Duffing振子奇怪吸引子的簡單胞映射計(jì)算

1、第期周 舟等振子奇怪 吸 引子的簡單胞 映射計(jì)算振子 奇怪吸 引 子的 簡 單胞 映 射計(jì) 算周舟侯之超清華 大學(xué) 工 程力學(xué) 系,北 京摘要本文 運(yùn) 用 簡單胞 映射 理 論 , 計(jì) 算 出了 有阻 尼狀態(tài)空間就劃 分 為一系列 的在 乞 方向邊長 為 從 的振子 的強(qiáng) 迫振 動在 一定 參數(shù)條件 下存在 的奇維 長方體每 一長 方體稱為 一 個(gè)胞 , 用維胞 矢量怪吸 引子算法 簡單結(jié)果理想通過實(shí)例證 明了簡單來表征 對于 式所描述的動,二,胞映射理論 在計(jì)算混 沌問題方面 的有效性力 系統(tǒng) ,不 同 時(shí)刻 ,狀態(tài)變 量落入不同 胞中 與點(diǎn)映射關(guān)健 詞簡單胞映 射 ,方程 ,奇怪吸 引子類

2、似 ,周期始末所對應(yīng)胞滿 足引言對 于低 維 非線 性動力 問題 ,年代誕 生并發(fā)展的胞 映射算法 ,因其有效性而受 人們 的關(guān)注 ,】有式 中,為胞 映射,將 一組整 數(shù) 映射 到另 一 組 整 數(shù),到阻尼振子 的 強(qiáng)迫 振動在 一 定參數(shù)條件下 存在式稱 為簡單胞映射 動力系統(tǒng) 或簡稱胞映射系統(tǒng) ,奇怪 吸 引子 對此,廣義 胞映射、模糊胞映射逐步 胞映射 就 可 以求 出動 力系統(tǒng) 的性 態(tài)對低等方法 的計(jì)算結(jié)果 與理 論分析相 吻合 氏維統(tǒng),胞映射結(jié)果與點(diǎn)映射一一對動力系應(yīng)過 去由于 計(jì)算條件所限,尚未見 到文 獻(xiàn)運(yùn)用 簡單胞映射 求 出有關(guān)的奇怪吸 引子 但是 簡單胞映射方 法 算法

3、 簡單 , 意義 明確 在計(jì)算 的 過程 中, 不 僅 可得 出周期解 的 吸引 域 , 而 且可確定 每個(gè)胞與對 應(yīng) 周 期解 相 距 的步 數(shù) 本文基 于 現(xiàn)代計(jì) 算機(jī)硬 件條件 , 運(yùn) 用簡單胞 映射方 法 , 在 機(jī)上 計(jì)算有 阻尼 振子 的強(qiáng)迫振動所 呈現(xiàn) 的奇怪吸 引子周期 運(yùn)動及其 吸 引域令表示用胞映射次 ,理解 成 恒 等映射 ,如果 由個(gè)不 同 的胞 二 , 力 構(gòu)成 的序列 , 滿足二 , 二,仇 一 “一 。 “七 二 簡單胞映射的 基 本理 論則此胞變換序列構(gòu)成周期為周運(yùn)動,簡稱的 期簡單胞映 射運(yùn)動各元素 擴(kuò) 力 稱為 周 期為的周 期胞或稱尸微分方程一由念忿二二胞

4、顯然是 尸一 胞就是不 動點(diǎn),表示平衡 狀 態(tài)一一,設(shè) 擴(kuò) 力 是 某個(gè) 尸運(yùn)動中 的 尸胞 如果 是使,習(xí)二擴(kuò)力 的最 小 正 整 數(shù),則說胞 與該 尸一控制 的系統(tǒng) 如果將系統(tǒng) 周期末 的狀態(tài)二 。用周期初 的狀態(tài)二司 表示,即運(yùn)動 相鄰 ,步換言之 ,不 經(jīng)過步映 射后 , 成為該一運(yùn) 動 的一 個(gè)周 期胞 ,任何進(jìn) 一 步 映 射 ,將 永遠(yuǎn) 留二 。二。在該 尸一運(yùn)動中 所有 用 步或 低于 步映 射到則構(gòu) 成差 分形 式 的點(diǎn)映射方程其中映射關(guān)系由運(yùn)動的 胞的集合 稱該 尸一運(yùn)動的 “步 吸 引域 ”,當(dāng),葉時(shí) 成吸 引全構(gòu)域確定點(diǎn)映射的狀 態(tài)變量是 連續(xù)而 密實(shí)的 簡單胞映射中心

5、 點(diǎn)法方 法借 鑒點(diǎn)映 射思想 , 將狀態(tài)空間散而建立 胞空 間由式構(gòu)造式所 示 胞映射 ,一般 采 用中心離這樣,一方面 反 映 出實(shí)際 上難于準(zhǔn)確量 測狀 態(tài) 空間 中點(diǎn)法對于 給定的胞 到司 ,找出其中心 點(diǎn) 二 “的點(diǎn) ,另一方面還進(jìn) 一 步減少 了計(jì)算量。 、 。 , ,在維狀態(tài) 空 間中 二夢人,幾,將各 坐標(biāo)軸,分別等 分成間距 為、的很 多小段,坐標(biāo)然后采用積 分方法 求出周 期末的 狀態(tài),即按 照式軸 乞 的每一 小段 用一個(gè)整數(shù)布來表示 一 定范 圍 的計(jì) 算二的點(diǎn) 映射 而得 到二最后 根據(jù)式一一收到第稿,一一收到修改 稿力學(xué)與實(shí)踐年第卷確定該狀態(tài) 所在的 胞,它就是 城

6、司 的月立,像胞從初始狀態(tài)胞 二確定初始胞,然 后反二,、。、,。氣了復(fù)、逐步執(zhí)行上述 中心 點(diǎn)法 過程 即可進(jìn) 行簡 單胞 映射口次苦計(jì)算 ,確定 周 期運(yùn) 動及 其吸 引 域 在點(diǎn)映 射過 程 中,若已知 解的周期,則從 亡 二積分到二而求得 嘆如 果周 期 未知則仍然 采用 前述 步一劣,驟,只是將 改為 某個(gè)小 的時(shí) 間間 隔二此外,非自一洽系統(tǒng)也可通過將 時(shí) 間 作 為 新 的一維 變量而 變換 為一一一自洽 系統(tǒng) ,然后 進(jìn)行計(jì)算圖劣振子的 奇怪吸引 子立對于方程毖云一擴(kuò)” ,。、次、等價(jià)的狀態(tài)方程為云一一矛根 據(jù)中心 點(diǎn)法 , 將上述 狀態(tài)方 程 寫成 胞映射格式進(jìn) 行運(yùn)算 用

7、于構(gòu)造點(diǎn)映射 的離散化 時(shí)間 間隔為 二 幾取正規(guī)胞 區(qū)域?yàn)?一三三 ,一三三將正規(guī) 胞區(qū) 間的 劃分逐漸加 密,坐標(biāo)軸劣,勻 依次 等分為、個(gè)小 區(qū) 間 圖至圖分別表 示三 種劃 分下得 到的 周期解 的 離散相圖顯然 , 隨著區(qū) 間 的加 密,該 系統(tǒng)的奇怪 吸 引子逐 步呈現(xiàn) 出來一。幾一一一一圖簡單胞映射具 有算法 簡單, 易 于 實(shí)現(xiàn) 等優(yōu)點(diǎn) 本文計(jì) 算實(shí)踐表 明, 當(dāng)區(qū) 間 劃分得 足夠小 , 簡單胞映射也能得 到比 較理 想 的 奇怪 吸 引子 相 圖 另 外 , 四 階變步長 龍格 一 庫塔法 具 有比較 理 想 的積 分 效果 既 有一定 的運(yùn) 算效 率, 也 可 以獲 得

8、較高的計(jì) 算精度圖 與文、文的理 論 分 析 是 一 致 的當(dāng)然 ,應(yīng)用廣義胞 映射更 為復(fù) 雜 的 法 也 可以得到等算比較 理想 的相圖!.粼 0 50工9 0j參考文獻(xiàn)1 Hsu.teoyroee一 t o 一 e eanC S A hf lll lmP Pigsystem s. J A PIM 己e h ,1 9 8 0,47 :9 31 、9 3 92E d w a rd s D ,.ChoiHTUs eoffuz zyl og i cl at et h est a ti s ti calP r o per t i esofs t r an gea t te ha ot i es y

9、s t ems .ASMEJ o “ma ljoA P P I毖dee s,:2 0 5 、 2 1 71 9 9 78 8 (2)3 凌復(fù)華 . 非 線性動 力學(xué)系統(tǒng) 的 數(shù)值 研究 . 上 海大學(xué) 出版社,1989na而ealdytoeaeu-lrcato r si nM 己c h a 。 -: 上海交 通一.一 1.一 0.1 5050005101 5x1CALCULATIONONTHESTRANGEATTRACTORSOFTHEDUFFINGOSCILLA少I, OR】V IT HS I MP L EC E L LMA P P ING圖 IN 劣 x =N工 2=1 0 0( 下轉(zhuǎn) 第

10、 2頁)力學(xué)2 03 04 0累積概率 分布 函數(shù)0 匕1 02 03 04 0(b ) 概率密度 函數(shù)圖 1表 1 各測 點(diǎn) 1 方 向主 應(yīng)力均 值、標(biāo)準(zhǔn) 離差及9 5 %工 信區(qū) 間側(cè)點(diǎn)35值23 .652 82 1 .4 02 2均95% 置 信 區(qū) 間 17 .99 、2 9 .3 1 1 7 .3 9 、2 5 .4 1、 2 7標(biāo)準(zhǔn) 差.9 4 4 3 15 6 7 9離95 % 置 信 區(qū) 間 4.9 8 、 1 3 .9 0 0 .9 3 、 1 0 .4 3勺 1 1 2 6側(cè)點(diǎn)7l 113均值.233282 4 4 9 71 3 月 2 7 395% 置 信 區(qū) 間 19

11、. 93、2 6 7 3 2 1 .0 6 、 2 7 .9 3 1 1 .5 2 1 6 .3 3標(biāo)準(zhǔn)離 差5 .7 2 44 .8 9 1 44 .5 2 195 % 置 信 區(qū)間3 .0 6 、8 .3 91 .9 9 、 7 .7 92 .3 1 、6 .7 3表 2各測 點(diǎn) 1 方 向主 應(yīng) 力大 于 3 a的失效概 率側(cè)點(diǎn)34571 113失效概率 0刀0 5 4 0 .0 1 3 1 0 .0 0 6 3 0 .0 0 8 5 0與實(shí)踐20 00年第22卷3結(jié)論在 路面 隨機(jī) 激 勵 作 用下 , 車架 結(jié)構(gòu)動態(tài)應(yīng)變 響應(yīng)信 號 的 概 率統(tǒng) 計(jì) 分 析 , 在 一 定 條件 下

12、 , 能 有 效地給 出結(jié)構(gòu)動 強(qiáng) 度 的 概 率描述 , 并對 結(jié)構(gòu)優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 和同類產(chǎn)品 的對 比 分析 具 有指導(dǎo) 意 義 . 但是 , 由于 結(jié)構(gòu)動態(tài)應(yīng)變響應(yīng) 信號 幅值與路面和 車 速有關(guān) ,所以 ,試驗(yàn)最 好是在試驗(yàn)場進(jìn)行 . 否 則 , 應(yīng) 指 明試 驗(yàn)路 段 統(tǒng)計(jì) 特性 和試驗(yàn)車速 .參考 文獻(xiàn)1M.費(fèi)史 【波 蘭 概率論及數(shù) 理 統(tǒng) 計(jì) 上 海 : 上 ?？茖W(xué)技術(shù) 出版社 ,.0 4 、 4 3 51 9 7 842蘇冀林 . 材料力學(xué) . 北京 :人 民 教育出版社 ,1979.9、193張洪欣主 編 . 汽車 設(shè)計(jì). 北京 : 機(jī) 械工業(yè)出 版社 ,1981.3 3

13、5 、3 8 2T HEP RO B AB IL IT YS T A T I S T IC A LANA L YS I SF O RT HED Y NA MI CS T RA I NRE S P O NS EO FA UT O MOT IVEC HAS S I SL IUW a n fe n g(eTst & A n alysis C en tre , X i a nHi ghw即 U n iversity,X i a n7 1 0 0 6 4 . Ch i n aYEJ u n y a n(In s titu teo f A u to m o b ile ,ShaanxiAutomobi l

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15、 s dy nami es t r e s s ,15i.PutforwardinthisPaPerKe ywor dsa , l t o mo t i v ee h ass i s ,dynami est re s s ,s ta ti s t i e a la na l y s i s( 上接 第 02 頁)Z H O U Zh ouH O U Z hieh 胡s nuan verstenn a(T i gh U i iyBi jig1 00 08 4Ch i),sr aeI nth i sp a p e r,t l z el ee l lap p i ngAbttSi mpCMt ll eory( SC入1 ) 15 u se d t o eo m p u te s tr a n g e a tt r a e -to rs int h e fore e d r es p o n s e s o f th e d an iP e d D u fi n go s e illa torwith s o me P