用不動點法求數(shù)列通項

1、用不動點法求數(shù)列的通項定義：方程f(x) =x的根稱為函數(shù)f(x)的不動點.利用遞推數(shù)列f(x)的不動點，可將某些遞推關系an = f (an)所確定的數(shù)列化為等比數(shù)列或較易求通項的數(shù)列，這種方法稱為不動點法定理1 ：若f(x) =ax+b(a #0,a 01), p是f(x)的不動點，an滿足遞推關系 an = f (ana),(n 1)，則 an - p =a(an,一 p),即an - p是公比為 a 的等比數(shù)列.anb - p =a(an-p)an滿足遞推關系 an = f (an j. ), n 1 ,證明：因為p是f(x)的不動點 .ap b = p二 b p = -ap 由 an

2、 =a an+ b得an - p = a所以an - p是公比為a的等比數(shù)列ax b 定理 2：設 f(x)=(c/0,ad bc=0),cx d初值條件a1=f (a1 )(1)：若f (x)有兩個相異的不動點 p,q ,則電二e = k，亙苴二e(這里k =史上)an -qan-qa -qc(2):若1f (x)只有唯一不動點 p ,則(這里k證明：由ax bf(x)=x得 f(x) = g(1)因為p,q是不動點，所以2 cp2 cqan - p an一 p2=x，所以 cx +(da)x b = 0(d -a) p -b = 0(d - a)q - b = 0pd -bp =-a -

3、pcqd -bq =a - qc所以an - paan 4 bpcan 4 dan -qaan 4 bd qcan(a - pc)an, b pd (a - qc)an, b - qda 一匹a - qcanpd - ba一匹 qd 一 b a i qca - pc an 1 - pa - qc an-1 - q-可編輯修改-an -qan/ -qan/ - p22(2)因為 p是萬程 cx +(d a)x b =0的唯一解，所以 cp +(da)p b = 02a - d所以 b - pd =cp -ap , p =所以2caan i b二 cop2(a -cp)anb - pd (a -c

4、p)anj cp - ap (a - cp)(acan1 dcan j dn- p)所以can j1c(anj - p) - d cpan - pa -cpan 1 pc d cp a-cp a-cpan j - p1 2c and - p a d例2:定理竺，則a d an - p an設an滿足a1 =1,an書數(shù)列an滿足下列關系:3 :設函數(shù)f (x)=2 axan2,nanan的通項公式2 a a1 - 2a, an 1 = 2a - 一 an,a#0,求數(shù)列an的通項公式bx cex f(a =0,e#0)有兩個不同的不動點x1，x2，且由un+= f (un)確定著數(shù)列un,那么

5、當且僅當b = 0,e = 2a時，un+ x1un 1 一 x2/un - x1 2=()un - x2證明：: xk是f(x)的兩個不動點2 ,axkbxk c. r ,、 2.二 xk =即 c xk f = (e -a)xk -bxk (k = 1,2)exkfauau22in +bun +c - x (eq + f)aun +(b- ex)un+c x f-2；， 二 2 二二nbun c - x2(eun f) aun(b - e&)un c - x2 f2 八、aun +(b ex)un/、2,(e-a)x1 - bx122.aun(b-e&)un (e-a)x2 - bx2un

6、 1 -xiun 1 -x2= (u_1)2mun -x222.aun(b -ex1)un (e- a)x1 - bx12 二 一, 2aun(b-ex2)un (e-a)x2 -bx22un2- 2x1un x12 c2un -2x2unx2例3:xix2=02 u n2un2 .卜 b-ex1+(ea)x1 -bx1a nab -ex2- unab -ex1-2xi2.(e - a)x2 - bx2a22n - 2xiun xi2-2n 2x2un x2ab -ex2a- -2x2b 十(2a e)x1 = 0b + (2a -e)x2 = 0二方程組有唯一解b = 0,e = 2aa。2

7、 2已知數(shù)列an中，a1 =2,an噌 =，” n，求數(shù)列an的通項.2an其實不動點法除了解決上面所考慮的求數(shù)列通項的幾種情形，還可以解決如下問題例4：已知a1 0,a1 #1且an書4-2,an 6an 124an (an1)，求數(shù)列an的通項.解：作函數(shù)為x4 6x2 1 幺、工口f (x) =2，解萬程4x(x2 1)f (x) =x得f (x)的不動點為x1 = 一1, x2 - 1 , x3,3. 3i,x4 =i .取p =1,q = 1,作如下代換33an4 6an2 121an 1 1 _ 4an(an1)an 1 -1an4 6an2 1274an(an1)43_2二 an

8、4an6an4an 1一 4 , 3 c 2 ,“an -4an6an - 4an 1an 1an - 1)44n14n -l逐次迭代后，得:an1), (a -1)4n 1-4n -l(a11)-(4 -1)已知曲線cn ：x2 2nx+y2 =0(n =1,2,川).從點p(1,0)向曲線cn弓倒率為(的0)的切線ln ,切點為r(xn, yn) .(1)求數(shù)列2與丫0的通項公式；(2)證明： x1 x3 x5 川 x2n4 a 0（；a（3）記bn =ln（n =12|）,求數(shù)列bn的前n項和sn an13 陜西文 21 .（本小題滿分 12 分）已知數(shù)列an滿足，a=1 a2 =2,an+ 2= an-an-1 ,n n*.2令bn=an書an,證明：bn是等比數(shù)列；（。求an的通項公式。山東文20.（本小題滿分12分）等比數(shù)列an的前n項和為sn,已知對任意的nw n +,點（n,sn）,均在函數(shù)y=b