2011年數(shù)學(xué)建模C題(國(guó)二

1、2011高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽承 諾 書(shū)我們仔細(xì)閱讀了中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的競(jìng)賽規(guī)則.我們完全明白，在競(jìng)賽開(kāi)始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢(xún)等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問(wèn)題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開(kāi)的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號(hào)是（從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫(xiě)）： C 我們的參賽報(bào)名號(hào)為（如果賽區(qū)設(shè)置

2、報(bào)名號(hào)的話）： 所屬學(xué)校（請(qǐng)?zhí)顚?xiě)完整的全名）： 四川文理學(xué)院 參賽隊(duì)員 (打印并簽名) ：1. 劉 姣 2. 馮德瓊 3. 何招才 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)： 張 瑞 日期： 2011 年 9 月 11 日賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：2009高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽編 號(hào) 專(zhuān) 用 頁(yè)賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：賽區(qū)評(píng)閱記錄（可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用）：評(píng)閱人評(píng)分備注全國(guó)統(tǒng)一編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國(guó)前編號(hào)）：全國(guó)評(píng)閱編號(hào)（由全國(guó)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：企業(yè)退休職工養(yǎng)老金制度改革的探究 摘 要本文針對(duì)我國(guó)企業(yè)退休職工養(yǎng)老保險(xiǎn)基金收支平衡的問(wèn)題，根

3、據(jù)2005年頒發(fā)的國(guó)務(wù)院關(guān)于完善企業(yè)職工基本養(yǎng)老保險(xiǎn)制度的決定，建立養(yǎng)老保險(xiǎn)基金收支平衡模型1，即繳存的養(yǎng)老保險(xiǎn)金E與得到的養(yǎng)老保險(xiǎn)金F保持一致；和對(duì)養(yǎng)老金替代率討論模型。分析了在該政策背景下，當(dāng)已知基金收益率和繳費(fèi)率時(shí)，各個(gè)因素對(duì)基金收支平衡的影響。對(duì)問(wèn)題一采用阻滯增長(zhǎng)模型，用曲線擬合3的方法預(yù)測(cè)從2011年至2035年山東省職工的年平均工資。對(duì)于問(wèn)題二計(jì)算出各年齡段職工工資與該企業(yè)平均工資之比，再使用加權(quán)平均得出繳費(fèi)指數(shù)參考值。針對(duì)問(wèn)題三根據(jù)一個(gè)職工他所交的養(yǎng)老保險(xiǎn)金和他退休后總共領(lǐng)取到的養(yǎng)老金的差值來(lái)計(jì)算其缺口，最后找到該職工領(lǐng)取養(yǎng)老金到多少歲時(shí)，達(dá)到收支平衡。問(wèn)題四為了保證我國(guó)社會(huì)養(yǎng)老

4、保險(xiǎn)基金不僅實(shí)現(xiàn)當(dāng)期收支平衡，而且還要在未來(lái)長(zhǎng)時(shí)期內(nèi)保持收支平衡，并要達(dá)到目標(biāo)替代率，結(jié)合我國(guó)國(guó)情實(shí)際，從就業(yè)年齡，退休年齡，養(yǎng)老金替代率，工資增長(zhǎng)率等影響?zhàn)B老保險(xiǎn)基金收支平衡的各相關(guān)變量作了定量和定性分析討論，得到了既要達(dá)到目標(biāo)替代率，又要維持養(yǎng)老保險(xiǎn)基金收支平衡可以采取以下措施：(1)提高就業(yè)年齡, 根據(jù)社會(huì)保險(xiǎn)基金“以收定支”的原則進(jìn)行測(cè)算, 推遲職工的就業(yè)年齡有利于減少養(yǎng)老金負(fù)擔(dān)，緩解就業(yè)壓力。(2)提高退休年齡，退休年齡是決定養(yǎng)老金負(fù)擔(dān)水平的一個(gè)基本因素，在平均預(yù)期壽命和保障水平一定的情況下，提高退休年齡，不僅可以縮短平均享用養(yǎng)老金年限，降低養(yǎng)老金支付總負(fù)擔(dān)，而且還可以相對(duì)延長(zhǎng)職工繳

5、納養(yǎng)老保險(xiǎn)費(fèi)的期限，增加養(yǎng)老保險(xiǎn)基金收入，從雙向有利于實(shí)現(xiàn)養(yǎng)老基金收支的平衡。（3）縮短養(yǎng)老金替代率降低時(shí)間，在假定其他因素不變的情況下，可以保證基金在2050年之前不出現(xiàn)赤字，可更好的維系養(yǎng)老金收支平衡，并達(dá)到養(yǎng)老金目標(biāo)替代率。（4）降低工資增長(zhǎng)率,工資增長(zhǎng)率對(duì)職工領(lǐng)取的保險(xiǎn)費(fèi)額的影響幅度遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)對(duì)其所繳納的保險(xiǎn)費(fèi)額的影響幅度，從而使E與F的正差額變小，即使積累或結(jié)余變少。因此，降低工資增長(zhǎng)率可以緩解養(yǎng)老金支付負(fù)擔(dān),維持收支平衡。本文建立模型算出的結(jié)果與實(shí)際情況沒(méi)有太大偏差，且模型四的結(jié)論在模型一、二、三算出的實(shí)際數(shù)據(jù)得到了驗(yàn)證。關(guān)鍵詞： 阻滯增長(zhǎng)模型 加權(quán)平均 收支平衡 曲線擬合 替代率

6、一 問(wèn)題重述隨著經(jīng)濟(jì)發(fā)展，工資增長(zhǎng)，養(yǎng)老金（也稱(chēng)退休金，是一種根據(jù)勞動(dòng)者對(duì)社會(huì)所作貢獻(xiàn)及其所具備享受養(yǎng)老保險(xiǎn)的資格，以貨幣形式支付的保險(xiǎn)待遇，用于保障職工退休后的基本生活需要）亦在不斷改革。由于我國(guó)國(guó)情決定了現(xiàn)在我國(guó)養(yǎng)老保險(xiǎn)改革正處于過(guò)渡期，養(yǎng)老保險(xiǎn)管理的一個(gè)重要的目標(biāo)是養(yǎng)老保險(xiǎn)基金的收支平衡，按照國(guó)家對(duì)基本養(yǎng)老保險(xiǎn)制度的總體思路，未來(lái)基本養(yǎng)老保險(xiǎn)的目標(biāo)替代率確定為58.5%。 替代率較低，退休職工的生活水準(zhǔn)低，養(yǎng)老保險(xiǎn)基金收支平衡容易維持；替代率較高，退休職工的生活水準(zhǔn)就高，養(yǎng)老保險(xiǎn)基金收支平衡較難維持，可能出現(xiàn)缺口（所謂缺口，是指當(dāng)養(yǎng)老保險(xiǎn)基金入不敷出時(shí)出現(xiàn)的收支之差）。本題要求：1、對(duì)未

7、來(lái)中國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展和工資增長(zhǎng)的形勢(shì)做出簡(jiǎn)化、合理的假設(shè)，并參考附件1，預(yù)測(cè)從2011年至2035年的山東省職工的年平均工資。2、根據(jù)附件2計(jì)算2009年該企業(yè)各年齡段職工工資與該企業(yè)平均工資之比，并把這些比值看作職工繳費(fèi)指數(shù)的參考值，計(jì)算該企業(yè)職工自2000年起分別從30歲、40歲開(kāi)始繳養(yǎng)老保險(xiǎn)，一直繳費(fèi)到退休（55歲，60歲，65歲）各種情況下的養(yǎng)老金替代率。3、根據(jù)給出條件計(jì)算養(yǎng)老保險(xiǎn)基金的缺口情況，并計(jì)算該職工領(lǐng)取養(yǎng)老金到多少歲時(shí)，其繳存的養(yǎng)老保險(xiǎn)基金與其領(lǐng)取的養(yǎng)老金之間達(dá)到收支平衡。4、找到既要達(dá)到目標(biāo)替代率，又要維持養(yǎng)老保險(xiǎn)基金收支平衡的合理可行措施。二 問(wèn)題分析 問(wèn)題一要預(yù)測(cè)從2011

8、年至2035年山東省職工的年平均工資，從前幾年數(shù)據(jù)可以得到它們的工資增長(zhǎng)率符合阻滯增長(zhǎng)模型，因此本文采用此模型并進(jìn)行曲線擬合來(lái)解決該問(wèn)題。問(wèn)題二要用各年齡段職工工資與該企業(yè)平均工資之比作為作職工繳費(fèi)指數(shù)的參考值，為了讓數(shù)據(jù)更具有合理性，使用加權(quán)平均得出繳費(fèi)指數(shù)參考值，再算出替代率。問(wèn)題三根據(jù)一個(gè)職工他所交的養(yǎng)老保險(xiǎn)金和他退休后總共領(lǐng)取到的養(yǎng)老金的差值來(lái)計(jì)算其缺口，最后找到該職工領(lǐng)取養(yǎng)老金到多少歲時(shí)，達(dá)到收支平衡。問(wèn)題四需找到既要達(dá)到目標(biāo)替代率，又要維持養(yǎng)老保險(xiǎn)基金收支平衡的措施，那就需找到影響它們的相關(guān)變量，并對(duì)其做定量和定性分析討論，最后找出合理且可實(shí)行的措施。三 模型假設(shè)1、不會(huì)出現(xiàn)金融危

9、機(jī)，大型自然災(zāi)難等大幅度影響人民收入的意外情況；2、職工每月的工資都按時(shí)發(fā)放，無(wú)拖欠現(xiàn)象；3、基本養(yǎng)老金按時(shí)足額發(fā)放；4、凡是參加企業(yè)職工基本養(yǎng)老保險(xiǎn)的單位和個(gè)人，都必須按時(shí)足額繳納基本養(yǎng)老保險(xiǎn) 費(fèi)；5、職工得到的工資是繳存了養(yǎng)老保險(xiǎn)的凈工資，且在本文中，實(shí)發(fā)工資的時(shí)候只扣除 了養(yǎng)老保險(xiǎn)金；6、企業(yè)無(wú)隱形債務(wù)；7、職工繳費(fèi)年限都大于等于15年；8、基金收益率8%和繳費(fèi)率20%都是維系收支平衡的最佳點(diǎn)。四 符號(hào)說(shuō)明：第種情況企業(yè)職工退休時(shí)養(yǎng)老金； ：第種情況企業(yè)基礎(chǔ)養(yǎng)老金； ：第種情況企業(yè)職工個(gè)人賬戶(hù)儲(chǔ)存額；：第種情況企業(yè)職工個(gè)人賬戶(hù)養(yǎng)老金；：表示當(dāng)?shù)氐谀曷毠?shí)發(fā)平均工資；：表示當(dāng)?shù)氐谀曷毠?yīng)發(fā)

10、工資；：表示退休年齡；：表示參保年齡；：表示計(jì)發(fā)月數(shù)；：表示在職職工退休前一年的當(dāng)?shù)厣鐣?huì)月平均工資水平；：表示職工退休前累計(jì)繳費(fèi)月數(shù)；：第種情況企業(yè)職工領(lǐng)取的養(yǎng)老金；:第種情況下出現(xiàn)的缺口；：為人均壽命；：表示第 年份歲在職職工的人數(shù)；：其繳存的養(yǎng)老保險(xiǎn)金；：其退休后第一個(gè)月領(lǐng)取的養(yǎng)老保險(xiǎn)金；:第種情況職工繳存的養(yǎng)老保險(xiǎn)基金與其領(lǐng)取的養(yǎng)老金之間達(dá)到收支平衡時(shí)，職工領(lǐng)取養(yǎng)老金的年數(shù)；:人均工資增長(zhǎng)率；: 人均工資；：第種情況的替代率；:第種情況下職工繳存的養(yǎng)老保險(xiǎn)基金與其所領(lǐng)取的養(yǎng)老金的差值；:人均工資的最大值；:將r表為的函數(shù)；:人均增長(zhǎng)速度；：1978年人均工資；：養(yǎng)老保險(xiǎn)費(fèi)的收入；：基本養(yǎng)

11、老金的支出；：無(wú)窮小的數(shù)。五 模型建立與求解5.1 模型一采用阻滯增長(zhǎng)模型,用曲線擬合的方法預(yù)測(cè)從2011年至2035年山東省職工的年平均工資。由附件1可得到表1： 1978年1979年1980年1981年1982年1983年1984年1985年1986年566632745755769789985111013131987年1988年1989年1990年1991年1992年1993年1994年1995年1428178219202150229226013149433851451996年1997年1998年1999年2000年2001年2002年2003年2004年58096241685476568

12、772100071137412567143322005年2006年2007年2008年2009年2010年166141922822844264042968832074表1 山東省職工平均工資根據(jù)阻滯作用體現(xiàn)在對(duì)人均工資增長(zhǎng)率r的影響上，使得r隨人均工資x的增加而下降。若將表為的函數(shù)，則它應(yīng)是減函數(shù)，于是方程寫(xiě)為; （1）對(duì)的一個(gè)最簡(jiǎn)單的假設(shè)是設(shè)為的線性函數(shù)，即 （2）我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的戰(zhàn)略目標(biāo)，是要在21世紀(jì)中葉使我國(guó)人均國(guó)民生產(chǎn)總值達(dá)到中等發(fā)達(dá)國(guó)家水平。為了確定我們引入,人均工資的最大值=元。計(jì)算19782010年人均工資的增長(zhǎng)率的平均值為，稱(chēng)為固有增長(zhǎng)率，當(dāng)時(shí)人均工資不再增長(zhǎng)，即增長(zhǎng)率代人（2

13、）式得于是 （3）（3）式的另一種解釋?zhuān)涸鲩L(zhǎng)率與人均工資尚未實(shí)現(xiàn)部分的比例成正比，比例系數(shù)為固定增長(zhǎng)率將（3）式代人（1）式得 （4）方程（4）中式子以體現(xiàn)人均工資的增長(zhǎng)趨勢(shì)，式子則體現(xiàn)了生產(chǎn)力發(fā)展和資源對(duì)人均工資增長(zhǎng)的阻滯作用。顯然，越大越大，越小，人均工資增長(zhǎng)是兩個(gè)式子共同作用的結(jié)果。如果以為橫軸，為縱軸做出方程（4）的圖形2（如下圖），由此圖可分析人均增長(zhǎng)速度隨著的增加而變化的情況，從而可看出的變化規(guī)律的增加是先快后慢，時(shí)，；拐點(diǎn)在處，見(jiàn)圖1圖1 Logisic 模型曲線實(shí)際上方程（4）可以很方便地用分離變量法得到 （5）利用Matlab與表一數(shù)據(jù)可以畫(huà)出（5）式的圖形，它是一條s形曲線

14、（如圖2），程序見(jiàn)附錄（1）： 圖2注:上圖中數(shù)字1表示是從1978年開(kāi)始計(jì)數(shù)，o表示1978年到2010年山東省得年 平均工資，曲線s表示對(duì)未來(lái)山東省年平均工資走勢(shì)的預(yù)測(cè)。利用以上模型和表一可對(duì)山東省2010年到2035年職工的年平均工資進(jìn)行預(yù)測(cè)，其中年平均工資的單位是（元）；預(yù)測(cè)結(jié)果如表2，程序見(jiàn)附錄（2）：2010年2011年2012年2013年2014年2015年2016年2017年2018年3207437250418704700052710590406603073750822202019年2020年2021年2022年2023年2024年2025年2026年2027年91500202

15、8年2029年2030年3031年2032年2033年2034年2035年表2 山東省2010年到2035年職工的年平均工資進(jìn)行預(yù)測(cè)5.2 模型二根據(jù)附件2計(jì)算2009年該企業(yè)各年齡段職工工資與該企業(yè)平均工資之比。該企業(yè)平均工資：20-24歲職工工資與該企業(yè)平均工資之比：1726.95/2580.23=0.67;25-29歲職工工資與該企業(yè)平均工資之比：2077.00/2580.23=0.80;30-34歲職工工資與該企業(yè)平均工資之比：2535.12/2580.23=0.98;35-39歲職工工資與該企業(yè)平均工資之比：2752.21/2580.23=1.07;40-44歲職工工資與該企業(yè)平均工

16、資之比：3026.02/2580.23=1.17;45-49歲職工工資與該企業(yè)平均工資之比：3268.04/2580.23=1.27;50-54歲職工工資與該企業(yè)平均工資之比：2567.07/2580.23=0.99;55-59歲職工工資與該企業(yè)平均工資之比：2980.20/2580.23=1.16;綜上情況得各年齡段職工工資與該企業(yè)平均工資67之比見(jiàn)表3：年齡段20-2425-2930-3435-3940-4445-4950-5455-59工資比0.670.800.981.071.171.270.991.16 表3 各年齡段職工工資與該企業(yè)平均工資之比把這些比值看作職工繳費(fèi)指數(shù)的參考值3,

17、該企業(yè)職工自2000年起分別從30歲、40歲開(kāi)始繳養(yǎng)老保險(xiǎn)，一直繳費(fèi)到退休（55歲，60歲，65歲），職工退休時(shí)的養(yǎng)老金由兩部分組成： 養(yǎng)老金（A）=基礎(chǔ)養(yǎng)老金（B）+個(gè)人賬戶(hù)養(yǎng)老金（D)個(gè)人賬戶(hù)養(yǎng)老金（D）=個(gè)人賬戶(hù)儲(chǔ)存額（D）計(jì)發(fā)月數(shù)（y）基礎(chǔ)養(yǎng)老金（B）=（全省上年度在崗職工月平均工資+本人指數(shù)化月平均繳費(fèi)工資）2繳費(fèi)年限1%本人指數(shù)化月平均繳費(fèi)工資=全省上年度在崗職工月平均工資本人平均繳費(fèi)指數(shù) ；實(shí)發(fā)工資，則應(yīng)發(fā)工資。（1）、30歲繳費(fèi)到55歲：個(gè)人賬戶(hù)儲(chǔ)存額：個(gè)人賬戶(hù)養(yǎng)老金：30歲到55歲的職工繳費(fèi)指數(shù)，利用加權(quán)平均得：基礎(chǔ)養(yǎng)老金：養(yǎng)老金： 養(yǎng)老金替代率：；編程計(jì)算得：=36.38%

18、程序見(jiàn)附錄（3）（2）、30歲繳費(fèi)到60歲： 個(gè)人賬戶(hù)儲(chǔ)存額：個(gè)人賬戶(hù)養(yǎng)老金：30歲到60歲的職工繳費(fèi)指數(shù)，利用加權(quán)平均得：基礎(chǔ)養(yǎng)老金：養(yǎng)老金： 養(yǎng)老金替代率：；同理計(jì)算可得：=45.57%（3）、30歲繳費(fèi)到65歲：個(gè)人賬戶(hù)儲(chǔ)存額：個(gè)人賬戶(hù)養(yǎng)老金：30歲到65歲的職工繳費(fèi)指數(shù)，利用加權(quán)平均得：基礎(chǔ)養(yǎng)老金：養(yǎng)老金： 養(yǎng)老金替代率:；同理計(jì)算可得：=59.37%（4）、40歲繳費(fèi)到55歲：個(gè)人賬戶(hù)儲(chǔ)存額:個(gè)人賬戶(hù)養(yǎng)老金:40歲到55歲的職工繳費(fèi)指數(shù)，利用加權(quán)平均得： 基礎(chǔ)養(yǎng)老金:養(yǎng)老金: 養(yǎng)老金替代率:；同理計(jì)算可得：=24.09%（5）、40歲繳費(fèi)到60歲：個(gè)人賬戶(hù)儲(chǔ)存額:個(gè)人賬戶(hù)養(yǎng)老金:40

19、歲到60歲的職工繳費(fèi)指數(shù)，加權(quán)平均得：基礎(chǔ)養(yǎng)老金:養(yǎng)老金: 養(yǎng)老金替代率；同理計(jì)算可得：=32.64%（6）、40歲繳費(fèi)到65歲：個(gè)人賬戶(hù)儲(chǔ)存額:個(gè)人賬戶(hù)養(yǎng)老金:40歲到65歲的職工繳費(fèi)指數(shù)，加權(quán)平均得：基礎(chǔ)養(yǎng)老金:養(yǎng)老金: 養(yǎng)老金替代率；同理計(jì)算可得：=44.05%綜上得到所有情況的替代率，如表4參保年齡退休年齡55歲60歲65歲30歲36.38%45.57%59.37%40歲24.09%32.64%44.05% 表4 各種情況的替代率5.3 模型三該企業(yè)某職工自 2000年起從30歲開(kāi)始繳養(yǎng)老保險(xiǎn)，一直繳費(fèi)到退休（55歲，60歲，65歲），并從退休后一直領(lǐng)取養(yǎng)老金，至75歲死亡。對(duì)于養(yǎng)老保

20、險(xiǎn)公司的缺口情況，本文是根據(jù)一個(gè)職工他所交的養(yǎng)老保險(xiǎn)金和他退休后總共領(lǐng)取到的養(yǎng)老金的差值來(lái)衡量3。（1）、30歲到55歲其繳存的養(yǎng)老保險(xiǎn)金：其退休后第一個(gè)月領(lǐng)取的養(yǎng)老保險(xiǎn)金：其中至75歲死亡共取得的養(yǎng)老保險(xiǎn)金：經(jīng)計(jì)算得: =元 , =元 程序見(jiàn)附錄（4）：對(duì)于這結(jié)果，很顯然，在這種情況下養(yǎng)老保險(xiǎn)基金收支平衡較難維持，出現(xiàn)了缺口。缺口：=元職工繳存的養(yǎng)老保險(xiǎn)基金與其領(lǐng)取的養(yǎng)老金之間達(dá)到收支平衡時(shí)，職工領(lǐng)取養(yǎng)老金年，即越小越好，又因?yàn)槔U存養(yǎng)老保險(xiǎn)基金不變的，只有要發(fā)生變化。故：經(jīng)計(jì)算得（程序見(jiàn)附錄（5）：=15故該職工領(lǐng)取養(yǎng)老金到70歲時(shí)，其繳存的養(yǎng)老保險(xiǎn)基金與其領(lǐng)取的養(yǎng)老金之間達(dá)到收支平衡。（2

21、）、30歲到60歲其繳存的養(yǎng)老保險(xiǎn)金：其領(lǐng)取的養(yǎng)老保險(xiǎn)金：其中；60歲至75歲死亡共取得的養(yǎng)老保險(xiǎn)金：同理計(jì)算可得：=元, =元, 元 ， =14故該職工領(lǐng)取養(yǎng)老金到74歲時(shí)，其繳存的養(yǎng)老保險(xiǎn)基金與其領(lǐng)取的養(yǎng)老金之間達(dá)到收支平衡。（3）、30歲到65歲其繳存的養(yǎng)老保險(xiǎn)金：其領(lǐng)取的養(yǎng)老保險(xiǎn)金：其中至75歲死亡共取得的養(yǎng)老保險(xiǎn)金：同理計(jì)算可得： =元， =元對(duì)于這結(jié)果，很顯然，所有沒(méi)有缺口出現(xiàn)。同樣可計(jì)算表出：=12故該職工領(lǐng)取養(yǎng)老金到77歲時(shí)，其繳存的養(yǎng)老保險(xiǎn)基金與其領(lǐng)取的養(yǎng)老金之間達(dá)到收支平衡。綜上所述：各情況職工繳存的總共養(yǎng)老保險(xiǎn)基金與其總共領(lǐng)取的養(yǎng)老金的對(duì)比如圖30246810121416

22、18 圖3 繳存與領(lǐng)取的養(yǎng)老金對(duì)比注：:30-55歲總共交養(yǎng)老保險(xiǎn)費(fèi); :30-60歲總共交養(yǎng)老保險(xiǎn)費(fèi); :30-65總共交養(yǎng)老保險(xiǎn)費(fèi);:55-75歲總共領(lǐng)取養(yǎng)老金; :60-75歲總共領(lǐng)取養(yǎng)老金; :65-75歲總共領(lǐng)取養(yǎng)老金5.4 模型四為了保證我國(guó)社會(huì)養(yǎng)老保險(xiǎn)基金不僅實(shí)現(xiàn)當(dāng)期收支平衡34，而且還要在未來(lái)長(zhǎng)時(shí)期內(nèi)保持收支平衡，并要達(dá)到目標(biāo)替代率，本文中就就業(yè)年齡5，退休年齡，養(yǎng)老金替代率，工資增長(zhǎng)率來(lái)作變量分析。（1）、達(dá)到收支平衡，以繳費(fèi)期的收入滿(mǎn)足若干年后退休養(yǎng)老金的支付34。設(shè)養(yǎng)老金收支平衡的目標(biāo)期為n年，n年期間內(nèi)社會(huì)養(yǎng)老金收支平衡可表示為各年養(yǎng)老金積累額的期末終值等于零，建立以下

23、模型：則：其中。 （2）、達(dá)到養(yǎng)老金替代率按照國(guó)家對(duì)基本養(yǎng)老保險(xiǎn)制度的總體思路，未來(lái)基本養(yǎng)老保險(xiǎn)的目標(biāo)替代率確定為58.5%. 替代率較低，退休職工的生活水準(zhǔn)低，養(yǎng)老保險(xiǎn)基金收支平衡容易維持；替代率較高，退休職工的生活水準(zhǔn)就高，養(yǎng)老保險(xiǎn)基金收支平衡較難維持，可能出現(xiàn)缺口。即我們算得的養(yǎng)老金/退休前的工資與58.5%相差不大。5.4.1影響基金收支平衡的相關(guān)變量分析5.4.1.1就業(yè)年齡(參保年齡)根據(jù)我國(guó)的基本養(yǎng)老保險(xiǎn)制度，每個(gè)職工從歲開(kāi)始參保，到歲退休的工作期間內(nèi)每年繳納的養(yǎng)老保險(xiǎn)費(fèi)之和即為該職工的總供款額，將這筆款額折算為其在歲初的現(xiàn)值為：則每個(gè)退休職工從歲到歲每年獲得的養(yǎng)老金總和為該職工

24、的總領(lǐng)款額，將這筆領(lǐng)款額也折算為其在歲初的現(xiàn)值，其中包括基礎(chǔ)養(yǎng)老金在歲初的現(xiàn)值和個(gè)人賬戶(hù)養(yǎng)老金在歲初的現(xiàn)值。則;其中：根據(jù)社會(huì)保險(xiǎn)基金“以收定支”的原則進(jìn)行測(cè)算，則：據(jù)此，在其他變量不變的情況下，每增大一歲，養(yǎng)老保險(xiǎn)的繳費(fèi)年限就會(huì)減少一年，總供款額會(huì)因此減少，進(jìn)入個(gè)人賬戶(hù)的供款額也相應(yīng)減少，故個(gè)人賬戶(hù)儲(chǔ)存額減少，從而個(gè)人賬戶(hù)養(yǎng)老金年領(lǐng)取額也降低。在領(lǐng)取年限不變的情況下，總領(lǐng)款額也因此而減少。但據(jù)上式的數(shù)量分析結(jié)果表明，總領(lǐng)款額的減少幅度要大于總供款額的減少幅度。故和的正差額變大，即結(jié)余或積累增大。因此，推遲職工的就業(yè)年齡有利于減少養(yǎng)老金負(fù)擔(dān)，緩解就業(yè)壓力。而限制正式職工最低年齡，延長(zhǎng)年輕人的教

25、育年限等，都可以為推遲職工開(kāi)始工作年齡的有效途徑。另外，從經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)國(guó)家的經(jīng)驗(yàn)來(lái)看，推遲就業(yè)年齡也是符合社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的客觀規(guī)律的。5.4.1.2 退休年齡退休年齡是決定養(yǎng)老金負(fù)擔(dān)水平的一個(gè)基本因素45。在平均預(yù)期壽命和保障水平一定的情況下，提高退休年齡，不僅可以縮短平均享用養(yǎng)老金年限，降低養(yǎng)老金支付總負(fù)擔(dān)，而且還可以相對(duì)延長(zhǎng)職工繳納養(yǎng)老保險(xiǎn)費(fèi)的期限，增加養(yǎng)老保險(xiǎn)基金收入，從雙向有利于實(shí)現(xiàn)養(yǎng)老基金收支的平衡。據(jù)國(guó)際勞工局估計(jì)，退休年齡從60歲提高到65歲，養(yǎng)老金負(fù)擔(dān)能下降近50 。在人口年齡結(jié)構(gòu)既定時(shí)，退休年齡越低則扶養(yǎng)比(即退休職工數(shù)與在職職工數(shù)的比率)越高，退休金支出就越大；反之，退休年齡越高

26、，撫養(yǎng)比就越低，退休金支付也就越少，就越利于收支平衡。通過(guò)觀察問(wèn)題3的結(jié)果，也可得到，在相同時(shí)，越大，缺口越小，當(dāng)達(dá)到一定時(shí)，將不會(huì)出現(xiàn)缺口，即達(dá)到養(yǎng)老保險(xiǎn)金收支平衡。我國(guó)現(xiàn)階段男性60歲，女性55歲的退休年齡規(guī)定制訂于上個(gè)世紀(jì)50年代初。當(dāng)時(shí)男女平均預(yù)期壽命分別為40歲和423歲。據(jù)世界衛(wèi)生組織及聯(lián)合國(guó)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，目前我國(guó)內(nèi)地人均壽命男性達(dá)72歲，女性達(dá)73.6歲，其中城鎮(zhèn)人均壽命已經(jīng)超過(guò)73歲。因此，我國(guó)退休年齡存在較大的提高空間。從國(guó)際情況看，多數(shù)已建立養(yǎng)老保險(xiǎn)制度國(guó)家的男女從業(yè)人員的退休年齡為6265歲左右，同時(shí)考慮人口老齡化和人類(lèi)壽命延長(zhǎng)等因素，有些國(guó)家已經(jīng)或正在考慮進(jìn)一步提高退休年

27、齡。（見(jiàn)表5，部分國(guó)家退休年齡的變化。）國(guó)家先行退休年齡將要實(shí)行的退休年齡男性女性男性女性美國(guó)65656767英國(guó)65606565日本60566560希臘60606565德國(guó)63606565哥倫比亞60556257愛(ài)爾蘭65656666立陶宛60556260阿根廷60556560新西蘭60606262尼日利亞55556060秘魯60556565匈牙利60556262黎巴嫩60556464表5 部分國(guó)家退休年齡的變化因此我國(guó)也可適當(dāng)提高在職職工退休年齡，但是，在我國(guó)提高退休年齡又碰到就業(yè)壓力過(guò)大的難題。據(jù)預(yù)計(jì)，到2020年我國(guó)l5歲 59歲的就業(yè)年齡人口比2000年增加約1.48億，如果從現(xiàn)在起

28、退休年齡提高到65歲，勞動(dòng)供給在因人口凈增而增大的基礎(chǔ)上再加上退休年齡提高而引起的凈增，預(yù)計(jì)2020年要比2000年凈增1.77億。由此，至少就短期而言，提高退休年齡可能帶來(lái)過(guò)大的就業(yè)壓力。但根據(jù)部分積累式養(yǎng)老保險(xiǎn)平衡式，不提高退休年齡是無(wú)法實(shí)現(xiàn)平衡的。從長(zhǎng)遠(yuǎn)看，提高退休年齡勢(shì)在必行。在這種情況下只有采取靈活的做法，根據(jù)我國(guó)就業(yè)年齡人口數(shù)變動(dòng)狀況5采取分步提高退休年齡的方式。（見(jiàn)表6）年份0-14歲的人口數(shù)（億）15-59歲的人口數(shù)（億）60歲以上人口數(shù)（億）65歲以上人口數(shù)（億）19913.207.401.020.6619953.424.741.350.7520003.538.221.280

29、.8720202.829.702.311.6120302.769.183.352.2420502.908.494.123.07表6 中國(guó)未來(lái)人口發(fā)展預(yù)測(cè)(1990-2050)從表6可看出我國(guó)就業(yè)人口的變動(dòng)狀況是：從2000年起到2020年，我國(guó)就業(yè)年齡(1559歲)人口數(shù)一直遞增，從8.22億增加到9.70億，2020年以后出現(xiàn)遞減趨勢(shì)，到2050年遞減到6億多；2050年以后遞減速度趨于緩和。根據(jù)以上就業(yè)年齡人口數(shù)變動(dòng)狀況，退休年齡的提高可采取以下方式：2020年以前由于社會(huì)就業(yè)壓力繼續(xù)增大，退休年齡可保持現(xiàn)行規(guī)定不變；2020年起社會(huì)就業(yè)壓力減輕，可采取每隔幾年提高1歲退休年齡的分步走的方

30、法，逐步把退休年齡提高到65歲，以減輕社會(huì)養(yǎng)老負(fù)擔(dān)的壓力；2050年以后退休年齡可保持65歲不變。觀察模型三的結(jié)果，也可以得到，當(dāng)參保年齡為30歲時(shí)，在55歲退休的缺口遠(yuǎn)大于60歲退休的缺口，而在65歲退休沒(méi)有缺口出現(xiàn)，顯然延長(zhǎng)退休年齡是維持收支平衡的重要因素。5.4.1.3 養(yǎng)老金替代率目前發(fā)達(dá)國(guó)家的基本養(yǎng)老保險(xiǎn)金替代率基本保持在40一50 ，美國(guó)約為38 ，英國(guó)約為50 ，德國(guó)約為446, 荷蘭約為326,澳大利亞約為40。而我國(guó)目前平均基本養(yǎng)老金替代率為82 ，山東省目前的平均基本養(yǎng)老金替代率為838 ，但有的地市卻超過(guò)了100。根據(jù)養(yǎng)老保險(xiǎn)制度改革34的規(guī)劃，養(yǎng)老金的替代率要在35年內(nèi)

31、降低到585 。根據(jù)財(cái)政部社會(huì)保障司對(duì)20002050年的基金收支情況所作的預(yù)測(cè)，在假定其他因素不變的情況下，如果把目標(biāo)替代率降低的時(shí)間縮短，可以保證基金在2050年之前不出現(xiàn)赤字，可更好的維系養(yǎng)老金收支平衡，并達(dá)到養(yǎng)老金目標(biāo)替代率(具體見(jiàn)表7) 。可見(jiàn)，目標(biāo)替代率降低的時(shí)間長(zhǎng)短對(duì)基金收支平衡也會(huì)產(chǎn)生很大的影響。替代率下降所需時(shí)間(年)基金首次出現(xiàn)赤字的年份35202830203025203320203715204110表7 養(yǎng)老金替代率影響基金收支平衡分析表注：“一”表示2050年以前無(wú)赤字。5.4.1.4 工資增長(zhǎng)率由于職工繳納的保險(xiǎn)費(fèi)與領(lǐng)取的保險(xiǎn)費(fèi)均按一定的比例與工資掛鉤39，因此一旦工

32、資增長(zhǎng)，職工所繳納與所領(lǐng)取的保險(xiǎn)費(fèi)也會(huì)隨著增長(zhǎng)。根據(jù)對(duì)以上公式的計(jì)算分析可知，工資增長(zhǎng)率對(duì)職工領(lǐng)取的保險(xiǎn)費(fèi)額的影響幅度遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)對(duì)其所繳納的保險(xiǎn)費(fèi)額的影響幅度，從而使E與F的正差額變小，即使積累或結(jié)余變少。因此，降低工資增長(zhǎng)率可以緩解養(yǎng)老金支付負(fù)擔(dān)。5.4.2 結(jié)論： 由前面分析可知，由于就業(yè)年齡低、退休年齡低、養(yǎng)老金替代率高、工資增長(zhǎng)率高導(dǎo)致了基金收入總額減少，從而對(duì)基金收支平衡和養(yǎng)老金替代率產(chǎn)生影響。進(jìn)一步說(shuō)，目前我國(guó)的養(yǎng)老基金制度基本上是處在收不抵支，不能維持養(yǎng)老保險(xiǎn)基金收支平衡以及不能到達(dá)養(yǎng)老金替代率的惡劣局面，為了扭轉(zhuǎn)這種狀況，只有恰當(dāng)提高就業(yè)年齡、退休年齡，降低養(yǎng)老金替代率和工資增長(zhǎng)

33、率，才能良好地解決基金收支不平衡的難題；當(dāng)養(yǎng)老基金達(dá)到了收支平衡，則在保證了退休職工良好生活水平下，又不會(huì)出現(xiàn)缺口，那我們的目標(biāo)替代率就可達(dá)58.5%，或者。六 模型評(píng)價(jià)及推廣一、優(yōu)缺點(diǎn)：（1）模型一中采用的阻滯增長(zhǎng)模型與本文研究問(wèn)題相符，曲線擬合所預(yù)測(cè)的結(jié)果與實(shí)際比較吻合，具有很好的合理性；（2）模型二中企業(yè)各年齡段職工工資與企業(yè)平均工資之比采用加權(quán)平均法所算的數(shù)據(jù)來(lái)作為職工繳費(fèi)指數(shù)的參考值比較合理；（3）模型一中擬合所求得的數(shù)據(jù)在二三問(wèn)中得到全面的發(fā)揮，使得題與題之間聯(lián)系緊密；（4）模型四中考慮了多種影響企業(yè)職工養(yǎng)老保險(xiǎn)金收支平衡的因素，并做了詳細(xì)的定量與定性分析，在討論參保年齡的時(shí)候用以

34、收定支的原理來(lái)衡量收支平衡，對(duì)于退休年齡的提高有利于維持養(yǎng)老金收支平衡在問(wèn)題三中的實(shí)際數(shù)據(jù)得到驗(yàn)證；（5）文中使用了的大量數(shù)據(jù)并非猜想取得，并且文中使用大量的軟件編程，使結(jié)果更加準(zhǔn)確清晰；（6）文中給出大量的圖像表格，使讀者對(duì)文章清晰易懂；（7）對(duì)某些數(shù)據(jù)處理過(guò)于理想化；（8）對(duì)結(jié)果誤差考慮較少。七 參考文獻(xiàn)1 國(guó)務(wù)院關(guān)于完善企業(yè)職工基本養(yǎng)老保險(xiǎn)制度的決定,20052 姜啟源等，數(shù)學(xué)模型（第三版），北京：高等教育出版社，20033 蕭樹(shù)鐵等，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，北京：高等教育出版社，20034 呂志勇，新政策下養(yǎng)老保險(xiǎn)基金收支平衡精算模型的相關(guān)因素分析，山東大學(xué)學(xué)報(bào)， 2009年第1期5 杜鵬，中國(guó)人口

35、老齡化研究M，北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，19946 李海濤等，MATLAB6.1基礎(chǔ)及應(yīng)用技巧，北京：國(guó)防工業(yè)出版社7 I.D.Huntley,D.J.G.James.Mathematical Modeling,A Source book of Case Studies.Oxford University Press,19908 劉衛(wèi)國(guó)，MATLAB 程序設(shè)計(jì)教程，北京：中國(guó)水利水電出版社，2005 9 中華人民共和國(guó)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局，中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒2009：中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社，2009附錄（1）：對(duì)2010-2035年山東職工的年平均工資的預(yù)測(cè)圖像：clc;clear;t=1:5:146;x0=566;

36、xm=ones(size(t);xmm= ;r=0.125;xm(1:end)=;xt=xm./(1+(xmm/x0-1)*exp(-1*r*t);plot(t,xt,r);set(gca,xtick,t) hold on y=566 632 745 755 769 789 985 1110 1313 1428 1782 1920 2150 .2292 2601 3149 4338 5148 5809 6241 6854 7656 8772 10007 11374 .12567 14332 16614 19228 22844 26404 29688 32074;plot(y,bo)（2）對(duì)20

37、10-2035年山東職工的年平均工資預(yù)測(cè)：clc;clear;t=1:1:146;x0=566;xm=ones(size(t);xmm=;%r=i;r=0.125;xm(1:end)=;xt=xm./(1+(xmm/x0-1)*exp(-1*r*t);y=566 632 745 755 769 789 985 1110 1313 1428 1782 1920 2150 .2292 2601 3149 4338 5148 5809 6241 6854 7656 8772 10007 11374 .12567 14332 16614 19228 22844 26404 29688 32074;in

38、creas_ratio=(y(2:end)-y(1:end-1)./(y(1:end-1);xt(34:58)結(jié)果：ans = 1.0e+005 * Columns 1 through 14 0.3725 0.4187 0.4700 0.5271 0.5904 0.6603 0.7375 0.8222 0.9150 1.0162 1.1261 1.2449 1.3727 1.5095 Columns 15 through 25 1.6551 1.8090 1.9708 2.1396 2.3146 2.4946 2.6785 2.8649 3.0523 3.2393 3.4244（3）替代率：c

39、lc;clear;t=1:1:146;x0=566;xm=ones(size(t);xmm=;r=0.125;xm(1:end)=;xt=xm./(1+(xmm/x0-1)*exp(-1*r*t);plot(t,xt,r);set(gca,xtick,t); hold on y=566 632 745 755 769 789 985 1110 1313 1428 1782 1920 2150 .2292 2601 3149 4338 5148 5809 6241 6854 7656 8772 10007 11374 .12567 14332 16614 19228 22844 26404 29

40、688 32074;plot(y,b+);Increace_ratio=(y(2:end)-y(1:end-1)./(y(1:end-1);xt(34:58);increace_ratio=(y(2:end)-y(1:end-1)./(y(1:end-1);c=xt(23:48);sum1=sum(0.08*power(1.03,25:-1:0).*c/0.72);sum2=sum1/170;sum3=sum2+(c(end-1)/12+c(end-1)*1.1/12)*25*0.01/2;sum4=(sum3/(c(end-1)*12 m1=sum(c/0.72)*0.2+sum1;S1=s

41、um(xt(47:-1:22)*0.28./(0.72*xt(47:-1:22)*xt(47)*0.28;n1=sum1/170+(c(end-1)/12+S1)/2*0.25;N1=sum1/170*240+sum(xt(47:67)*0.25/2+20*(0.25/2*S1);結(jié)果：sum4 = 0.3638（4）30歲到55歲其繳存的養(yǎng)老保險(xiǎn)金和55歲到75歲領(lǐng)取的養(yǎng)老金：clc;clear;t=1:1:146;x0=566;xm=ones(size(t);xmm=;r=0.125;xm(1:end)=;xt=xm./(1+(xmm/x0-1)*exp(-1*r*t);plot(t,xt

42、,r);set(gca,xtick,t); hold on y=566 632 745 755 769 789 985 1110 1313 1428 1782 1920 2150 .2292 2601 3149 4338 5148 5809 6241 6854 7656 8772 10007 11374 .12567 14332 16614 19228 22844 26404 29688 32074;plot(y,b+);Increace_ratio=(y(2:end)-y(1:end-1)./(y(1:end-1);xt(34:68);increace_ratio=(y(2:end)-y(1

43、:end-1)./(y(1:end-1);c=xt(23:48);sum1=sum(0.08*power(1.03,25:-1:0).*c/0.72);sum2=sum1/170;sum3=sum2+(c(end-1)/12+c(end-1)*1.1/12)*25*0.01/2;sum4=(sum3/(c(end-1)*12;m1=sum(c/0.72)*0.2+sum1S1=sum(xt(47)*0.28/(35*0.72);n1=sum1/170+(c(end-1)/12+S1)/2*0.25;N1=sum1/170*20*12+3*sum(xt(47:67)*0.35/10+20*(0.

44、35/2*S1)結(jié)果:m1 = 6.4957e+005N1 = 1.0196e+006（5）并計(jì)算該職工領(lǐng)取養(yǎng)老金到多少歲時(shí)，其繳存的養(yǎng)老保險(xiǎn)基金與其領(lǐng)取的養(yǎng)老金之間達(dá)到收支平衡。55歲退休：clc;clear;t=1:1:146;x0=566;xm=ones(size(t);xmm=;r=0.125;xm(1:end)=;xt=xm./(1+(xmm/x0-1)*exp(-1*r*t);plot(t,xt,r);set(gca,xtick,t); hold on y=566 632 745 755 769 789 985 1110 1313 1428 1782 1920 2150 .2292

45、 2601 3149 4338 5148 5809 6241 6854 7656 8772 10007 11374 .12567 14332 16614 19228 22844 26404 29688 32074;plot(y,b+);Increace_ratio=(y(2:end)-y(1:end-1)./(y(1:end-1);xt(34:58);increace_ratio=(y(2:end)-y(1:end-1)./(y(1:end-1);c=xt(23:48);sum1=sum(0.08*power(1.03,25:-1:0).*c/0.72);sum2=sum1/170;sum3=

46、sum2+(c(end-1)/12+c(end-1)*1.1/12)*25*0.01/2;sum4=(sum3/(c(end-1)*12;m1=sum(c/0.72)*0.2+sum1S1=sum(xt(47:-1:22)*0.28./(0.72*xt(47:-1:22)*xt(47)*0.28;n1=sum1/170+(c(end-1)/12+S1)/2*0.25;%N1=sum1/170*12*u+sum(xt(47:(47+u)*0.25/2+u*(0.25/2*S1);for i=0:25 u=i; N1=sum1/170*12*u+sum(xt(47:(47+u)*0.25/2+u*(0.25/2*S1) pp(i+1)=N1-6.4957*power(10,5);endf=find(abs(pp)=min(abs(pp)結(jié)果：f =8附件1山東省職工歷年平均工資統(tǒng)計(jì)表年份平均工資