三角形(符必軻

1、三 角 形一、三角形的邊與角1、主要定理三角形內(nèi)角和定理：三角形三內(nèi)角的和等于180；外角定理：三角形每一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩內(nèi)角的和；不等定理：若三角形中的兩邊不等，則兩邊所對(duì)的角也不等，大邊所對(duì)的角較大；不等定理的逆：若三角形的兩角不等，則兩角所對(duì)的邊也不等，大角所對(duì)的邊較大。2、角的證明與計(jì)算證明的主要內(nèi)容：角的相等，角的互余（或互補(bǔ)），角的和、差、倍、分的等量關(guān)系；證明明與計(jì)算通常所用的主要知識(shí)：三角形（或多邊形）的內(nèi)角和定理；全等三角形、相似三角形的性質(zhì)定理；共點(diǎn)圓的知識(shí)；三角形“五心”性質(zhì)、尤其是外心、內(nèi)心、垂心對(duì)于一邊的張角公式；3、舉例例1：在ABC中，O為內(nèi)心，點(diǎn)E、F都

2、在大邊BC上，已知BF=BA，CE=CA，求證：EOF=B+C。講解：如右圖證一：利用三角形內(nèi)角和定理及等腰三角形性質(zhì)證明；證二：利用三角形內(nèi)心性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)證明。例2：在銳角ABC中，AB為大邊，AC為小邊，O為外心，H為垂心，證明：OAH=C-B。講解：如右圖利用垂心的性質(zhì)及外心對(duì)于一邊的張角公式和三角形內(nèi)角和定理證明（另外還可以推得銳角三角形外心、垂心關(guān)于角的一個(gè)有用關(guān)系OBHOCH=OAH）。例3：在平行四邊形ABCD中，BAD的平分線交BC、DC于F、E，O是CEF的外心，求證明ABC=2OBD。講解：如右圖利用平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及三角形外心的性質(zhì)證明。例4：

3、在ABC中，A=70，點(diǎn)I是內(nèi)心，已知AC+AI=BC，求B的度數(shù)。講解：如右圖利用三角形內(nèi)心性質(zhì)及等腰三角形性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算。例5：兩個(gè)等腰三角形的頂角互補(bǔ)，一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)a、a、b（ab），另一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)b、b、a，求它們的內(nèi)角的度數(shù)。講解：將兩個(gè)三角形拼成右圖形狀，利用等腰三角形性質(zhì)計(jì)算。二、三角形的全等1、全等三角形的性質(zhì)；2、全等三角形的判定：定理：兩個(gè)三角形如果滿足下列條件，則兩個(gè)三角形全等兩邊及夾角對(duì)應(yīng)相等；兩角及夾邊對(duì)應(yīng)相等；三邊對(duì)應(yīng)相等。另補(bǔ)充：1如果兩三角形有兩角及其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，則兩三角形全等； 2如果兩三角形有兩邊及其中大邊的對(duì)角分別對(duì)應(yīng)相等，則兩三角形全等

4、。證明：如右圖，設(shè)AB=AB，AC=AC，且ACAB、B=B，若BCBC，不防設(shè)BCBC，于是在BC上取一點(diǎn)C，使B C= BC，則ABCABC，由題設(shè)知AC= AC= A C，C=ACC，在ABC中，ACCB，從而CB，于是ABAC，與題設(shè)ACAB矛盾，所以BC= BC，即C與C重合，故ABCABC。推論：1在三角形中，等邊對(duì)等角，等角對(duì)等邊（見等腰、等邊三角形）； 2等腰三角形兩腰上的高、中線及兩底角的平分線相等； 3若三角形的兩高、兩中線、兩角平分線相等，則是等腰三角形。補(bǔ)充定理：若兩三角形有兩邊相等而第三邊不等，是第三邊所對(duì)的角也不等，大邊所對(duì)的角較大；若兩三角形有兩邊相等而夾角不等，

5、則夾角的對(duì)邊也不等，夾角大的對(duì)邊較大；兩直角三角形的斜邊相等而一銳角不等，則不等銳角所對(duì)的邊也不等，大角所對(duì)的邊較大；等腰三角形的底邊上的中線、高線及頂角的平分線共線。證明：兩中線相等的三角形等腰，如右圖，設(shè)BE=CF，G是重心，連結(jié)AG并延長(zhǎng)交BC于D，AD也是BC邊上的中線，若ABAC，不妨設(shè)ABAC，則ADBADC，在GBD和GCD中，BGCG，即BECF，BECF，與題設(shè)BE=CF矛盾，反之，若ACAB，同樣證得CFBE，也與題設(shè)BE=CF矛盾，所以AB=AC。3、全等形的證明及相關(guān)知識(shí)的應(yīng)用（略）；4、三角形的巧合點(diǎn)（五心）：外心：三角形三邊中垂線交于一點(diǎn)外心（證明略）。簡(jiǎn)單性質(zhì)：1

6、三角形外心到三頂點(diǎn)的距離都等于三角形外接圓的半徑；2三角形外心對(duì)于邊的張角等于該邊對(duì)角的2倍；3三角形外心是其中點(diǎn)三角形的垂心，反之亦然。垂心：三角形三邊上的高線交于一點(diǎn)垂心（證明略）。簡(jiǎn)單性質(zhì)：1三角形的垂心、三高線足和三角形的頂點(diǎn)分別構(gòu)成三組四點(diǎn)共圓；2三角形的垂心到頂?shù)木嚯x是外心到對(duì)邊距離的2倍；3三角形的垂心是其垂足三角形的內(nèi)心或旁心。內(nèi)心：三角形三內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)內(nèi)心（證明略）。簡(jiǎn)單性質(zhì)：1內(nèi)心到三邊等距；2設(shè)I是ABC的內(nèi)心，聯(lián)結(jié)AI并延長(zhǎng)交ABC的外接圓于另一點(diǎn)M，則MI=MB=MC；3設(shè)I是ABC的內(nèi)心，則BIC=90+A CIA=90+B AIB=90+C4歐拉公式：ABC

7、的內(nèi)心為I，外心為O，設(shè)R、r分別是ABC的外接圓與內(nèi)切圓半徑，則OI2=R2-2Rr。旁心：三角形一內(nèi)角平分線與不相鄰的兩外角平分線交于一點(diǎn)旁心（證明略）。簡(jiǎn)單性質(zhì)：1三角形的內(nèi)心與旁心能構(gòu)成三組三點(diǎn)共線和三組四點(diǎn)共圓；2旁心與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成三組三點(diǎn)共線；3設(shè)IA、IB、IC分別是ABC的三個(gè)旁心，則BIAC=90-BAC CIBA=90-CBA AICB=90-ACB4旁心與三角形的半周長(zhǎng)聯(lián)系密切（如右圖）。重心：三角形三條中線交于一點(diǎn)重心。講解：如右圖，設(shè)BE、CF是ABC的兩條中線，延長(zhǎng)CF至H，使FH=FG，連接AG并延長(zhǎng)交BC于D，利用平行四邊形的性質(zhì)及三角形中位線相關(guān)知識(shí)證

8、明。簡(jiǎn)單性質(zhì)：1重心到對(duì)邊的距離等于重心到頂點(diǎn)的；2三角形的中點(diǎn)三角形將原三角形分成四個(gè)相似三角形，其面積等于原三角形面積的四分之一；3中點(diǎn)三角形的頂點(diǎn)在垂足三角形的外接園周上。5、歐拉線：任意三角形的外心O、重心G、垂心H三點(diǎn)共線，并且=。6、舉例：例6：設(shè)ABC的內(nèi)心為I，聯(lián)結(jié)AI與ABC的外接圓O交于另一點(diǎn)E，AE與BC相交于點(diǎn)D，設(shè)R、r分別是ABC的外接圓、內(nèi)切圓半徑，求證：E為BCI的外心 AD*AE=AB*ACAI*IE=2Rr OI2=R2-2Rr證明：如右圖， 連結(jié)BE、CE，因?yàn)锽E=CE=EI，所以E為BCI的外心；因?yàn)锳BDAEC，所以，AD*AE=AB*AC；過(guò)I作I

9、FAC，垂足為F，則IF=r，聯(lián)結(jié)EO并延長(zhǎng)交O于J，聯(lián)結(jié)JC，則RtAFIRtJCE，所以，AI*CE=JE*IF，又由知CE=IE，JE=2R，IF=r，所以AI*IE=2Rr；設(shè)直線OI與O相交于點(diǎn)M、N，由和相交弦定理，2Rr=AI*IE=IM*IN=（R+OI）（R-OI）=R2-OI2，所以O(shè)I2=R2-2Rr。例7：ABC中，A90，ABAC，高線BE、CF交于H，O為ABC的外心，且AO=AH，BAC的平分線AD所在的直線交BE、CF的延長(zhǎng)線于M、N，求證：HM=HN。例8；直角三角形中，直角的平分線平分斜邊上中線和高線的夾角。例9：銳角三角形的高和垂心到頂點(diǎn)線段的乘積之和等于

10、三角形各邊平方和的一半。例10：關(guān)于三角形各邊分別與垂心對(duì)稱的三個(gè)點(diǎn)都在三角形的外接圓上。例11：設(shè)D、E、F分別是正ABC三邊上的三等分點(diǎn)，如右圖，若ABC的面積為S，求GHI的面積。解：連接AG，容易證明ABDBCEACF，AFHBDICEG，設(shè)HIG的面積為x，AFH的面積為z，四邊形BIHF的面積為y，已知 ，又=2即=2，y=5z，與方程組聯(lián)立求得數(shù)x=。例12：三角形的高和側(cè)邊的夾角等于頂點(diǎn)與外心連線和側(cè)邊的夾角。例13：以三角形ABC的三邊為底邊分別向外作正三角形，證明這三個(gè)三角形的外接圓共點(diǎn)。例14：在三角形中，證明：若邊長(zhǎng)小于、等于或大于該邊上中線的2倍，則該邊的對(duì)角應(yīng)為銳角

11、、直角或鈍角。例15：等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)到三邊的距離之和為定值。例16：設(shè)G是ABC的重心，延長(zhǎng)BG、CG分別至E、F，使GE=2BG，且GF=2CG，求證A、E、F三點(diǎn)共線。例17：設(shè)O是正三角形ABC的中心，證明BO、CO的中垂線必三等分BC。例18：設(shè)O是ABC的外心，則BOC=2A或360-2A。例19：設(shè)H是ABC的垂心，則BHC=180-A或A。例20：從ABC的邊BC的中點(diǎn)作A的平分線的垂線，那么這條直線將AB、AC分成兩條線段，分別等于和（ABAC）。例21：在ABC的兩邊AB、AC上向外作正方形ABDE和ACFG（D和F是A的對(duì)頂點(diǎn)），證明：線段EG垂直于從點(diǎn)A所引對(duì)邊的中線，

12、并且等于中線的2倍；以E、A、G為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)I在由點(diǎn)A所引三角形的高線上；CD、BF分別垂直于BI、CI，并且也交于由點(diǎn)A所引三角形的高線上。例22：三角形任意兩條高線足的連線與三角形另一頂點(diǎn)和三角形外接圓心的連線相互垂直。例23：已知三角形兩底角的差等于90，求證：頂角的內(nèi)角平分線和外角平分線相等。三、三角形的相似1、比例線段定理：一組平行線截兩直線，截得的線段對(duì)應(yīng)成比例。推論：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊，截得的線段對(duì)應(yīng)成比例，其逆成立。定理（角平分線定理）：三角形的內(nèi)（外）角平分線，內(nèi)（外）分對(duì)邊所得兩條線段與三角形的兩鄰邊對(duì)應(yīng)成比便（外分時(shí)，三角形其夾角的兩邊不等

13、），其逆成立。2、相似三角形相似三角形的性質(zhì)；相似三角形的判定。定理：兩三角形滿足下列條件之一，兩三角形相似：1三角形的兩角分別對(duì)應(yīng)相等；2兩條對(duì)應(yīng)邊分別對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等；3三條邊分別對(duì)應(yīng)成比例；4兩雙對(duì)應(yīng)邊分別成比例且其中大邊所對(duì)的角相等；5對(duì)應(yīng)邊分別平行；6對(duì)應(yīng)邊分別垂直。定理：兩直角三角形若具備下列條件之一，兩直角三角形相似：1一銳角對(duì)應(yīng)相等； 2勾股成比例；3弦勾或弦股成比例。推論：1相似三角行 的對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線成比例；2相似多邊形周長(zhǎng)比等于相似比、面積比等于相似比的平方；3邊數(shù)相同的正多邊形相似，它們的外接圓半徑或邊心距的比等于它們的相似比。3、勾股定理：勾2+股

14、2=弦2定理：在直角三角形中，1弦的高是勾股在弦上射影的比例中項(xiàng)；2勾或股各是它們自己在弦上射影與弦的比例中項(xiàng)；3勾股的平方之比等于它們?cè)谙疑系纳溆爸?。推論?在ABC中，一設(shè)CDAB于D，則BC2=AB2+AC2-2*恒成立。2三角形的一角是直角、銳角、鈍角，該角對(duì)邊的平方等于、小于或大于其它兩邊的平方和，共逆成立。3平行四邊形四邊平方的和等于兩對(duì)角線的平方和。4、舉例例24：勾股定理證一：證二：例25：設(shè)ABC的邊長(zhǎng)AB=c，BC=a，AC=b，滿足a2=b2+bc，證明A=2B簡(jiǎn)證：由a2=b2+bc=b（b+c），聯(lián)想圓冪定理，延長(zhǎng)CA到D，使AD=AB=c，由切割線定理的逆易知BC是圓的切線，CD是圓的割線，又由弦切角定理：ABC=D=ABD，BAC=D+ABD=2D=2ABC，所以A=2B。例26：設(shè)M是三角形外接圓上的任意一點(diǎn)，求證：M點(diǎn)到三角形任一條邊上的距離和它到該邊所對(duì)頂點(diǎn)距離的積都相等。例27：如果兩直角三角形面積之比等于它們斜邊的平方比，則兩三角形相似。例28：ABC中，BC邊的中垂線和A的平