第十一章反常積分習(xí)題課

1、精品文檔隨意編輯便有概念敘述答:答:第十一章敘述 f xdx收斂的定義.敘述f x dx收斂敘述答:無窮積分b4.敘述a答：瑕積分ui,u2a,a疑難問題1.試問答：首先,dx發(fā)散.1 xdxdx收斂limulimu0, M0, M反常積分習(xí)題課dxdx0,0,(a是暇點(diǎn))收斂的定義.blim f x dxu a u0,0,當(dāng) a uf xdx收斂的柯西準(zhǔn)則.f x dx存在.M,有M,有f x dx收斂的柯西準(zhǔn)則是:任給u2x dxf x dx總有x dxauf x dxadxdx存在.f x dxabbfx dxf x dxua，有0，存在0，只要ui,u2 M ,f x dxu2f x

2、dxuiui(a是暇點(diǎn))收斂的柯西準(zhǔn)則.(瑕點(diǎn)為a)收斂的充要條件是：任給bbU2f x dxf x dxf x dxuiu2uif (x)dx收斂與limxf(x)0有無聯(lián)系?0，只要limx那么f (x)0肯定不是Jim f(x) 0是否是f (x)dx收斂的充分條件，例如limxf (x)dx收斂的必要條件呢？也不是！例如sin x2dx ,1 1cosx2dx ,xsin x4dx都收斂，因?yàn)榍皟蓚€(gè)無窮積分經(jīng)換元t x2得到 1 sinx2dx莓dt,1 2、t2 Icost lx nttcosx dx =dt ,貝y1 2歆sin x2dx,1 1cosx2dx是條件收斂，對(duì)于第三個(gè)

3、無窮積分，經(jīng)換元t x2而得1xs in x4dx= sin t2dt，它2 1也是條件收斂的.從這三個(gè)無窮積分的收斂性可以看到，當(dāng)時(shí)被積函數(shù)即使不趨于零，甚至是無界的，無窮積分仍有可能收斂.注:若limx注:1 )若2)若a3)若a4)若a證：1 )設(shè) lixf (x) A 0,則 f(x)dx發(fā)散.af (x)dx收斂，且lim f (x) A存在，貝y定有l(wèi)imaxxf(x)時(shí)滿足于是有而這與2)不妨f (x)d x收斂，且f在a, 上為單調(diào)，則im f(x) 0 ;f (x)d x收斂，且f在a,上一致連續(xù)，則lim f (x)xf (x)d x收斂，且f(x)f (x)dx 收斂，則

4、 Jim f(x) 0.A 若Af (x)dxlimu0(不妨設(shè)f(x)Mf (x)dxaMa f(x)dxuf(x)dxf (x)d x收斂相矛盾，故 A 0 .f在a, 上單調(diào)增，若f在a,時(shí)，使f (x) A .類似于1)的證明，推知A 0 )，則由極限保號(hào)性,增而有上界，于是由單調(diào)有界定理知lim f(x)x0.f (x)dxA-(u M),上無上界，則 A 0,f (x)dx ，矛盾.所以A存在.依據(jù)已證得的命題a,上單調(diào)1), Jim f (x) 0.a,上一致連續(xù)，則0,0，(設(shè))x,x a,只要x時(shí),就有 f(x) f(x).又因f (x)dx收斂，故對(duì)上述，M a時(shí),X2f(

5、x)dxxi現(xiàn)對(duì)任何M，取 Xi, X2M，且使 XixX2,X2 X1此時(shí)由f(x)x2f (x)dt f(t)dtxixiX2x f(t)dtX1x2xi便得f (x),xM.這就證得limxf(x)0.因?yàn)閒 (x)d x收斂，則limulim fuu存在，由1)得證.f (x)dx收斂，與答:1)因?yàn)榻^對(duì)收斂X2f (t)dtX|(x)d x limu| f (x) |dx 收斂,au f a 存在，于f2(x)dx收斂的關(guān)系?收斂，反之不對(duì)，條件收斂的例子都是反例，則| f (x) |dx收斂亠*af (x)dx 收斂.f (x)dx收斂f2 (x)dx 收斂,例但丄dx發(fā)散,2x1

6、 cos2x, dx 2xcos2x , dx,1 2xcos2x1 2xdx發(fā)散，則12Sin xdx 發(fā)散.x$dx收斂，但x-dx發(fā)散.1 x精品文檔1,1隨意編輯3)f (x) dx 收斂 j. f 2(x)dx 收斂,n2, n x1 n 例f xn，對(duì)10, n4x n 1nn n，總存在M 1，使當(dāng)n M時(shí)，都有14 n2dx故2但對(duì)于f x ,sin x-dx絕對(duì)收斂，即x2sin x ,匚“ ,dx收斂，因?yàn)閤sin xdxsin xdx1sin x31303x2x2x2o0啤d x絕對(duì)收斂，即x2sin3,x2dx收斂,sin x3_dx0是暇點(diǎn)，取x2，則limx 0xp

7、sin x3x2limx 03x21，因?yàn)閜1收斂.因?yàn)?2sin x3-xdxC|dx 2x31 COs2xdx2x315|空dx ,0 2x31 cos2xdx 收斂.2x3110cos2x , dx,2x30是暇點(diǎn)，取，則lim xx 0cos2x2x3lim xpx 01 2-4x22x3因?yàn)閜 1，則發(fā)散.：dx收斂，但1 xdx發(fā)散.x精品文檔隨意編輯b3. f (x)dx ( a 為瑕點(diǎn))abb收斂，與 I f (X) px收斂，f 2(x)dx收斂的關(guān)系?ba f (x)dx收斂.因?yàn)榻^對(duì)收斂收斂，反之不對(duì)，條b答：i)| f (x) dx 收斂a件收斂的例子都是反例.bbf

8、(x)dx收斂aa2f (x)dx 收斂,ba f (x) dx 收斂2f (x)dx收斂.反例1 1 dx收斂，但0 x1-dx發(fā)散.0 x3 )若b 2f (x)dx ( a為瑕點(diǎn))收斂，則 ab| f(x) dx ( a為瑕點(diǎn))收斂.a證因f x.2x，則由比較原則,2可得b| f (x) dx收斂，從而abf (x)dx 收a斂.F列說法對(duì)嗎?sin xi sin x因?yàn)樵?沒有定義，則dx是瑕積分；x0 xIn xi ln x2)因?yàn)?在x 1沒有定義，則x 1是dx的暇點(diǎn).1 x01 x答：若被積函數(shù)f在點(diǎn)a的近旁是無界的，這時(shí)點(diǎn) a稱為f的瑕點(diǎn).sin xsin x1 sin x

9、1)錯(cuò)誤，因?yàn)閘im1，貝U在0的近旁有界，因此不是瑕點(diǎn)，dx是X 0 xx0 x定積分.若f x在a, b上連續(xù)，limx abx A (常數(shù))，則 f x dx可看成正常積分, a事實(shí)上，定義F xA x 9， 知F x在a,b上連續(xù)，即 f x dx存在, f x, x a,b.a而bf x dxalim0bfax dxblin0 a F xdx，由于Fx在a,b上連續(xù)，知變下限函bb數(shù)GaF xdx在0,ba上連續(xù)，有l(wèi)im0GG 0F x dx ,即abbbaf x dxF xadx.故f xadx可看成正常積分。2)錯(cuò)誤，因?yàn)閘im座x 1 1 xlim x 11In x1,則 在

10、x 1近旁有界，因此不是瑕點(diǎn).1 x注我們經(jīng)常通過證lim f xx a(lim f xx b)來判斷a b為f的瑕點(diǎn).例因?yàn)閘imx 0In x1 In x，則x 0是odx的暇點(diǎn).答1)4 定積分，無窮積分有什么區(qū)別?a2)a2 0 f X dx, f X 偶+因?yàn)榇藭r(shí) f x dx可能發(fā)散.3) f x在a,b可積，則fa,+上有界，例如f x1o,xn 1,nn2nnn1，0f x dx lim f xdxn 1n0n 1 n2nn, xn n,nn2nx在a, b上有界，但af(x)dx收斂不能保證4上無界.再如 1 xsinx dx條件收斂，但不僅lim f x不存在，而且x4xs

11、 in x在1,+上無界.x 在 0,+5定積分與瑕積分有什么區(qū)別?f (x)dx收斂(a為瑕點(diǎn))baf （x） dx收斂（a為瑕點(diǎn)）*2 x dx收斂（a為瑕點(diǎn)）a,b可積af x dxa0, f xa20，但對(duì)于f x dx, f x 偶f x dx （ a為瑕點(diǎn)）不一定具有這個(gè)性質(zhì)，因?yàn)榇藭r(shí)af x dx可能發(fā)散.a3) f x 在 a, b可積，則f x在a,b上有界，但bf （x）dx （ a為瑕點(diǎn)）收斂不 a能保證f x在a, b上有界.注 反常積分與定積分不同，尤其是瑕積分，它與定積分采用同一種表達(dá)方式，但其含義卻不同，遇到有限區(qū)間上積分時(shí)，先要檢查是否有瑕點(diǎn)， 不能把定積分的性

12、質(zhì)直接平移到反常積分中.5 定積分哪些性質(zhì)可以平移到反常積分中？答：定積分的線性運(yùn)算，牛頓萊布尼茨公式，換元積分，分部積分，在反常積分中，仍然成立.若廣義積分收斂，也有線性運(yùn)算法則，不等式性質(zhì)，也有湊微分，變量替換，分部 積分公式，換句話說可以像正常的定積分一樣運(yùn)算。例 如Flim F uubf x dxFF aF b lim F xxf x dx F xlim F x lim F xxx由f x在a,連續(xù)必有原函數(shù)，設(shè) f x的原函數(shù)為F xf x dxalim Ftudvuvlimtf x dx tlim Ft Falim F xtF a記成Ff x dx Ff x dx F總結(jié)對(duì)無窮積分

13、（a為瑕點(diǎn)）；（b為瑕點(diǎn)）.f x dxa f XdX（或瑕積分）收斂判別的一般步驟:首先用比較法則及其推論來判別是否絕對(duì)收斂，當(dāng)判得ba | f x |dx)收斂時(shí)，bf x dx (或 a f x dx)絕對(duì)收斂;b2）當(dāng)判得 |f x 0x（或|f x dx）發(fā)散時(shí)，還需依賴其它方法aalim Fx b0x(或lim F xa（如狄利克雷判別法、阿貝爾（Abel ）判別法，或者直接使用收斂定義或柯西收斂準(zhǔn)則）來判別 f x dx（或abf x dx ）是否條件收斂.a注意：1）看到有限區(qū)間上的積分，一定要觀察有無瑕點(diǎn)，有瑕點(diǎn)的是瑕積分，沒有暇點(diǎn)的是定積分，定積分是一個(gè)數(shù)，總認(rèn)為是收斂的.

14、2）假如一個(gè)積分中既有無窮積分又有瑕積分，首先利用cf x dx f x dxaacf x dx ,使變成兩個(gè)積分的和，使其中一個(gè)積分是無窮積分，另一個(gè)是瑕積分.假如積分中有兩個(gè)暇點(diǎn)，禾U用bf x dxacf x dxabf x dx，使變成兩個(gè)積 c分的和,一個(gè)積分中只有 1個(gè)瑕點(diǎn).假如積分中既有，又有，先利用f x dxcf x dx f x dx .c在確定反常積分類型時(shí)有哪些值得注意的地方?（1 ）有時(shí)，無窮積分與瑕積分存在于同一個(gè)反常積分中，例如這個(gè)形式上的無窮積分，其實(shí)還含有瑕點(diǎn)a1 0 角 dX，X 1與X 0（當(dāng)a0)這時(shí)需要先把它拆成幾個(gè)單純形式的反常積分:a1 X .id

15、X2 X 1a2 X .dX1 x 1aXFldX,當(dāng)且僅當(dāng)這四個(gè)反常積分都收斂時(shí)，原來的反常積分才是收斂的顯然，其中的瑕積分dX都是發(fā)散的，故原來的反常積分亦為發(fā)散.1 dx(2)不要把瑕積分混淆為定積分，例如 其實(shí)它是一個(gè)以X 0為瑕點(diǎn)的瑕積分，1 X必須先化為1 dx 0主空1卩 00而后討論等號(hào)右邊的兩個(gè)瑕積分，當(dāng)且僅當(dāng)它們都收斂時(shí)，等號(hào)左邊的瑕積分才是收斂的.顯然，這里兩個(gè)瑕積分(等號(hào)右邊)都是發(fā)散的，故原來的瑕積分亦為發(fā)散需要注意的是，不要誤將這個(gè)瑕積分當(dāng)作是定積分，并利用奇函數(shù)在-1,1上的積分值為 0,輕率地得出1 dx1 30這樣一個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)論.1 X8.兩個(gè)發(fā)散的無窮積分的

16、代數(shù)和是否必為發(fā)散？答 不一定如果f(x)dx g(x)dx ，則有aaf (X) g(x)dx 發(fā)散；a至于 f (x) g(x) dx是否收斂，則無肯定結(jié)論.a三重要例題1 重要結(jié)論：11) dx當(dāng)p 1時(shí),反常積分收斂；p 1時(shí)反常積分發(fā)散.1 xdx,(x a)pb 1-dx當(dāng)p 1時(shí)，反常積分收斂；p 1時(shí)反常積分發(fā)散. a(b x)p畔dx與xcosxp當(dāng)p 1時(shí)絕對(duì)收斂，當(dāng)xp1時(shí)條件收斂,發(fā)散.計(jì)算下列反常積分:dx0 -xx :0 e e2a 2a xdxx(a0).exdx2xe 1d(ex)(ex)2 1arcta nexarctanx , dxarcta n xarct

17、a nxx2dx ；In2x1x2為去根號(hào)，令2 dx x(1 x )(丄xx2)dxx2a x1In 2.22aT，02a-2a xdxx0td12aT2at1 t20 2adtt22aarcta nt法2 :為去根號(hào),還可以令2asin21,則dx4as in t costdt2 2a xdxx2 cost0 sin t4as in t costdt 4a2 2cos tdt 4a a 04判斷下列無窮積分的斂散性:x e-xdx ;2x dx ; x51ln x dx;x1)分析lim xpxx-x ep x xxlim xx e，根據(jù)定理3,ex是比x高階的無窮大量,即不論p是何值，0

18、 ,而根據(jù)柯西判別法,0只能判定收斂，因此我們?nèi)為任何一個(gè)大于1的數(shù).解取p為任何一個(gè)大于1的數(shù)，不妨取2，因?yàn)?lim x2x e-x7X0，因此根據(jù)柯西判別法P 2，0知，對(duì)任何，無窮積分0 X eXdx都收斂.22）取p使xp 一；中分子分母最高次數(shù)相同，則取Jx 11因?yàn)閘im x2X2X1，因此根據(jù)柯西判別法21知，0 HX是發(fā)散的.3）解 lim xp叫二，根據(jù)定理 3， x是比In x的高階的無窮大量，當(dāng)p n，x xlim xpln 0 ,而根據(jù)柯西判別法,x xln x0 n0 X0只能判定收斂，因此需要取1p n，即當(dāng)n 1時(shí),dx收斂；當(dāng)p n時(shí)，limxp lnx.而

19、根據(jù)柯西判別法,只能判定發(fā)散,因此需要取即當(dāng)n 1時(shí),發(fā)散.x小結(jié):p的取法:取法1ax bx 亠 axm cxbxnax bx或，則p的選取方法是讓 n m t 7廠cx dxxp f x中分子分母的最高次數(shù)相同，其中a,b,cd 0.以 fXcxmax bxdxn,m t說明為例,由定理. p ax lim x - xmx cxbxdxn. p ax lim x - xmx cx收斂，若取法，則 limXxpaXm bXn -，根據(jù)柯西判別法，若 cxdxc1，則一 f xdx發(fā)散.f x中含有In x或e，則要借助于下面定理來取1，貝Uf xdxa定理 對(duì)任意的正數(shù)和任意常數(shù)a 1，當(dāng)x

20、 ，函數(shù)x是比lnx的高階的無窮大 量，函數(shù)ax是比x高階的無窮大量.4 . 判別下列瑕積分的收斂性:精品文檔1)1 ln x0 .XdX ；2 Xdx ；1 ln X1ln xdx ；0匹dx ；01 X1 一1 dx.ln：(0,1上0 . x l n x解五個(gè)瑕積分的被積函數(shù)在各自的積分區(qū)間上分別保持同號(hào)時(shí)X恒為負(fù)，在（1,2上恒為正，等一一所以它們的瑕積分收斂與絕對(duì)收斂是同一回事.ln x1）此瑕積分的瑕點(diǎn)為 x分析lim xp fx 0由于lim xx 0In xlimx 00(xpIn x0），則lim xp 阮,0. x0,而極限為0只能判收斂，而要判收斂，取1，因此取1的一個(gè)數(shù)

21、.1時(shí)，有3lim xx 0In x1lim x41n x 0 ,0所以瑕積分收斂.XX隨意編輯2）此瑕積分的瑕點(diǎn)為分析plim x 1X 1limX 1XIn xlimX 11 ,分子分母為無窮小量，考慮等價(jià)無窮小替換,ln x ln 1 x 1 : x 1lim x 1X 1p Xln xX 1 lim，取x 1 x 11，則1時(shí)，由=limX 11 ln xlimX 11_ =1 ,ln x精品文檔隨意編輯推知該瑕積分發(fā)散.小結(jié)：p取法:取法1 :先找等價(jià)無窮小量，讓分子分母中無窮小量次數(shù)相同，即當(dāng)x a，讓的次數(shù)相同當(dāng)x b，讓bx的次數(shù)相同.取法2:利用Hnnx Inx0(0），而極

22、限等于0只能判收斂，取0 p 1 .3）此瑕積分的瑕點(diǎn)為 xIim xp f xx 0Iim xp In x0Iim xp In xx 00時(shí)，由于Iim xx 0In0(0），則0,而極限為0只能判收斂,而要判收斂，取p 1，因此取1的一個(gè)數(shù).1時(shí)，有Iim0所以瑕積分收斂.4）此瑕積分的瑕點(diǎn)為0時(shí)，由于Iimx 0判收斂，取0 p 1，因此取Iimx 0所以瑕積分4 ）收斂.5）此瑕積分的瑕點(diǎn)為1x2In1x2In xIim0dx1Iim x2x 0In xxp0(!im0xpnx1 xIim xp In xx 00），則1的一個(gè)數(shù).In x對(duì)于1 1dx，此瑕積分的瑕點(diǎn)為2 vxIn x0,而極限為0只能判收斂,而要Iim0Indxlim 1 x px 1lim 1x 1limx 1p 丄lim 1ln xx 1取P 1時(shí)，則 0,瑕積分1