數(shù)學：第15講《位值原理與進位制進階》講義

1、五年級數(shù)學星隊秋季第十五講位值原理與進位制進階例1【分析】(1)用數(shù)字1、2、3各一個可以組 成三位數(shù)，所有這樣的三位數(shù)之 和是.(2)三個不同的非零數(shù)字a,b,c共 可以組成6個不同的三位數(shù)，這6 個三位數(shù)之和一定是 的倍數(shù).(3)三個互不相同的數(shù)字，可以組 成6個不同的三位數(shù)，知道這6 個三位數(shù)的和為2886,那么：這 三個數(shù)字的和為 ；這六個三 位數(shù)中最小可能值是 ；這六 個三位數(shù)中最大可能值是 .(4)a,b,c分別是09中不同的數(shù) 碼用a,b,c共可組成六個三位數(shù) 如果其中五個三位數(shù)之和是2234,那么另一個三位數(shù)是【分析】(1)123+132+213+231+312+321 =13

2、32(2labc acb bac bac cab cba 二 222* (a+ b+ c),一定是 222 的 倍數(shù).(3)設這三個數(shù)字分別是a、b、c, 有 222 a b c = 2886,a b c= 13；百位最小為1,和為13,應該讓個 位越大越好，個位為9,因此最小 值為139;百位最大為9,因為可以出現(xiàn)的 全是三位數(shù)，因此不可能出現(xiàn)0, 個位最小為1,最大值為931.(4)由a,b,c組成的六個數(shù)的和是222、(a + b+ c).因為2234 222, 10，所以 a+ b+ c10.若a+b+c=11，則所求數(shù)為222 11 2234 : 208, 一但2 0 8t0= 11

3、，不合題意.若a+ b+ c= 12，則所求數(shù)為222 12 2234 = 430,_但4 3 0= 7 = 12,不合題意.若a + b + c=13,則所求數(shù)為 222 13 2234 : 652,6 5 2 : 13，符合題意.若a+ b+ c= 14，則所求數(shù)為222 14 2234 = 874,_但8 7 4 t9= 14，不合題意.若a+b+c75,則所求數(shù) 之 222, 15- 2234= 1096,但所求 數(shù)為三位數(shù)，不合題意.所以，只有a+ b+ c= 13時符合題 意，所求的三位數(shù)為652.例 2_如果ab* 7= a0b,那么ab等于(2)一個兩位數(shù)，在它的前面寫上 3,

4、所成的三位數(shù)比原來的兩位數(shù) 的5倍小32,原來的兩位數(shù)是【分析_ | 將ab* 7= a0b,展開整理得:(a 10 b) 7 a 100 0 b70a 7b 100a b30a二 6b5a 二 b由于位值的性質，每個數(shù)位上的 數(shù)值在09之間，得出a=1,b= 5.回諛原來的典位數(shù)為品貝l 3ab 32= 5ab,10a b= 83,ab= 83.例3(1)已知 abcd + abc+ ab+ a = 1370，求 abcd.(2)已知一個四位數(shù)加上它的各 位數(shù)字之和后等于2014,則所有 這樣的四位數(shù)之和為多少？(3)一個4位數(shù)，它和它的反序數(shù) 的和是以下4個數(shù)中的一個：8656;8657;

5、8658; 8667這兩個4位數(shù)的和到底是多少？(4)一個4位數(shù)，把它的千位數(shù)字移到右端構成一個新的 4位數(shù). 再將新的4位數(shù)的千位數(shù)字移到 右端構成一個更新的四位數(shù)，已 知最新的4位數(shù)與最原先的4位 數(shù)的和是以下5個數(shù)中的一個： 9865;9867;9462;9696; 9869這兩個4位數(shù)的和到底 是多少？【分析】原式:1111a+111b+11c+ d=1370,所以 a=i,則 lllb+llc+ d=1370 1111=259,11 b+ 11c+ d=259. 推知 b=2;則 222+11c+d=259,11c+ d=37進而推知c=3,d=4所以abcd =1234.(2)設四

6、位數(shù)啟，那么abcd a b c d = 2014，最后求得abcd= 2006或1988,所以所有四位數(shù)之和為2006 1988= 3994.(3)設原序數(shù)為abcd,則反序數(shù)為dcba廁abcd + dcba=(1000a 100b 10c d) (1000d 100c 10b a)1001a 110b 110c 1001d=1191a 10b 10c 91d)因為等式的右邊能被11整除，所以abcd + dcba能被11整除.4個數(shù)中只有8657是11的倍數(shù)，因此和為8657.例如：4783+3874=8657(4)設這個4位數(shù)是病,則最新的4位數(shù)是cdab.兩個數(shù)的和為abcd cda

7、b= 1010a 101b 1010c 101d，是101的倍數(shù).在所給的5個數(shù) 中只有9696是101的倍數(shù)，故正 確的答案為9696.練一練(1)一個四位數(shù)，將其4個數(shù)位上 的數(shù)字求和，再加上原來的四位 數(shù)得到一個新的四位數(shù)；再將得 到的新四位數(shù)4個數(shù)位上的數(shù)字 求和，再加上這個新的四位數(shù)，又 得到一個新四位數(shù)；如此操作四 次，最后得到的數(shù)是2012,問最初 的四位數(shù)是多少？(2)以五位數(shù)為例說明：其原序數(shù) 和反序數(shù)之差一定是99的倍數(shù).【分析】設第三次操作后得到的數(shù)為abcd,可得到abcd a b c d = 2012，解得 abcd 2005或 abcd = 1987，之后 再繼續(xù)倒

8、推，可得到第二次得到 的數(shù)為1979或1970;再倒推，可 得到第一次得到的數(shù)為1957或 1948;第一個數(shù)為1937或1928.abcde=edcba=(10000a 1000b 100c 10d e)-(10000e 1000d 100c 10b a)二 9999a 990b 990d 9999e: 9g 101a 10b 10d 101e)因為等式的右邊能被99整除，所以abcde edcba能被99整除例4(1)把5寫在某個四位數(shù)的左端 得到一個五位數(shù)，把5寫在這個 四位數(shù)的右端也得到一個五位 數(shù)，已知這兩個五位數(shù)的差是 22122，求這個四位數(shù).(2)若用相同的漢字表示相同數(shù) 字，

9、不同漢字表示不同數(shù)字，則在 學習好勤動腦“ 5=勤動腦學習好乂 8 中.學習好勤動腦”表示的六位 數(shù)最小是多少？【分析】設這個四位數(shù)為x,則有：(50000+ x)(10x+5)=22122 或(10x + 5) - (50000 + x)=22122, 得,x=3097 或 x=8013.(2)(引導和常規(guī)的位值原理不同， 如果一個個展開會非常麻煩，引 導前面的數(shù)和后面的數(shù)有哪些 相同的地方，引出整體思想的方 程解法)設學習好=a , 勤動腦=b (如果有學生問不是 三位數(shù)怎么辦，請規(guī)定oab=ab), 可得到(1000a b) 5= (1000b a) 8 , 整理后得到4992a-799

10、5b,化簡 得：128, a= 205乂 b,128,205 出 現(xiàn)2重復，因此需要擴倍.可以得 到最小的六位數(shù)是410256例5你來到了 一個陌生的星球，這個 星球的人還處在用符號計數(shù)的 階段，這個星球的一只獵物用 來表示，凈代表十位，必弋表百位. 下圖為該星球的人，觀察并回答 問題：(1)他告訴你，他今天打的獵 物數(shù)量是八,這個數(shù)寫成 十進制的數(shù)是多少？(2)后來你在這個星球見到 了 一只九發(fā)現(xiàn)他們也有符號 相同的計數(shù)方法，他聽說今天很多同類被抓走了，痛苦 的捂住了眼睛 悉.他想知道 今天有多少同類被圖中的怪 物抓走了，你該如何告訴 他？【答案】(1) 137 ; (2)“小出續(xù)【分析】(

11、1)觀察發(fā)現(xiàn)怪物共有8個手 指，可知怪物使用8進制：1 1 8 2 82 = 137(2)觀察可知此怪物用六進制，137= 3, 62 + 4 6+ 5，因 此(137)。= (345則表示方法 應為：篇鐵 t倒取余數(shù)法：6| 1376 22 ,5個6 3 mmh 40 min 3練一練(1) (145)8化成十進制是多 少？(2)十進制的1234化成九進 制是多少？(3) (125方化成八進制是多 少？【答案】101、 1621、 104【分析】(1)(145)8 1 82 4 8 5 : 101(2)1234 = 1 93 6 92 2 9 1,因此(123410 (16219|12349

12、 137 hhh 1 t9 15 huh 29 1 hhh 60 ihh* 1(3)(125)7t 72 2 7 5= 68t 82 4=(104)8例6(d已知六進制的abc化為九進 制后可以寫成薪，那么這個數(shù) 寫成十進制是多少？(2)解方程(aab)8 = (baa)7(3 ) 將三進制數(shù)120120021021112001 化成九進 制.【分析】(1)根據(jù)題意，可以得到不定 方程：36a+ 6b+ c= 81c+ 9b+ a, 化簡得 35a = 80c + 3b;由于35a和80c者b是5的倍數(shù)，推 知b一定是5的倍數(shù)，由于b 6 (六進制)，則b為0或5;若b= 0,則7a = 16

13、c,則a至少 為16,不符合要求；?etb= 5,貝!17a = 16c + 3,當2= 5 時，c= 2,則abc二 552； (552)6 =5 62 5 6 2 : 212.(2 )根據(jù)題意有： 64a+ 8a+ b= 49b+ 7a+ a,化簡 得4a= 3b,由于b 7,故而a=3, b=4.(3)三進制的00,01,02,10,11,12,20,21,221好一一對應九進制的0,123,4,5,6,7,8,0因此，可將三進制從個位起兩位一段依次轉化為九進制：(12012002102112001= (516237461例7(1)在七進制下進行加法：(1235)/(4251)7；(2)

14、在九進制下進行加法：(178)9 + (8803比(3)在二進制下進行加法：(1010111(1110)2.【分析】七進制下滿7進1;九進制下滿進1;二進制下滿2進1;12 3 5+ 4 ： 5 11 7 8 1+ 8 8 0 3（1 d 0，2）（i o i o 7i h+1110 /i r i o o n i練一練哪種進制下，有135、24= 3636成【答案】 七進制【分析】由于有6,至少為七進制，由于 結果比十進制看起來要大，所以 一定少于十進制.分析個位：5, 4 6= 14,可見只 能是七進制.例8(1)艾迪的小店進了 7盒糖果， 每粒糖果重量都應是10克，每 盒有1000粒.收到

15、后，艾迪接到 廠商電話，說有一盒是壞的，每 粒都只有9克，機智的艾迪回答 說：我只用電子稱稱量一次就能 接受挑戰(zhàn)把壞的盒子找出來.那么艾 迪是如何做到的？(2)艾迪的小店又進了 7盒糖 果,每粒糖果重量都應是10克， 每盒有1000粒.收到后，艾迪接 到廠商電話，說有好幾盒是壞的， 壞的盒每粒都只有9克，但廠家 也不知道有幾盒壞了，但是艾迪 回答說：我還是只用電子稱稱量 一次就能把壞的盒子找出來 像, 那么艾迪是如何做到的？(3)艾迪的小店又進了 7盒糖 果,每粒糖果重量都應是10克， 每盒有1000粒.收到后，艾迪接 到廠商電話，說有好幾盒是壞的， 壞的盒每粒都只有9克，更有一 些是有毒的，

16、有毒的盒每粒只有 8克，但廠家也不知道有幾盒壞 了，幾盒有毒。艾迪很憤怒，但 是艾迪回答說：我還是只用電子稱稱量一次就能把壞的盒子找 出來.在那么艾迪是如何做到 的？【分析】(1)艾迪把每盒編號17,分別 對應取 1、2、3、4、5、6、7 粒。 放在一起稱，重量比280少了幾 克，那么第幾盒就是壞的.(2)艾迪把每盒編號17,分別 取 1、 3、 4、 8、 16、 32、 64粒 放在一起稱，這7個數(shù)就是二進 制的 1、10、100、1000、10000、 100000、1000000;如果都沒有 壞的，那么應為12700克；少了 多少克那么就轉換為二進制，得 到的二進制的1所在位上的盒子 就是壞的，比如少了 37克，轉化為二進制就是0100101，即第1、 3、 6 盒是壞的 .（ 3） 艾迪把每盒編號17， 分別取 1、 3、 9、 27、 81、 243、 729粒放在一起稱， 這 7 個數(shù)就是三進制的 1、 10、 100、 1000、 10000、100000、 1000000；如果都沒有壞的，那么應為109300克；少了多少克那么就轉換為三進制，得到的三進制的1 所在位上的盒子就是壞的， 2 所在位就是有毒的。比如少了 38 克，轉化為三進制就是0001102， 即第 3、 4 盒是壞的，第一盒是有毒的。練一練艾迪小店進了 1000瓶水，其中 有一瓶