第二章軸向拉伸和壓縮

1、第二章軸向拉伸和壓縮 2 - 1軸向拉伸和壓縮的概念軸向拉伸或軸向壓縮變形是桿件基本變形之一。軸向拉伸或壓縮變形的受力及變形特點是：桿件受一對平衡力 F的作用（圖2 - 1），它們的作用線與桿件的軸線重合。若作用力F屋架桿圖6-3r1圖2- 3拉伸桿件（圖2 - 1）則為軸向拉伸，此時桿被 拉長（圖2 - 1虛線）;若作用力F壓縮桿件（圖 2 - 2）則為軸向壓縮，此時桿將縮短 （圖2 - 2 虛線）。軸向拉伸或壓縮也稱簡單拉伸或壓 縮，或簡稱為拉伸或壓縮。工程中許多構(gòu)件， 如單層廠房結(jié)構(gòu)中的屋架桿 （圖2 - 3）、各類 網(wǎng)架結(jié)構(gòu)的桿件（圖2 - 4）等，這類結(jié)構(gòu)的構(gòu) 件由荷載引起的內(nèi)力其作

2、用線與軸線重合， 桿件發(fā)生軸向拉伸或壓縮。種連接方式，如果不考慮其端部的具體連接情況,軸向拉伸或壓縮的桿件的端部可以有各 其計算簡圖均可簡化為圖 2- 1和圖2-2。圖2-4 2 - 2 內(nèi)力截面法軸力及軸力圖nI m衡狀態(tài)，故截開后各部分仍應(yīng)維持平衡。一、橫截面上的內(nèi)力軸力圖2 - 5a所示的桿件求解橫截面 m-m的內(nèi)力。按截面法求解步驟有：可在 此截面處假想將桿截斷，保留左部分或右 部分為脫離體，移去部分對保留部分的作 用，用內(nèi)力來代替，其合力Fn,如圖2- 5b 或圖2- 5c所示。對于留下部分I來說，截面m - m上的內(nèi)力Fn就成為外力。由于原直桿處于平 根據(jù)保留部分的平衡條件得(a)

3、(b)(c)二 Fx = 0,Fn - F = 0, Fn = Fm - m上的內(nèi)力，其作用線也與桿的軸線重合，即垂直于橫截面(2-1)式中，F(xiàn)n為桿件任一截面圖2-6(a)(b)(c)并通過其形心，故稱這種內(nèi)力為軸力，用符號Fn表示。若取部分n為脫離體，則由作用與反 作用原理可知，部分n截開面上的軸力與 前述部分上的軸力數(shù)值相等而方向相反 （圖2 - 5b,c）。同樣也可以從脫離體的平衡 條件來確定。二、軸力圖當(dāng)桿受多個軸向外力作用時，如圖2 - 7a,求軸力時須分段進行，因為AB段B 2F(a)Fn im )(b)B 2F(c)FNnn(d)的軸力與BC段的軸力不相同。m - m處將桿截開

4、，設(shè)取左段是，根據(jù)平衡條件刀Fx= 0，有要求AB段桿內(nèi)某截面 m- m的軸力，則假想用一平面沿為脫離體（圖2- 7b），以Fn i代表該截面上的軸力。于旦負(fù)號表示的方向與所設(shè)的方向相反， 處將桿截開，仍取左段為脫離體（圖 衡條件刀Fx= 0，有Fni F即為壓力。要求BC段桿內(nèi)某截面n-n的軸力，則在n - n2 - 7c）,以Fn n代表該截面上的軸力。于是，根據(jù)平FNn 一 2F F =0由此得Fnh = F在多個力作用時，由于各段桿軸力的大小及正負(fù)號各異，所以為了形象地表明各截面軸力的變化情況，通常將其繪成“ 軸力圖”（圖2- 7d）。作法是：以桿的端點為坐標(biāo)原點，取 平行桿軸線的坐標(biāo)

5、軸為 x軸，稱為基線，其值代表截面位置，取Fn軸為縱坐標(biāo)軸，其值代表對應(yīng)截面的軸力值。正值繪在基線上方，負(fù)值繪在基線下方，如圖2 - 7d所示。例題2-1 等直桿及其受力情況如圖 a所示，試作桿的軸力圖。(a)55kN 25kN40kN20kNB C300500 D-400 E(b)I-*140kN2)55kN25kN4 - ABCDE600Fr20kN）423(c)(d)(e)(f)14FN4)n25kNFn圖(kN)FN350)20kN)20kN例題2- 1圖解：首先對桿件進行受力分析，求出支反力Fr （圖b）。由整個桿的平衡方程 Fx =0,- Fr -40 55-25 20 = 0得F

6、r =10kN在求AB段內(nèi)任一截面上的軸力時，在任一截面1-1處截斷，取左段為脫離體（圖 c）,并設(shè)軸力Fn1為拉力。由平衡方程求出：Fn1 = Fr =10kN其結(jié)果為正值，故 Fn1為拉力。同理，可求得BC段任一截面上的軸力（圖 d）為FN2 = Fr 4 = 50kN在求CD段內(nèi)的軸力時，將桿截開后宜取右段為脫離體，因為右段桿比左段桿上包含的外力較少，并設(shè)軸力 Fn 3為拉力（圖e）。由 Fx =0,_FN3 _25 20 =0Fn3 = -5kN結(jié)果為負(fù)值，說明原假定的Fn 3的指向與實際相反，應(yīng)為壓力。同理，可得DE段內(nèi)任一橫截面上的軸力 Fn 4為Fn4 二 F4 二 20kN按軸

7、力圖作圖規(guī)則，作出桿的軸力圖f。Fn max發(fā)生在BC段內(nèi)的任一橫截面上，其值為 50 kN。 2 - 3應(yīng)力拉（壓）桿內(nèi)的應(yīng)力、拉（壓）桿橫截面上的應(yīng)力如圖2- 8a,為一等截面直桿，假定在未受力前在該桿側(cè)面作相鄰的兩條橫向線ab和cd,然后使桿受拉力 F作用（圖6-8 b）發(fā)生變形，并可觀察到兩橫向線平移到 a b和c d的 位置且仍垂直于軸線。這一現(xiàn)象說明：桿件的任一橫截面上各點的變形是相同的，即變形前是平面的橫截面，變形后仍保持為平面且仍垂直于桿的軸線，稱為平面假設(shè)。根據(jù)這一假設(shè)，橫截面上所有各點受力FmFb d(T(d)圖2- 8相同，內(nèi)力均勻分布，內(nèi)力分布集度為常量， 即橫截面上各

8、點處的正應(yīng)力t相等（見圖2 - 8c、d）。由靜力學(xué)求合力的概念FnodA = t dA = （AN 、AA即拉壓桿橫截面上正應(yīng)力T計算公式FnT -A（2-2）式中，F(xiàn)n為軸力；A為桿的橫截面面積。由 式（2- 2）知，正應(yīng)力的正負(fù)號取決于軸力 的正負(fù)號，若Fn為拉力，則t為拉應(yīng)力，若 Fn為壓力，則 t為壓應(yīng)力，并規(guī)定拉應(yīng)力為 正，壓應(yīng)力為負(fù)。例題2-2 圖a所示橫截面為正方形的磚柱分上、下兩段，柱頂受軸向壓力F作用。上段柱重為 Gj，下段柱重為 G2。已知：F = 10kN , G1 = 2.5kN , G2 = 1OkN，求上、下段柱 的底截面a - a和b - b上的應(yīng)力。解：（1）

9、先分別求出截面a- a和b - b的軸力。為此應(yīng)用截面法，假想用平面在截面 a - a 和b- b處截開，取上部為脫離體 （圖b、c）。根據(jù)平衡條件可求得：截面a - a： Fy =0,FNa =F -Gi =10-2.5 = T2.5kN負(fù)號表示壓力。截面b- b： Fy =0,Fn-3F -GG-3 10-2.5-10 =42.5kN負(fù)號表示壓力。（2）求應(yīng)力，由式（6 - 2）Fn(T-分別將截面截面a - a：Aa - a和b- b的軸力Fn a、Fn b和面積Aa、Ab代入，得毎=FNa12.5 102.17 105Pa 二 0.217MPaAa0.24 0.24負(fù)號表示壓應(yīng)力。F(

10、a)FGiF N aG2 1Gia a(b)Fn bb b(c)截面b- b:ob負(fù)號表示壓應(yīng)力。例題2- 2圖3FNb 一42.5 103.10 io5Pa 0.310MPa0.37 0.37Ab 2 - 4拉壓桿的變形胡克定律實驗表明，桿件在軸向拉力或壓力的作用下, 向(與軸線垂真的方向)必發(fā)生縮短或伸長，如圖 的形狀，虛線為變形后的形狀。設(shè)I與d分別為桿件變形前的長度和直徑，沿軸線方向?qū)l(fā)生伸長或縮短同時，橫2- 10、2-11所示，圖中實線為變形前l(fā)i與d1為變形后的長度與直徑，則變形后的圖 2 - 10圖 2-11長度改變量 I和直徑改變量 d將分別為I =1廠1d=a-d(b) l

11、和厶d稱為桿件的 絕對縱向和橫向伸長或縮短，即總的伸長量或縮短量。其單位為m或 mm。桿的變形程度用每單位長度的伸長來表示，即絕對伸長量除以桿件的初始尺寸，稱為 線應(yīng)變，并用符號&表示。對軸力為常量的等直桿，其縱、橫方向的線應(yīng)變分別為I =I(2-5)d 二d為縱向線應(yīng)變。/為橫向線應(yīng)變。它們都是量綱為一的量。(2-6)規(guī)定， I和厶d伸長為正，縮短為負(fù)；和的正負(fù)號分別與厶I和厶d 一致，因此規(guī) 定：拉應(yīng)變?yōu)檎?，壓?yīng)變?yōu)樨?fù)。實驗表明，在彈性變形范圍內(nèi)，桿件的伸長I與力F及桿長I成正比，與截面面積 A成反比，即FII氏A(c)引進比例常數(shù)E,則有FlI=EA(2 8)由于F = Fn，故上式可改

12、寫為FnIIEA(2-9)這一關(guān)系式稱為 胡克定律。式中的比例常數(shù)E稱為彈性模量，其單位為Pa。EA稱為桿的抗拉（壓）剛度。將式（2 9）改寫成1 FnIE A(d)Fn（T=I= 由于 IA代入，可得(T(2- 10)此式表明，在彈性變形范圍內(nèi)，應(yīng)力與應(yīng)變成正比。式（2-8)、(2 - 9 )、(2 - 10)均稱為胡克定律。實驗結(jié)果表明，在彈性變形范圍內(nèi)，橫向線應(yīng)變與縱向線應(yīng)變之間保持一定的比例關(guān)系, 以v代表它們的比值之絕對值v稱為泊松比，它是量綱為一的常數(shù)，其值隨材料而異，可由實驗測定。 考慮到縱向線應(yīng)變與橫向線應(yīng)變的正負(fù)號恒相反，故有 - _ V(2 -11)(2 -12)彈性模量E

13、和泊松比v都是材料的彈性常數(shù)。例題2-4圖示一等直鋼桿， 材料的彈性模量 E = 210GPa。試計算：每段的伸長; （2）每段的線應(yīng)變；（3）全桿總伸長。解：（1）求出各段軸力，并作軸力圖（圖（b）。（2） AB段的伸長 Iab。由式（2- 9）得 AB35 102EA9210 109n 10210*=0.000607m 二 0.607mmBC段的伸長: BC =FNBC l BC3-5 102CD段的伸長:CDEAFNCD l CD210 109 n 102 忙5 103 2二6.07 10 m =4二 6.07 10 m 二EA45kN210 109 n 102 10”(a)軸力圖ae5

14、kN5kN例題2- 4圖I ABBC段的線應(yīng)變:CD段的線應(yīng)變:1 AB BC1 BC-0.607 mm0.607mm(b)007=3.035 10-4俺竺一3.035計cd .000607 =3.035 10一4lCD(4)全桿總伸長:拉(壓)桿任意核截面上的應(yīng)力(r(x)和全桿的變l ad = l ab l bc l cd = 0 607 一 0.607 0.607 = 0.607 mm在軸力和橫截面均沿軸線變化的情況下, 形厶I可按下面的公式計算：Fn(x)W A(x)0 EA dx 2-6材料在拉伸和壓縮時的力學(xué)性能、低碳鋼拉伸時的力學(xué)性能1 .試件圖 2- 12把低碳鋼制成一定尺寸的

15、桿件， 稱為試件。在進行拉伸試驗時，應(yīng)將材料做成標(biāo)準(zhǔn)試件， 如圖2- 12所示，取試件中間I長的一段（應(yīng)是等直桿）作為測量變形的計算長度 （或工作長 度），稱為標(biāo)矩。通常對圓截面標(biāo)準(zhǔn)試件的標(biāo)距I與其橫截面直徑d的比值加以規(guī)定，I = 10d或 I = 5d。2 試驗設(shè)備 通常使用的設(shè)備稱為 萬能試驗機，其基本工作原理是通過試驗機夾頭或承壓平臺的位 移，使放在其中的試件發(fā)生變形，在試V出n對應(yīng)截面V對應(yīng)頸縮截面驗機的示力盤上則指示出試件的抗力。3. 低碳鋼試件的應(yīng)力一應(yīng)變曲線 及其力學(xué)性能圖2- 13所示為低碳鋼試件的拉 伸圖，描述了荷載與變形間的關(guān)系。圖2- 14表示的（T- &曲線是根據(jù) 圖

16、2 - 13而得的，其縱坐標(biāo)實質(zhì)上是名 義應(yīng)力，并不是橫截面上的實際應(yīng)力。我們對低碳鋼拉伸試驗所得到的d-&曲線（圖2 - 14）進行研究，大致可 分為以下四個階段。圖 2- 13試件將恢復(fù)其原長，因此稱這一階段為彈性階段。第I階段一一彈性階段試件的變形完全是彈性的，全部卸除荷載后，在彈性階段內(nèi)，A點是應(yīng)力與應(yīng)變成正比即符合胡克定律的最高限，與之對應(yīng)的應(yīng)力則稱為材料的比例極限，用dp表示。彈性階段的最高點 B是卸載后不發(fā)生塑性變形的極限， 而與之對應(yīng)的應(yīng)力則稱為材料的 彈性極限，并以d表示。第n階段一一屈服階段超過彈性極限以后，應(yīng)力d有幅度不大的波動，應(yīng)變急劇地增加，這一現(xiàn)象通常稱為 屈服或流

17、動，這一階段則稱為屈服階段或流動階段。在此階段，試件表面上將可看到大約與試件軸線成45方向的條紋，它們是由于材料沿試件的最大切應(yīng)力面發(fā)生滑移而出現(xiàn)的，故通常稱為 滑移線。在屈服階段里，其最高點 C的應(yīng)力稱為上屈服極限，而最低點D的應(yīng)力則稱為下屈服極限（圖2- 14）,上屈服極限的數(shù)值不穩(wěn)定，而屈服低限值則較為穩(wěn)定。因此，通常將下 屈服極限稱為材料的屈服極限或流動極限，并以d表示。第川階段一一強化階段應(yīng)力經(jīng)過屈服階段后，由于材料在塑性變形過程中不斷發(fā)生強化，使試件主要產(chǎn)生塑性變形，且比在彈性階段內(nèi)變形大得多，可以較明顯地看到整個試件的橫向尺寸在縮小。因此，這一階段稱為強化階段。d- &曲線中的G

18、是該階段的最高點，即試件中的名義應(yīng)力達(dá)到了最大值，G點的名義應(yīng)力稱為材料的 強度極限，以d表示。第IV階段一一局部變形階段當(dāng)應(yīng)力達(dá)到強度極限后，試件某一段內(nèi)的橫截面面積顯著地收縮，出現(xiàn)如圖2 - 13所示的“頸縮”現(xiàn)象。頸縮出現(xiàn)后，使試件繼續(xù)變形所需的拉力 減小，應(yīng)力一應(yīng)變曲線相應(yīng)呈現(xiàn)下降，最后導(dǎo)致試件在頸縮處斷裂。對低碳鋼來講，屈服極限 d和強度極限d是衡量材料強度的兩個重要指標(biāo)。為了衡量材料塑性性質(zhì)的好壞，通常以試樣斷裂后標(biāo)距的殘余伸長量 ll （即塑性伸長），與標(biāo)距I的比值3（表成百分?jǐn)?shù)）來表示：3=1 100%I3稱為伸長率，低碳鋼的3= 20%30%。此值的大小表示材料在拉斷前能發(fā)生

19、的最大的塑性 變形程度，它是衡量材料塑性的一個重要指標(biāo)。工程上，一般將 3 5%的材料定為脆性材料。另一個衡量塑性性質(zhì)好壞的指標(biāo)是：式中Ai是拉斷后頸縮處的截面面積,A _ A n/ 1 100%AA是變形前標(biāo)距范圍內(nèi)的截面面積，2稱為斷面收縮率，低碳鋼的片60 % 70 %。如果卸載后立即重新加載，則應(yīng)力一應(yīng)變之間基 本上仍遵循著卸載時的同一直線關(guān)系，一直到開始卸 載時的應(yīng)力為止。然后則大體上遵循著原來的應(yīng)力一 應(yīng)變曲線關(guān)系。此時，其屈服極限得到提高，但其塑 性變形將減少，這一現(xiàn)象通常稱為材料的冷作硬化。若試件拉伸至強化階段后卸載，經(jīng)過一段時間后 再重新加載，則其屈服極限將進一步提高，強度極

20、限 也將提高，其伸長率將降低，如圖2 - 15中實線cb所示。這種現(xiàn)象稱為材料的 冷作時效。冷作時效使材料 的強度提高，塑性降低。0.2%圖 2- 16低碳鋼在（T- 曲線上相似，它們與 強度極限部顯著地提高了，而屈服 對于沒有明顯屈服階段的 取塑性應(yīng)變?yōu)?0.2 %時所對應(yīng)的應(yīng) 以p0.2表示（圖2-16）。圖2 - 17所示的就是脆性材料 曲線。一般來說，脆性材料在受拉 不會發(fā)生頸縮現(xiàn)象。其斷裂時的應(yīng) 是衡量脆性材料拉伸強度的唯一指圖 2- 1716錳鋼以及另外一些 高強度低合金鋼等材料與 低碳鋼相比，屈服極限和 階段稍短且伸長率略低。 塑性材料，國家標(biāo)淮規(guī)定， 力值作為名義屈服極限， 灰

21、口鑄鐵在拉伸時的 （T- 過程中沒有屈服階段，也 力即為拉伸強度極限，它 標(biāo)。三、低碳鋼及其它材料壓縮時的力學(xué)性質(zhì)用金屬材料作壓縮試驗時，試件一般作成短圓柱形， 長度為直徑的1.5 3倍。如圖2 - 18a所示。圖2 - 19示低碳鋼壓縮時的 丁 &圖。低碳鋼試件的壓縮強 度極限無法測定。如圖 2 - 18b所示。(a)(b)圖 2- 18圖2- 20 a和b中繪出兩種典型脆性材料一一鑄鐵和混凝 土壓縮時的（T- 曲線。二、其它幾種材料在拉伸時的力學(xué)性能圖 2- 20a混凝土壓縮（T- 圖圖 2 - 20b四、木材在拉伸和壓縮時的力學(xué)性質(zhì)木材的力學(xué)性能隨應(yīng)力方向與木紋方向間傾角的不同而有很大的

22、差異，即木材屬各向異性材料。圖2 - 23示木材的幾項試驗結(jié)果，由圖可見，順紋壓縮的強度要比橫紋壓縮的高， 順紋拉伸的強度要比橫紋壓縮的高得多。五、影響材料力學(xué)性質(zhì)的因素1.溫度2 變形速率3. 荷載長時間作用的影響4. 應(yīng)力性質(zhì)的影響 2 - 7強度條件安全因數(shù)許用應(yīng)力一、極限應(yīng)力材料喪失正常工作能力時的應(yīng)力，稱為極限應(yīng)力，以ou表示。對于塑性材料，當(dāng)應(yīng)力達(dá)到屈服極限cs時，將發(fā)生較大的塑性變形， 此時雖未發(fā)生破壞， 但因變形過大 將影響構(gòu)件的正常工作，引起構(gòu)件失效，所以把C定為極 限應(yīng)力，即 c= c。對于脆性材料，因塑性變形很小，斷 裂就是破壞的標(biāo)志，故以強度極限作為極限應(yīng)力，即c =（

23、。二、安全因數(shù)及許用應(yīng)力為了保證構(gòu)件有足夠的強度，它在荷載作用下所引起 的應(yīng)力（稱為工作應(yīng)力）的最大值應(yīng)低于極限應(yīng)力，考慮 到在設(shè)計計算時的一些近似因素， 如荷載值的確定是近似的；計算簡圖不能精確地符合實際構(gòu)件的工作情況；實際材料的均勻性不能完全符合計算時所作的理想均勻假設(shè)；公式和理論都是在一定的假設(shè)下建立起來的，所以有一定的近似性；結(jié)構(gòu)在使用過程中偶爾會遇到超載的情況，即受到的荷載超過設(shè)計時所規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)荷載等諸多因素的影響，都會造成偏于不安全的后果，所以，為了安全起見.應(yīng)把極限應(yīng)力打一折扣，即除以一個大于1的系數(shù)，以n表示，稱為 安全因數(shù)，所得結(jié)果稱為 許用應(yīng)力，用表示,0U對于塑性材料有a

24、S可 -ns對于脆性材料有nb(2 -13)(2 -14)(2-15)式中n-和nb分別為塑性材料和脆性材料的安全因數(shù)。三、強度條件為了確保拉(壓)桿件不致因強度不足而破壞，其強度條件為amax 司即桿件的最大工作應(yīng)力不許超過材料的許用應(yīng)力。 條件可改寫為對于等截面直桿，拉伸(壓縮)(2 - 16)時的強度FN max6 A(2-17)根據(jù)上述強度條件，可以解決下列三種強度計算問題：(1) 強度校核 已知荷載、桿件尺寸及材料的許用應(yīng)力，根據(jù)式(6-16)檢驗桿件能否滿足強度條件。(2) 截面選擇 已知荷載及材料的許用應(yīng)力，按強度條件選擇桿件的橫截面面積或尺寸，即確定桿件所需的最小橫截面面積。將

25、式(6- 17)改寫為Nm ax(2 - 18)6(3) 確定許用荷載已知桿件的橫截面面積及材料的許用應(yīng)力，確定許用荷載。先由式(2-17)確定最大軸力，即F Nmax - A(2-19)然后再求許用荷載。例題2-7圖a示一三鉸屋架的計算簡圖， 屋架的上弦桿 AC和BC承受豎向均布荷載 q作用，q=4.5kN/m。下弦桿 AB為圓截面鋼拉桿，材料為 Q235鋼，其長I = 8.5m，直徑 d= 16mm，屋架高度 h=1.5m , Q235鋼的許用應(yīng)力(J=170MPa。試校核拉桿的強度。(a)q(b)解：(1)Ma=0,F nab(T =A327.1 10n-32(16 10 )4解：(1)

26、截取節(jié)點B為脫離體(圖b),求出兩桿內(nèi)力與F的關(guān)系:FrbI -丄ql2 =02F RB二丄 ql = 0.5 4.5 8.5 = 19.125 103 N =19.125kN 2根據(jù)結(jié)構(gòu)對稱有Fra =Frb =19.125kN(2) 求拉桿的軸力Fnab:用截面法，取半個屋架為脫離體(圖b),由平衡方程1 l 2l3Mc = 0, FNABh q(2) Fra?Fnab =(-0.5 4.5 4.25219.125 4.25)/1.5 = 27.1kN(3) 求拉桿橫截面上的工作應(yīng)力d6= 134.85 10 Pa = 134.85MPa(4) 強度校核:d= 134.85MPa d 滿足

27、強度條件，故拉桿的強度是安全的。例題2-9 圖示三角架中，AB桿為空心圓截面，其外徑DAB=40mm，內(nèi)徑dAB = 0.8Dab ；BC為圓截面桿，dBC = 40mm，材料均為 Q235鋼。已知F = 12kN , a= 1 m，材料的許用應(yīng)力d = 170 MPa，試求此三角架所能承受的最大許用荷載F。2Fx = Q FnabFnbcCOS45 - 0 2Fy =0, F Fnbc sin 45 =0解出FNAB = Ffnbc = J2F(2)分別由強度條件求出兩桿的許用軸力： 對于AB桿，軸力為拉力，則許用軸力為Fnab = oAab =170 106 n(D；B -d；B) 70

28、106 n (1 - 0.82) 402 1044= 76867.2N =76.87kN對于BC桿，軸力為壓力，取絕對值，則許用軸力為Fnbc= qABC =170 106 nD；C =170 106 - 302 10 = 120105N =120.1kN 44(3)確定許用荷載：根據(jù)AB桿的許用軸力確定的許用荷載為F】1 =FNAB】=76.87kN根據(jù)BC桿的許用軸力確定的許用荷載為F2FNBC 2= 84.92kN4盧 Fff1jLF RAABFrb(b) 圖 2- 24從上述兩桿的對應(yīng)的許用荷載選取最小的即為結(jié)構(gòu)的許用荷載，即F =76.87kN 2- 8拉伸與壓縮的超靜定問題圖2-

29、24a所示兩端固定桿，在桿的中部受軸向力的作用。欲求此桿兩端的 反力Fra和Frb，僅用平衡條件就無法解決。因為反力Fra、Frb和F是共線力系(圖2 - 24b)，所以只能有一個獨立平衡方程，顯然，僅由靜力學(xué)平衡方程不可能求出全部的未知反力。這類不能單憑靜力學(xué)平衡方程求解的問題，稱為超靜定問題。在超靜定問題中，都存在多于維持平衡所必需的支座或桿件，習(xí)慣上稱其 為“多余”約束。未知力的個數(shù)超過獨立平衡方程數(shù)的數(shù)目，稱為超靜定的次數(shù)。與多余約束相應(yīng)的支反力或內(nèi)力，習(xí)慣上稱為多余未知力。為解超靜定問題，除了平衡方程之外，必須補充與超靜定次數(shù)相同個 數(shù)的有效方程，稱為 補充方程。將補充方程與平衡方程

30、聯(lián)立求解，即可求得全 部未知力。AFraA(a)(b)F-F RB(c)(d)圖 2- 25（1）靜力方面 桿的受力圖如圖6 - 25b所示。）其平衡方程為 2F x - 0, F ra，F(xiàn)rbF =0 由上式不能求解出兩個反力，此結(jié)構(gòu)為一次超靜定結(jié)構(gòu)。（2 ）幾何方面由于是一次超靜定，所以有一個多余約束，去掉固定端端A）用多余力Frb來代替此約束對桿 AB的作用，則可看作靜定桿（圖 F和未知力Frb作用，并引起變形。b = 0,即有AB桿的伸長 Iab就等于B端的位移,b-l ACIc - 0(2 - 20)（也可取上固定25c ）受已知力B端的位移稱為變形協(xié)調(diào)方程。（3）物理方面首先作桿軸

31、力圖（圖 2-25d）。 F - Frb-EAa） ，得 FrbaEA即為補充方程，它表達(dá)了多余未知力與已知力一-多余力。 AC根據(jù)胡克定律，則有_ FrbbEAcb稱為物理方程。將式（b）代入式（F邑b=0EA-荷載F(b)（c）之間的關(guān)系，并由此方程求解出最后，由平衡方程（2-20）解出F RB(d)F RA（e）將Frb代入軸力圖中，便可得到 AC段和CB段的軸力。例題2 - 10圖示結(jié)構(gòu)由剛性桿 AB及兩彈性鋼制空心管 EC及FD組成，在B端受 力F作用。兩彈性桿由相同材料所組成，且長度相等、橫截面面積相同，其面積為A,彈性模量為 E。試求出兩彈性桿的軸力。解：該結(jié)構(gòu)為一次超靜定，須找一個補充方程。llj Fceb所示，F(xiàn)df為DF桿的軸力，F(xiàn)ce是CE桿的軸力，為拉力。a = 0,FDFFCE 12且