積分第一中值定理及其推廣證明_第1頁
積分第一中值定理及其推廣證明_第2頁
積分第一中值定理及其推廣證明_第3頁
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1、文檔收集于互聯(lián)網(wǎng)，已重新整理排版.word版本可編輯歡迎下載支持.2. 1積分第一中值定理證明積分第一中值定理：如果函數(shù)/(x)在閉區(qū)間00上連續(xù)，g(x)在(“上)上不變號(hào)，并且g(x)在 閉區(qū)間00上是可積的，則在億切上至少存在一點(diǎn)使得 成立。證明如下：由于g(x)在閉區(qū)間“上上不變號(hào)，我們不妨假設(shè)g(x)0,并且記在閉區(qū) 間a,b上的最大值和最小值為M和m ,即m f(x) 0o而 函數(shù)f(x)在閉區(qū)間“上可積，我們令m = Mf(x)xea,b , M=sup/(Qlxw|a,。假設(shè)F(x)是/(x)在閉區(qū)間a.b 的一個(gè)原函數(shù)，即 Fx) = /(x), xea,bo我們就可以得到下

2、面等式此時(shí)由于g(x)0,則會(huì)有j(x)6/x0,由于存在兩種可能性，那么下面我們就要分兩種情況以下我們分兩種情形來進(jìn)行討論：(1).如果g(x)dx = 0 ,由等式(f(x)g(x)dx = 0 ,那么對(duì)于 Vg e (“,/?)都有 恒成立。如果g(x)dx 0 ,將(g(x)dx我們記此時(shí)我們乂分兩種情形繼續(xù)進(jìn)行討論:即有m fMg(x)dxg(x)dxM成立,則此時(shí)一定就存在m jlkM ,可以使得ifi/,/ /(x2) M ,我們不妨假設(shè)xlx2,這其中xrx2 ea,h o因?yàn)镕(x) = f(x) , x e ayb,則會(huì) 有F(Xi)= /(禹) A 0,此時(shí)一定存在區(qū) 間

3、說()(其中坷V),使得恒有g(shù)(x) 0成立，我們可以 將( J： g(x)dx = f(x)g(x)clx ,因?yàn)?M,則有-f(x)g(x)dx = 0 (而且我們已知M-f(x)g(x)0,則0 ； IM -/(x)fe(xXv J：M -f(x)dx = 0。于是f M-/fe(A-Xv = 0(J.V|在式子(弘旬口。),使得/(歹)= “ = M。如果不存在一個(gè)歹丘坷,勺 0及g(x) 0成立,從而使得M - f(x)g(x) 0o如果J： M - /(朗山(x)dx = 0 ,由達(dá)布定理在Q上有M -/(x)g(x)0 , 這與M-/(x)g(x)0 矛盾。如 果 CM-f(x)S(x)dx0 ，這與

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