用頻率估計概率

1、用頻率估計概率教學設計一. 指導思想和理論依據(jù)義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）中，對第三學段（79年級）的學 生要求“知道通過大量的重復試驗，可以用頻率來估計概率”.在10個核心概念中明確提出“數(shù)據(jù)分析觀念”，并將“數(shù)據(jù)隨機”作為數(shù)據(jù)分析觀念的內(nèi)涵之一 數(shù)據(jù)的隨機性主要有兩層含義：一方面，對于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能 會是不同的；另一方面，只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律.這正是概率的大數(shù)屬性和小數(shù)屬性，而概率這一概念正是建立在頻率這一統(tǒng)計量的穩(wěn)定性基礎 之上的.美國教育心理學家布魯姆將教育目標劃分為認知領域、情感領域和操作領域 三個領域，共同構(gòu)成教學目標體系本節(jié)課的目標設置依據(jù)于

2、此從三個層面展開， 一方面獲得對概率大數(shù)屬性和小數(shù)屬性的認知，另一方面在活動中獲得概率的統(tǒng) 計定義和活動經(jīng)驗，并且進一步培養(yǎng)隨機意識 .二. 教學背景1教學內(nèi)容分析札抽樣f 抽樣J-、-t 4- -I等U血彳聲可能2. 學生情況分析本節(jié)課的教學對象是北京二中分校實驗班的學生，他們思維活躍，學習能力較強，數(shù)學基礎較好，學習數(shù)學的興趣濃厚，有解決數(shù)學問題的愿望在課程標準中，要求學生在第二學段（46年級）能夠在具體情境中，通過 實例感受簡單的隨機現(xiàn)象，能列出簡單的隨機現(xiàn)象中所有可能發(fā)生的結(jié)果， 也能 感受到隨機現(xiàn)象結(jié)果的發(fā)生的可能性是有大小的， 能對一些簡單隨機現(xiàn)象發(fā)生的 可能性大小作出定性描述.在

3、七年級和八年級的學習中，學生會收集數(shù)據(jù)和整理數(shù)據(jù)，能用統(tǒng)計圖或統(tǒng) 計表直觀、有效地描述數(shù)據(jù)，體會了刻畫數(shù)據(jù)離散程度的意義， 通過實例了解頻 數(shù)和頻數(shù)分布的意義，通過表格、折線圖、趨勢圖等，感受隨機現(xiàn)象的變化趨勢.通過前兩節(jié)課的學習，學生能通過列表、畫樹狀圖等方法列出簡單隨機事件 所有可能的結(jié)果，以及指定事件發(fā)生的所有可能結(jié)果，了解事件的概率 為了了 解學生的已有知識要素或技能的認知水平，在課前對 34名學生做了如下前測.題目正確率1拋擲一個骰子，請問可能的結(jié)果都有哪些？100%2拋擲一枚硬幣，請冋正面向上的概率是多少？97.1% n3.判斷正誤：天氣預報降水概率為90%說明明天一定下雨.100

4、%4.從蔬菜大棚中收集到20株西紅柿秧上小西紅柿的個數(shù)：28、62、54、29、32、47、68、27、55、43、36、79、46、54、25、82、16、39、32、64.請問個數(shù)x滿足20 X 30的頻數(shù)是多 少？它的頻率又是多少？97.1%調(diào)查中還出現(xiàn)了一些比較有趣的回答， 比如學生在拿到試題后問“幾面的骰 子？ 6面的還是7面的還是8面的？” “哪個國家的硬幣？ ”在答案中還有學生 寫到“骰子六面重力相等的情況下”、“立在兩面中間，卡在角上立起”、“摔碎”、 “受力停不下來”第二題一位同學答案是“ 1 （還有可能是側(cè)立，據(jù)統(tǒng)計實4際上是反面多”也有人寫“理想狀態(tài)，即忽略側(cè)面立住情況”

5、、“根據(jù)厚度有可能 立在桌上” 結(jié)論：通過前測不難看出，學生對課標要求的已學知識掌握情況良好，而且發(fā)散性思維非常強但是對于每個可能的結(jié)果不具備“等可能性”這個條件的隨機事件學生不清 楚該如何處理，因此需要教師引導為了解學生對用頻率估計概率的理解程度， 還對已學完該部分內(nèi)容的39名九年級學生做了一下測試.(1) 拋擲一枚硬幣正面向上和拋擲一個礦泉水瓶蓋凹面向上的概率是一樣 的嗎？答題情況：36位同學回答“不是”，3位同學回答“是”，正確率92.3%.(2) 在某次試驗數(shù)據(jù)整理過程中，某個事件發(fā)生的頻率情況如下表所示.試驗次數(shù)105010020050010002000事件發(fā)生的頻率0.2450.2

6、480.2510.2530.2490.2520.251估計這個事件發(fā)生的概率是精確到0.01)答題情況：正確率100%.(3) 用頻率估計概率的條件是什么？答題情況： 有16人次能寫出“試驗次數(shù)多” ，16人次能寫出“頻率集中、 相差較小、浮動較小”，6人次學生能明確寫出因為頻率“穩(wěn)定”在一個數(shù)附近 . 然而除此以外39名學生中還有11名學生不知道條件是什么，或者回答完全不對.結(jié)論：通過測試可以看出學生知道如何利用一組現(xiàn)成的頻率去估計概率，但是對于頻率估計概率的條件并不是完全掌握所以需要通過試驗，用數(shù)據(jù)說話， 讓學生切實地感受到大量重復試驗頻率的穩(wěn)定性 3. 教學方式教師啟發(fā)引導與學生自主探究

7、相結(jié)合，采用動手試驗的教學模式4. 教學手段多媒體與實物輔助教學三. 教學目標及教學重難點1教學目標：(1) 知識與技能：在具體情境中，體會隨機事件發(fā)生的隨機性，知道通過 大量重復試驗，隨機事件的頻率具有穩(wěn)定性.知道可以用這種呈現(xiàn)穩(wěn)定性的頻率 來估計概率(2) 過程與方法：在動手操作中感受隨著試驗次數(shù)的增多，通過親身實踐 感受到頻率的“穩(wěn)定性” (3) 情感態(tài)度與價值觀：在經(jīng)歷學習過程中，培養(yǎng)學生的動手能力、處理 數(shù)據(jù)的能力，進一步增強統(tǒng)計意識，發(fā)展隨機觀念，同時培養(yǎng)學生勇于探索的精 神及協(xié)作交流意識.2.教學重難點(1) 教學重點：會用呈現(xiàn)穩(wěn)定性的頻率估計概率(2) 教學難點：知道通過大量重

8、復試驗，隨機事件的頻率具有穩(wěn)定性.四. 教學過程1. 創(chuàng)設情境，引入新知本環(huán)節(jié)計劃達成的目標在實際情境中感受用頻率估計概率的必要性本環(huán)節(jié)教學安排2016年6月16日，上海迪士尼樂園開園，利用假期時間，小明和媽媽一起來迪斯尼游玩一到現(xiàn)場才發(fā)現(xiàn)，人實在是太多了，每個項目都需要排隊第一個項目小明想玩“飛越地平線”，媽媽怕一開始就把衣服弄濕，想讓先玩“小飛俠天空之旅”，商量不決，于是倆人想拋硬幣來決定問題1:拋擲一枚硬幣正面向上是一個什么事件？它發(fā)生的概率是多大？ 這種方法公平嗎？這時小明看到了手里的礦泉水瓶子，靈機一動想耍一個小聰明，他說“要不 然咱們拋瓶蓋吧，凹面向上就聽我的，凹面向下就聽您的”。

9、媽媽一下子就明白了小明的小心思，但是媽媽想“你以為換成瓶蓋你獲勝的可能性就比我大嗎？” 于是媽媽就答應了小明的提議問題2:拋擲一個瓶蓋可能的結(jié)果都有哪些？凹面向上和凹面向下的可能性相等嗎？問題3:拋擲一個瓶蓋凹面向上的概率是多少？還能用剛才的公式計算嗎？設計意圖在情境中調(diào)動學生探索問題的積極性，感受引入新方法的必要性通過前兩 節(jié)的學習，學生對用概率公式 P（A） m或用列舉法求概率比較熟悉，用起來也n比較方便，但是這兩種方法都適用于每種可能的結(jié)果具有“等可能性”，對于不具備“等可能性”的隨機事件并沒有求其概率的方法而用頻率估計概率是概率的統(tǒng)計定義，是應用范圍更廣的一個方法，從不具備等可能性的隨

10、機事件引出， 使學生感受到其必要性.2. 經(jīng)歷過程，探究新知本環(huán)節(jié)計劃達成的目標在親身實踐、動手操作中感受到，經(jīng)過大量重復試驗，隨機事件的頻率具有穩(wěn)定性，可以用這種呈現(xiàn)穩(wěn)定性的頻率來估計概率 本環(huán)節(jié)教學安排（在問題3中引導學生得出結(jié)論：不妨做試驗看看.但是提醒學生注意做試 驗得到的是頻率.）問題4：隨機事件的頻率和概率有關系嗎？不妨回到拋擲硬幣來驗證一下活動一：全班同學2人一組拋擲硬幣，一人試驗一人記錄，共同完成試驗 .拋擲次數(shù)（n ）“正面向上”次數(shù)（m）“正面向 上”頻率（口）n10表格（1）1問題5:觀察你的試驗數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？頻率是 -嗎？為什么會有這樣2大的差異？小結(jié)：當試驗次數(shù)

11、較少時，事件 A發(fā)生的頻率具有一定的隨機性由于每次試驗是互相獨立地做重復試驗， 各個硬幣之間的差別忽略不計，下 面我們不妨把各組試驗結(jié)果匯總一下，加在一起，看看又會出現(xiàn)怎樣的情況將學生的試驗數(shù)據(jù)匯總錄入 EXCE表格.120.0%100.0%80.0%60.0%40.0%20.0%0.0%SrShFlil ll【腔艸崽!皿側(cè)盟烈即本組頻率累計頻率丁椚艸I pi卩I200400600800 1000 1200問題6：觀察這組試驗數(shù)據(jù)，你又發(fā)現(xiàn)了什么？小結(jié)：隨著試驗次數(shù)的增加，事件 A發(fā)生的頻率具有一定的穩(wěn)定性由于試驗次數(shù)有限，所以不妨來看一些著名的數(shù)學家的試驗結(jié)果試驗者拋擲次數(shù)（n ）“正面向上

12、”次數(shù)（m）“正面向上”頻率（口）n棣莫弗204810610.518布豐404020480.5069費勒1000049790.4979皮爾遜1200060190.5016皮爾遜24000120120.5005問題7：這組逐漸呈現(xiàn)穩(wěn)定性的頻率和用概率公式計算的概率之間有什么關系呢?小結(jié)：一般地，在大量重復試驗中，如果事件 A發(fā)生的頻率m穩(wěn)定于某個n常數(shù)p，那么事件A發(fā)生的概率P A p.設計意圖通過拋擲硬幣試驗，讓學生感受到隨機事件的少量試驗的隨機性和大量試驗 的規(guī)律性.通過大量試驗頻率和概率的對比知道可以用這種呈現(xiàn)規(guī)律性的頻率來 估計概率.3發(fā)展認知，深入應用本環(huán)節(jié)計劃達成的目標會用頻率估計概

13、率.本環(huán)節(jié)教學安排頻率是試驗數(shù)據(jù)，會隨著試驗次數(shù)的改變而改變，概率是事件的固有屬性， 不會隨試驗的改變而改變.但當試驗次數(shù)較少時，頻率和概率的差異較大，試驗 次數(shù)越來越多時，頻率便越來越穩(wěn)定于概率.問題8:你會用頻率估計概率的方法求瓶蓋凹面向上的概率嗎？活動二：全班同學2人一組拋擲瓶蓋，一人試驗一人記錄，共同完成試驗.其 中一半同學拋擲窄口硬幣，一半同學拋擲寬口硬幣 .拋擲次數(shù)累計拋擲次數(shù)“凹面向上”次數(shù)累計“凹面向上”次數(shù)“凹面向下”次數(shù)累計“凹面向下”次數(shù)累計“凹面向上”頻率累計“凹面向下”頻率101010201030呈現(xiàn)一位同學的學案.問題9：可以用這組數(shù)據(jù)來估計凹面向上的概率嗎？為什么

14、?設計意圖感受到不是所有的頻率都可以用來估計概率再次讓學生感受到頻率呈現(xiàn)“穩(wěn)定性”的重要性.由于每種瓶蓋都是同一箱礦泉水的瓶蓋，所以假設它們是相同的，那么我們 不妨把幾組的數(shù)據(jù)分別加在一起，再來看看會有什么樣的結(jié)果教師用計算機展示，整理數(shù)據(jù)并制圖觀察頻率是否具有穩(wěn)定性，能否估計凹面向上和凹面向下的概率？這種方法 公平嗎？小明的小伎倆得逞了嗎？問題10：用頻率估計概率，和用概率公式 P A m來求概率，它們各自的n優(yōu)點和劣勢各是什么？小結(jié)：用概率公式求概率計算簡單，但局限于求等可能事件的概率；用頻 率估計概率試驗麻煩，但適用于求所有隨機事件的概率 4. 隨堂練習，鞏固新知練習1.在某次試驗數(shù)據(jù)整

15、理過程中，某個事件發(fā)生的頻率情況如下表所示.試驗次數(shù)105010020050010002000事件發(fā)生的頻率0.2450.2480.2510.2530.2490.2520.251估計這個事件發(fā)生的概率是精確到0.01)練習2.在對某次實驗數(shù)據(jù)整理過程中，某個事件出現(xiàn)的頻率隨實驗次數(shù)變化折線圖如圖所示，這個圖形中折線的變化特點是 試舉一個大致符合這個特點的事件的例子 .結(jié)果設計意圖通過對練習1的表格和練習2的圖象的觀察，使學生明白這種具有穩(wěn)定性的頻率是可以用來估計概率的5. 課堂小結(jié)，布置作業(yè)（1）課堂小結(jié)知識內(nèi)容：當試驗次數(shù)較少時，事件 A發(fā)生的頻率具有一定的隨機性.隨著試驗次數(shù)的增加，事件A

16、發(fā)生的頻率具有一定的穩(wěn)定性.在大量重復試驗中，如果事件 A發(fā)生的頻率m穩(wěn)定于某個常數(shù)p，那么可 n以用頻率估計概率，事件 A發(fā)生的概率P A p.過程方法：試驗是解決問題的好方法，在試驗過程中，統(tǒng)計非常有用.（2）布置作業(yè)必做：課本146頁習題25.3第3、4選做：課本147頁實驗與探究五. 教學效果評價設計本節(jié)課采取過程性評價的方式，在課堂上設計了多個活動環(huán)節(jié)，從以下幾個 方面關注學生的參與情況：1. 參與活動試驗的態(tài)度與表現(xiàn)；2. 在每個環(huán)節(jié)對問題進行思考、分析、回答的表現(xiàn)；3. 對活動進行思考，并提出自己問題和想法的表現(xiàn)；4. 合作交流的態(tài)度和及能力表現(xiàn).六. 教學設計特色說明與教學反思

17、1. 教學設計特色說明（1）理解概率的本質(zhì).數(shù)學中的概率到底是什么？它是介紹隨機現(xiàn)象的一門學科，學習概率能夠幫助學生更好地認識隨機現(xiàn)象，建立隨機觀念，它不同于以往的確定性數(shù)學.那么要想講清楚什么是概率，就要先讓學生感受到隨機事件的 大數(shù)屬性和小數(shù)屬性.本節(jié)課通過拋擲硬幣和拋擲瓶蓋活動讓學生真切的感受概率的定義和內(nèi)涵，而不是簡單地關注概率的計算 .（2） 理解學生.通過摸棋子活動讓學生獲得對概率的認知，跟學生動起來. 在師生積極參與、交往互動、共同發(fā)展的過程中獲得知識， 讓學生在動手中動腦， 在動腦中加深對動手活動的理解， 活動的設計不浮于表面， 而是試圖真正引起學 生的數(shù)學思考 .（3）理解中學中的概率教學 . 首先學生為什么要學概率？不學概率行不行？ 學習概率一方面是因為概率是有用的， 但另一方面更重要的是它有助于對學生數(shù) 學思維的培養(yǎng)， 一種區(qū)別于確定性數(shù)學對思維的培養(yǎng)， 也是一種數(shù)學活動經(jīng)驗的 積累.其次那么為什么要做試驗？不做試驗行不行？本節(jié)課的拋擲硬幣和拋擲瓶 蓋試驗主要有三層方面的意義