數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文二次型在微積分中的應(yīng)用

1、莆 田 學(xué) 院畢 業(yè) 論 文 題 目 二次型在微積分中的應(yīng)用 學(xué)生姓名 學(xué) 號(hào) 專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班 級(jí) 數(shù)學(xué)052 指導(dǎo)教師 二00九年五月十日目 錄0引言（1）1二次型在廣義重積分計(jì)算中的應(yīng)用（1）1.1 預(yù)備知識(shí)1（1）1.2 考慮形式為的廣義積分 （4）1.3應(yīng)用（5）2二次型在求多元函數(shù)極值上的應(yīng)用（7）2.1利用海森()矩陣的正定性判斷多元函數(shù)的極值（7）2.2 利用矩陣a的正定性及秩(a)的情況判斷二次多項(xiàng)式的極值 （9）結(jié)束語(yǔ) （10）致謝 （10）注釋 （10）參考文獻(xiàn) （11）二次型在微積分中的應(yīng)用辛慧凡（數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系 指導(dǎo)教師：陳梅香）摘要：二次型是線性代數(shù)的基

2、本內(nèi)容，其用途十分廣泛，而積分上下限皆為無(wú)窮的重廣義積分，在工程技術(shù)等領(lǐng)域中有著重要應(yīng)用，但用變量替換的方法求解這類重積分往往會(huì)比較復(fù)雜，本文將以二次型與正交變換為工具，給出一類特殊重積分的基本計(jì)算公式；其次數(shù)學(xué)中求函數(shù)極值問題的方法有很多種,本文著重研究用二次型矩陣的正定性來(lái)求一種特殊類型的多元函數(shù)的極值，然后討論一般元二次式的極值，給出一種極值的判定和求極值的一般方法關(guān)鍵詞：二次型 正定矩陣 極值 重積分 應(yīng)用abstract：quadratic form is the basic content of linear algebra with a wide application. in

3、fact, n-tuple improper integral plays an important role in engineering technology, but it is quite complicated to solve this kind of problem by variable substitution. this article uses quadratic form and orthogonal transformation as tools to give a calculation formula of this type of integral. secon

4、d, there are many calculations of the function extremum. the paper mainly studies a method to calculate the extreme value of a class of multivariate function by the positive definite of a matrix, then talks about the general condition and gives general method for the decision and calculation of extr

5、eme value.keywords: quadratic form positive definite matrix extreme value n-tuple integral application0 引言 二次型理論已廣泛應(yīng)用于力學(xué)、物理學(xué)以及數(shù)學(xué)的其它分支，如二次型在多元函數(shù)求極值上的應(yīng)用、在重廣義積分計(jì)算上的應(yīng)用因此，二次型理論的思想與方法不僅是高等代數(shù)研究的一個(gè)重要內(nèi)容，也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)其它相關(guān)學(xué)科的基礎(chǔ)在解數(shù)學(xué)題的過程中，大家總是嘗試著尋找更簡(jiǎn)便的方法來(lái)解答，數(shù)學(xué)分析中主要應(yīng)用變量替換求解重積分，這類方法比較復(fù)雜，而通過二次型的理論求解一類特殊的重積分，會(huì)更簡(jiǎn)便另一方面，對(duì)于函數(shù)

6、的極值問題，在所學(xué)的數(shù)學(xué)分析中，已給出了判斷二元函數(shù)在點(diǎn)取極值的充分條件(見文獻(xiàn)1)，但是這種方法對(duì)三元及元的函數(shù)并不適用，但在實(shí)際應(yīng)用問題中更經(jīng)常遇到三元以上函數(shù)的極值問題，現(xiàn)通過討論二次型的正定性，來(lái)探討多元函數(shù)的極值問題 1二次型在廣義重積分計(jì)算中的應(yīng)用1.1預(yù)備知識(shí)11.1.1正定矩陣的判定2：設(shè)是一個(gè)階實(shí)對(duì)稱矩陣，以下條件都是為正定矩陣的充要條件：1) 的特征值都是大于零；2) 的順序主子式都大于零1.1.2 有關(guān)半正定矩陣的若干等價(jià)條件2： 1） 是半正定矩陣；2） 的所有主子式；3） 的特征值1.1.3負(fù)定矩陣的判定3：對(duì)，有，則為負(fù)定矩陣定義13 歐氏空間的線性變換稱為正交變換

7、，若它保持向量的內(nèi)積不變，即對(duì)于任意，都有 定理13設(shè)是歐氏空間的一個(gè)線性變換，于是下面四個(gè)命題是相互等價(jià)的：1) 是正交變換；2) 保持向量的長(zhǎng)度不變，即對(duì)于，；3) 若是標(biāo)準(zhǔn)正交基，那么也是標(biāo)準(zhǔn)正交基；4) 在任一組標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是正交矩陣定理24正交變換不改變向量的夾角，即方向不變定理34正交變換的雅可比()矩陣行列式值之絕對(duì)值等于即若為正交變換，則定理4設(shè)正交變換：若在上連續(xù)，則有證明 因?yàn)槭钦蛔儞Q，所以由定理3知又由三重積分的變量替換(注釋)，故將其推廣至重積分有 得證定理54設(shè)其中，表示矩陣的轉(zhuǎn)置，矩陣的行列式記為若，則經(jīng)過平移，即(其中，) 將成為推論 設(shè) 若，則經(jīng)過平移后

8、成為 ，其中，定理63 任意一個(gè)實(shí)二次型，都可以經(jīng)過正交的線性替換變成平方和其中平方項(xiàng)的系數(shù)就是矩陣的特征多項(xiàng)式的全部的根定理7 若，則通過兩步正交變換（平移與旋轉(zhuǎn)）一定可以化成，其中為矩陣的特征值，且，證明 由推論知，經(jīng)平移后，又由定理6知 ，其中故，得證1.2 計(jì)算如下形式的廣義積分，其中是二次多項(xiàng)式1.2.1 情形一：設(shè)是一個(gè)元二次齊次式，則只需考慮如下形式的重廣義積分：其中是一個(gè)實(shí)二次型，是該實(shí)二次型的系數(shù)矩陣由定理6知，存在正交矩陣，使得其中，則 （1）1） 當(dāng)是正定矩陣時(shí)，都大于零，上式右端的各積分都存在，而由注釋知，故上式右端積分各項(xiàng)的值分別等于又，于是（1）式右端變?yōu)?）當(dāng)是非

9、正定矩陣時(shí)，中會(huì)出現(xiàn)零或負(fù)數(shù)，從而（1）式右端中相應(yīng)于零或負(fù)數(shù)特征值的積分變?yōu)榘l(fā)散，（1）式右端變?yōu)楣视幸韵陆Y(jié)論： ， 1.2.2 情形二：設(shè)1）設(shè) 為正定型，則矩陣為正定矩陣，且，因是正定矩陣，所以的特征值，從而，故由定理7知存在正交變換，使 ,于是由定理得2）當(dāng) 為非正定型時(shí)，類似于情形一的2）知，積分變?yōu)榘l(fā)散則有結(jié)論： 1.3 應(yīng)用例題15計(jì)算解： 因，且，所以由正定矩陣判定的充要條件知，是正定矩陣，又，故根據(jù)（2）式，該廣義積分收斂，且例題25 計(jì)算解：因，且對(duì)，所以由負(fù)定矩陣的定義知，是負(fù)定矩陣故根據(jù)（2）式，該廣義積分發(fā)散的，即例題36 計(jì)算解： 因，且,所以由正定矩陣判定的充要條

10、件知，是正定矩陣，又，故根據(jù)（3）式，該廣義積分收斂，且例題47 計(jì)算積分，其中是正定二次型，是區(qū)域(國(guó)外奧賽)解：（用正交變換）據(jù)定理6知，這里于是原積分由正定，所以再做變換，則，所以2 二次型在求多元函數(shù)極值上的應(yīng)用2.1 利用海森()矩陣的正定性判斷多元函數(shù)的極值2.1.1 預(yù)備知識(shí)2：定義 設(shè)元數(shù)值函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，則稱向量為函數(shù)在點(diǎn)的梯度，記作，即定義 設(shè)元數(shù)值函數(shù)在點(diǎn)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，稱矩陣為函數(shù)在點(diǎn)的海森()矩陣是由個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)構(gòu)成的階實(shí)對(duì)稱矩陣定理 設(shè)函數(shù)在的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，且在該點(diǎn)的梯度，則1）當(dāng)為正定矩陣時(shí)，為的極小值2）當(dāng)為負(fù)定矩陣時(shí)，為的極大值3）當(dāng)為不定

11、矩陣時(shí)，不是的極值2.1.2多元函數(shù)求極值的步驟多元函數(shù)在定義域內(nèi)求極值，可按下述步驟進(jìn)行：1) 令，求出的所有駐點(diǎn)；2) 求出在點(diǎn)的海森()矩陣，判定的正定性：若正定，則在點(diǎn)取得極小值；若負(fù)定，則在點(diǎn)取得極大值2.1.3應(yīng)用例題56 求三元函數(shù)的極值解：，令，得駐點(diǎn)，的各二階偏導(dǎo)數(shù)為：，可得海森()矩陣在處，有矩陣，而的各階順序主子式，則不定，故不是極值點(diǎn)在點(diǎn)處，有矩陣，而的各階順序主子式，則由正定矩陣判定的充要條件知，正定，故是極小值點(diǎn)從而極小值為例題610 某企業(yè)生產(chǎn)兩種商品，總收益，總成本，判斷該企業(yè)是否有最大收益解：利潤(rùn)對(duì)、的一階偏導(dǎo)數(shù)滿足的條件為 得駐點(diǎn),又，則由二階偏導(dǎo)數(shù)組成的矩

12、陣為因?yàn)閷?duì)有，所以為負(fù)定矩陣，則有極大值，即企業(yè)有最大利潤(rùn)，在利潤(rùn)函數(shù)的駐點(diǎn)取得2.2 利用矩陣a的正定性及秩(a)的情況判斷二次多項(xiàng)式的極值2.2.1 定理910 對(duì)實(shí)n元二次多項(xiàng)式,其中所對(duì)應(yīng)的實(shí)對(duì)稱矩陣為 ，秩為r ，作非退化的線性替換x=py，使，把二次型化為只含有平方項(xiàng)的形式，在此變換下：1) a為半正定 若 r= n，則 f存在極小值； 若 r n，一次項(xiàng)所含新變量均在平方項(xiàng)中出現(xiàn)，則 f有極小值； 若 r n，一次項(xiàng)所含新變量至少有一個(gè)不在平方項(xiàng)中出現(xiàn)，則 f不存在極值2) a為半負(fù)定 若 r= n，則 f有極大值； 若 r n，一次項(xiàng)所含新變量均在平方項(xiàng)中出現(xiàn)，則 f有極大值；

13、 若 r n，一次項(xiàng)所含新變量至少有一個(gè)不在平方項(xiàng)中出現(xiàn)，則 f不存在極值證明過程見文獻(xiàn)11 2.2.2 應(yīng)用例題711 判斷是否有極值，若有，請(qǐng)求之解：設(shè)式中的二次型部分所對(duì)應(yīng)的矩陣為，則，由定理6知，存在正交陣(其中)，使得，主對(duì)角線上有一個(gè)零元素，可知，而主對(duì)角線上其余的非零元素全是正數(shù)，故為半正定陣是否存在極值還應(yīng)看替換情形才確定，作線性替換，在此替換下式中的二次型部分變?yōu)?，一次?xiàng)部分由此知一次項(xiàng)所含新字母均在平方項(xiàng)中出現(xiàn)，則由定理9知有極小值存在，對(duì)變換后的多項(xiàng)式進(jìn)行配方得：所以當(dāng)，時(shí)，有極小值將代入式得：當(dāng)，時(shí)，有極小值結(jié)束語(yǔ)：二次型化為只含有平方項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)形是高等代數(shù)中的一個(gè)重要內(nèi)

14、容，本文先利用二次型的化標(biāo)準(zhǔn)形的理論知識(shí)，討論重廣義積分的求解問題，再通過判定二次型矩陣的正定性來(lái)討論多元函數(shù)的極值問題致謝：本課題在選題及研究過程中得到了陳梅香老師的悉心指導(dǎo)在選課題前，陳老師給了我一些建議，使我明確了課題研究的方向和內(nèi)容；在課題研究當(dāng)中，陳老師關(guān)心論文進(jìn)程，幫我查找了些資料，且?guī)椭彝貙捤悸凡⒐膭?lì)我大膽創(chuàng)新在此過程中，陳老師盡職盡責(zé)至此，對(duì)她表示由衷的感謝數(shù)學(xué)系的領(lǐng)導(dǎo)和老師也為我提供了良好的學(xué)習(xí)條件，謹(jǐn)向各位表示誠(chéng)摯敬意和謝忱注釋： 三重積分的變量替換：作變換 且，則 因，令 則，區(qū)域，相應(yīng)地，所以 例題4的解法比文獻(xiàn)6196頁(yè)中利用變量代換的解法簡(jiǎn)單參考文獻(xiàn)：1 陳傳璋等編數(shù)學(xué)分析（第二版）m北京：高等教育出版社，1983年2 李師正高等代數(shù)解題方法與技巧m北京：高等教育出版社，2005年3 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系高等代數(shù)（第二版）m北京：高等教育出版社，1988年4 單滬軍，張光明，孟麗榮二次型在n重廣義積分計(jì)算中的應(yīng)用j工科數(shù)學(xué)，1998，14(4) ：173-1755 姚云飛論二次型與正交變換在重積分中的某些應(yīng)用j工科數(shù)學(xué)，2002：12，8(6) ：90-926 黃定暉，周學(xué)圣編演吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集解（六）m濟(jì)南：山東科技出版社