶=n 1得解. n 故填答案：第11項(xiàng)aii=29. 7解析:設(shè)Cn |Zn 1 I(1 SnC1C2 Cn 1 21 .2 n P _2 2 f2 n 1 () 2 2 nim Sn212 故填答案：1+二 8.解析：由題意所有正三角形的邊長(zhǎng)構(gòu)成等比數(shù)列an，可得 an = 旦,正三角形的內(nèi)切圓構(gòu)成等比數(shù)列rn, 2- 可得rn=仝丄a, 6 2n 1 這些圓的周長(zhǎng)之和 c= lim 2 n (門(mén) +2+ + rn)= 3 3 n2 a2, 面積之和S= lim n n

23、 (n 2+r22+ +rn2)=_a2 9 故填答案：周長(zhǎng)之和 口 n a,面積之和_a2 9 (1 b) 9.解析：第一次容器中有純酒精a b即a(1 b)升，第二次有純酒精a(1 P) 乳b，即a(1 衛(wèi))2 aaaa 升，故第n次有純酒精a(1 P)n升. a 故填答案:a(1 b)n a 10.解析：從2001年到2005年每年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值構(gòu)成以95933為首項(xiàng)，以7.3%為公比的等比數(shù)列, - a5=95933(1+7.3%) 4 120000(億元). 故填答案:120000. 三、11.解：因?yàn)閍n為等比數(shù)列，所以S10, S20 S10, S3。一 S20是等比數(shù)列. 即

24、5, 15 5, S30 15 是等比數(shù)列，得 5 (S30 15 ) =10 2 , S 30 =35. 12. 解：設(shè)等差數(shù)列an共有 2n 1 項(xiàng)，S ,=80 , S2=75，則 L = J =_8 = , S2 n 17515 得n=16，所以2n 仁2 X 16 仁31即此數(shù)列共有 31項(xiàng). 又由a n的項(xiàng)數(shù)為2n 1，知其中間項(xiàng)是 an ,故a. = S 1 S 2 =80 75=5 , a 16 =5. 13. 解：設(shè)等差數(shù)列an中，前m項(xiàng)的和為Sm，其中奇數(shù)項(xiàng)之和為S1，偶數(shù)項(xiàng)之和為 S?，由題意得 S m=77 , S 2=33 , S 1 = S m S 2 = 44 , 令 m=2 n 1 貝 V ! = _ =-，得 n =4 , S2n 1 3 m=7 , a 4 =S 1 S 2 =11，又 a 1 a 7 =18 ,得首項(xiàng)為 20，公差為3 , 故通項(xiàng)公式為 a n = 3 n+23. a3 a1 2d 12, 14. (1)解：依題意有：12 11 512 12ai d 0, 2 c13 12 513 13aid 0. 2 解之得公差d的取值范圍為 竺v d v 3. 7 (2)解法一：由d v 0可知a1a2a3a12a13,因此，在S1, S2,，S12中Sk