韋達(dá)定理的應(yīng)用[教學(xué)參考]

1、韋達(dá)定理x型韋達(dá)定理24【2018河北廊坊八中高三模擬】設(shè)圓的圓心為，直線過點(diǎn)且與軸不重合， 交圓于兩點(diǎn)，過作的平行線交于點(diǎn).（1）證明為定值，并寫出點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)，過點(diǎn)作直線，交點(diǎn)的軌跡于兩點(diǎn) (異于),直線的斜率分別為，證明 為定值.【答案】(1) (2)見解析. 解析 （1）如圖，因?yàn)椋?，故，所以，故，又圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，從而，所以,有題設(shè)可知， 由橢圓的定義可得點(diǎn)的軌跡方程為. （2）設(shè)，當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，此時(shí)此時(shí)容易解出的坐標(biāo)，此時(shí).綜上可知.點(diǎn)睛 （1）動(dòng)點(diǎn)的軌跡問題，先考慮動(dòng)點(diǎn)是否有幾何性質(zhì)，然后利用曲線的定義寫出曲線方程.（2）解析幾何中的定點(diǎn)定值問題，通常把目標(biāo)轉(zhuǎn)化為

2、（或）的整體，再用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化即可.25【2018湖南株洲高三質(zhì)檢一】已知橢圓與直線都經(jīng)過點(diǎn).直線與平行，且與橢圓交于兩點(diǎn)，直線與軸分別交于兩點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）證明 為等腰三角形.【答案】(1) ；(2)證明見解析.【解析】試題分析 （1）將點(diǎn)M分別代入直線方程及橢圓方程，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；（2）設(shè)直線m的方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及直線的斜率公式求得 MA+ MB=0，即可求得MEF為等腰三角形試題解析 （1）由直線都經(jīng)過點(diǎn)，則a=2b，將代入橢圓方程 ，所以為等腰三角形.點(diǎn)睛 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，直線的斜率公式，考查

3、計(jì)算能力，證明三角形為等腰三角形轉(zhuǎn)化為證明斜率之和為0是關(guān)鍵. 30【2018遼寧沈陽高三質(zhì)監(jiān)三】已知定直線，定點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓過點(diǎn)且與相切. 學(xué)（ ）（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）橢圓的弦的中點(diǎn)分別為，若平行于，則斜率之和是否為定值？ 若是定值，請求出該定值；若不是定值請說明理由.【答案】（1）（2）斜率之和為定值【解析】試題分析 （）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意構(gòu)建關(guān)于的方程組，即可得橢圓方程（）設(shè)點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2），可知PQMN，所以 PQ= MN=1，設(shè)直線PQ的方程為y=x+t，代入橢圓方程并化簡得 3x2+4tx+2t26=0，利用韋達(dá)定理可計(jì)算試題解析 （）

4、設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為橢圓過點(diǎn)，所以， 將代入橢圓方程化簡得 ，因?yàn)橹本€與橢圓相切，所以， 解可得， ，所以橢圓方程為； （）設(shè)點(diǎn)，則有，由題意可知，所以，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程并化簡得 由題意可知 點(diǎn)睛 定點(diǎn)、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值 確定“定點(diǎn)”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的. 定點(diǎn)、定值問題同證明問題類似，在求定點(diǎn)、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時(shí)應(yīng)設(shè)參數(shù)，運(yùn)用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點(diǎn)、定值顯現(xiàn).含點(diǎn)代入橢圓的應(yīng)用32【2018河南洛陽高三第一次統(tǒng)考】已知短軸長為2的橢圓，直線的橫、縱截距分別為，且原點(diǎn)到直線的

5、距離為（1）求橢圓的方程；（2）直線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)且與橢圓交于兩點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)滿足，求直線的方程【答案】（1）.（2）或.解析 （1）因?yàn)闄E圓的短軸長為2，故.依題意設(shè)直線的方程為 ，由.解得，故橢圓的方程為.（2）設(shè) 當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，顯示不符合題意.當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)， ，設(shè)其方程為，由，得，所以.點(diǎn)睛 一般地，當(dāng)解析幾何中問題出現(xiàn)向量等式時(shí)，我們先尋找向量隱含的幾何意義，如果沒有幾何意義，可以轉(zhuǎn)化點(diǎn)的坐標(biāo)討論.解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系式，我們常把給定的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為含有（或）的關(guān)系式，最后利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化為所求參數(shù)的方程.韋達(dá)定理求最值28【2018河南鄭州高三質(zhì)檢一】已知橢

6、圓的左、右焦點(diǎn)分別為，以為直徑的圓與直線相切.（1）求橢圓的離心率；（2）如圖，過作直線與橢圓分別交于兩點(diǎn)，若的周長為，求的最大值.【答案】(1) ；(2) .【解析】試題分析 （1）有直線和圓相切得到關(guān)于的關(guān)系式，整理可得，從而可得（2）根據(jù)三角形的周長可得，故，可得橢圓的方程分直線斜率存在和不存在兩種情況分別求得的值，可得最大值是試題解析 （1）由題意，即，（2）因?yàn)槿切蔚闹荛L為，所以，故. 若直線斜率存在，設(shè)直線的方程為，由消去整理得，設(shè)，則 點(diǎn)睛 圓錐曲線中求最值或范圍問題的方法若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值常從以下幾個(gè)方面考慮 利

7、用判別式 構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的關(guān)鍵是在兩個(gè)參數(shù)之間建立等量關(guān)系；利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍29【2018陜西西安長安區(qū)一中高三上學(xué)期八模】平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過橢圓 的一個(gè)焦點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)， 為的中點(diǎn)，且斜率是.()求橢圓的方程；()直線分別與橢圓和圓 相切于點(diǎn)，求的最大值.【答案】() ；()1.【解析】試題分析 ()設(shè)出點(diǎn)M,N的坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法計(jì)算可得，結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)有，據(jù)此計(jì)算可得橢圓的方程是；()設(shè)分別為直線

8、與橢圓和圓的切點(diǎn)， ，聯(lián)立直線與橢圓的方程有，利用判別式，可得， ，直線與圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑，據(jù)此可得， ，則，結(jié)合絕對不等式的結(jié)論有當(dāng)時(shí)， 的最大值是1.試題解析 ()設(shè)分別為直線與橢圓和圓的切點(diǎn)， ， ，因?yàn)?，?dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，因此當(dāng)時(shí)， 的最大值是16.【2016高考新課標(biāo)1卷】設(shè)圓的圓心為A,直線l過點(diǎn)B（1,0）且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點(diǎn),過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.（I）證明為定值,并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；（II）設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M,N兩點(diǎn),過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點(diǎn),求四邊形MPNQ面積的取值范圍.【答案】（）（）（

9、II）【解析】（）因?yàn)?故,所以,故.又圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,從而,所以.由題設(shè)得,由橢圓定義可得點(diǎn)的軌跡方程為：（）.（）當(dāng)與軸不垂直時(shí),設(shè)的方程為,.由得.則,.所以.過點(diǎn)且與垂直的直線：,到的距離為,所以.故四邊形的面積.可得當(dāng)與軸不垂直時(shí),四邊形面積的取值范圍為.當(dāng)與軸垂直時(shí),其方程為,四邊形的面積為12.綜上,四邊形面積的取值范圍為.6.如圖，為圓上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，線段的垂直平分線交線段于點(diǎn)（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線 ，設(shè)圓的切線交曲線于兩點(diǎn)，求的最大值【答案】（1）；（2）【解析】（1）因?yàn)?，來?Zxxk.Com所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓，2分，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為；5分（2

10、）當(dāng)切線垂直坐標(biāo)軸時(shí)，；6分當(dāng)切線不垂直坐標(biāo)軸時(shí)，設(shè)切線的方程：，點(diǎn)，由直線和圓相切，得 由得， ，10分又，來源:Z_xx_k.Com令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，綜上，的最大值為12分Y型韋達(dá)定理27【2018廣西南寧高三摸底】已知拋物線C y2=ax（a0）上一點(diǎn)P（t， ）到焦點(diǎn)F的距離為2t（l）求拋物線C的方程；（2）拋物線上一點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為1，過點(diǎn)Q（3，1）的直線與拋物線C交于M，N兩個(gè)不同的點(diǎn)（均與點(diǎn)A不重合），設(shè)直線AM，AN的斜率分別為K 1，K 2，求證為定值【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】試題分析 （1）由拋物線的定義可知，可求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線的方程為，即，代入利用韋達(dá)定理，結(jié)合