全等三角形中輔助線的添加

1、全等三角形中輔助線的添加一.教學內容：全等三角形的常見輔助線的添加方法、基本圖形的性質的掌握及熟練應用。二知識要點：1、添加輔助線的方法和語言表述(1) 作線段：連接；(2) 作平行線：過點 作 Il ;(3) 作垂線(作高)：過點作丄，垂足為；(4) 作中線：取中點，連接；(5) 延長并截取線段：延長使等于；(6) 截取等長線段：在上截取，使等于；(7) 作角平分線：作平分；作角等于已知角；(8) 作一個角等于已知角：作角等于。2、全等三角形中的基本圖形的構造與運用常用的輔助線的添加方法：(1) 倍長中線(或類中線)法：若遇到三角形的中線或類中線(與中點有關的線段)，通?？紤]倍長中線或 類中

2、線，構造全等三角形。(2) 截長補短法：若遇到證明線段的和差倍分關系時，通?？紤]截長補短法，構造全等三角形。截長：在 較長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；補短：將一條較短線段延長，延長部分等于另一條較短線段，然后證明新線段等于較長線段；或延長一條較短線段等于較長線段，然后證 明延長部分等于另一條較短線段。(3) 一線三等角問題(“ K”字圖、弦圖、三垂圖)：兩個全等的直角三角形的斜邊恰好是一個等腰直角三 角形的直角邊。(4) 角平分線、中垂線法：以角平分線、中垂線為對稱軸利用”軸對稱性“構造全等三角形。(5) 角含半角、等腰三角形的(繞頂點、繞斜邊中點)旋轉重合法

3、：用旋轉構造三角形全等。(6) 構造特殊三角形：主要是 30 、60 、90 、等腰直角三角形(用平移、對稱和弦圖也可以構造)和等 邊三角形的特殊三角形來構造全等三角形。三、基本模型：(1) ABC中AD是BC邊中線方式1： 延長AD到E,使DE=AD連接BE方式2:間接倍長，作 CFAD于F,作BEAD的延長線于E,連接BE方式3： 延長 MD到N,使DN=MD連接 CD(2)由厶ABE BCD導岀由厶ABE BCD導岀由厶ABE BCD導岀BC=BE+ED=AB+CDED=AE-CDEC=AB-CD(3) 角分線，分兩邊，對稱全等要記全 角分線+垂線，等腰三角形必呈現(三線合一)(4)旋轉

4、：方法：延長其中一個補角的線段(延長CD到 E,使ED=BM)連AE或延長CB到 F,使FB=DN，連AF )結論： MN=BM+DNC CMN 2 AB AM AN分別平分 BMNn DNM翻折：思路：分別將 ABMm ADN以AM和AN為對稱軸翻折，但一定要證明M P N三點共線.( B+ D=180且AB=AD(5)手拉手模型 厶ABEn ACF均為等邊三角形結論：(ABF AEC; ( 2) B0E= BAE=60 (“八字型模型證明)；(3) OA平分 EOF拓展：條件： ABCm CDE均為等邊三角形結論：(1)、AD=BE (2)、/ ACB=/ AOB ( 3)、 PCC為等邊

5、三角形(4)、PQ/ AE ( 5)、AP=BQ (6)、CO平分 AOE (7)、OA=OB+OC(8)、OE=OC+OD ( 7),( 8)需構造等邊三角形證明) 厶ABDrn ACE均為等腰直角三角形結論：(1)、BE=CD (2) BEL CDABEFrn ACHD為正方形當以AB AC為邊構造正多邊形時，總有:180 1 = 2=360n四、典型例題:考點一：倍長中線(或類中線)法:核心母題 已知，如圖 ABC中，AB=5, AC=3,貝忡線 AD的取值范圍是 練習：1、如圖， ABC中，E、F分別在 AB AC上，DEI DF，D是中點，試比較2、 如圖， ABC中，BD=DC=A

6、C E是DC的中點，求證： AD平分 BAE.3、 如圖，CE、CB分別是 ABC與厶ADC的中線，且 ACBN ABC,求證:4、已知：如圖，在正方形 ABCD中，E是BC的中點，點F在CD 上，Z FAE= Z BAE.求證：AF=BC+FC .5、如圖，D是AB的中點，Z ACB=90 ,求證：2CD=AB.6、已知在厶ABC中,AB=AC D在AB上，E在AC的延長線上， DE交BC于F, 且 DF=EIF求證：BD=CE7、已知在厶ABC中,AD是BC邊上的中線， E是AD上一點，且 BE=AC延長 BE交AC于F,求證：AF=EFO8、已知：如圖，在ABC 中，AB AC ,D E

7、在 BC上，且 DE=EC 過 D作 DF / BA交 AE于點 F, DF=AC.求證：AE平分 BAC第1題圖結論：(1)、BDL CF (2)、BD=CF變形一：ABEFrn ACHD勻為正方形，AS丄BC交FD于T,求證：T為FD的中點.S ABCS ADF .方法一：方法二：方法三：變形二：ABEFrn ACHD勻為正方形，M為FD的中點，求證：ANLBC9、以ABG的兩邊AB AG為腰分別向外作等腰Rt ABD和等腰Rt AGE , BAD GAE 90 ,連接DE M N分別是BG DEi勺中點探究：AM與 DEi勺位置關系及數量關系.,線段AM與 DEl勺數量關系(1)如圖 當

8、 ABC為直角三角形時，AMDEi勺位置關系是(2)將圖中的等腰 Rt ABD繞點A沿逆時針方向旋轉(0 AC,求 證：BE-AC=AE練習1、 如圖所示，在 ABC中，AD是 BAC的外角平分線，P是AD上異于點 A的任意一點，試比較PB PC 與AB AC的大小，并說明理由.2、如圖所示： ABC的平分線BF與 ABC中 ACB的相鄰外角 ACG的平分線CF相交于點F , 過F作DF /I BC,交AB于D,交AC于E.問：3、( 1 )寫岀圖中的等腰三角形并說明理由.4、( 2)若 BD=8cm , DE=3cm,求 CE 的長.3、 在 ABC中，AB 2AC, AD平分 BAC ,

9、E是AD中點，連結 CE ,求證：BD 2CE4、 如圖， ABC 中, ABC=2 C, BE 平分 ABC 交 AC 于 E、ADL BE 于 D,求證：(1) AC-BE=AE ;(2) AC=2BD.5、如圖，在 ABC中，AB AC, E為BC邊的中點，AD為 BAC的平分線，過 E作AD的平行線， 交AB于F,交CA的延長線于G.6、求證：BF=CG.變式一：如圖，在 ABC中，AD交BC于點D ,點E是BC中點，EF / AD交CA的延長線于點 F ,交AB 于點G ,若BG CF ,求證：AD為 BAC的角平分線.變式二：已知： ABC中，AD是厶ABC的角平分線，M為BC的中

10、點，過點 M作MN/ AD,交AC于點N ,求證： AN+AB=NC.變式三：在 ABC中, AD ABC的角平分線.(1)如圖1 ,過C作CE/AD交BA延長線于點E,若F為CE的中點，連結AF,求證：AFL AD(2)如圖2 ,M為BC的中點，過M作MN/AD交AC于點N,若AB=4,AC=7,NC的長.如圖，已知 ABC中，AB= AC, Z A= 100, B的平分線交 AC于D,J 求證：AD+ BD= BC如圖，在 ABC中，AD丄BC于D, CD= AB+ BD, Z B的平分線交 AC于點E,平分線上。中， ACB= B, BAC的平分線2),證明：BN=CD)D MHBBO1

11、當M是BC中點時，寫出 請直接寫出8、如圖1，直線I丄AO于H，分別交直線 AB AG BC于點N (1)當直線I經過點C時(OAD圖2CA恰好在BC的垂直D上一動點，過點C H作E(2)(3)9、如圖所示，在 變式：如圖，已知在10、如圖所示，在OCE和CD之間的等量關系，并加以證明； BN CE、CD之間的等量關系.ABC中，Z ABC=3Z C,ABC 中， ABCABC中，AD平分AD是Z BAC的平分線，3 C ,12, BEBAC , AD AB, CMBEAD于 F，AE 求證：AD于M ,求證求證:AC2BE=AC-AB變式一：如圖 1 = 2 , B為AC中點，CML FB于

12、M, ANI FB于N,求證：EF=2BMAB 2BEAB AC 2AM 1 FB=- ( FM+FN2CE ,過點E作變式二：如圖，在 ODC中 D 90, EC是DCO的角平分線，且OEEF OC交OC于點F.猜想：線段EF與OD之間的關系，并證明.變式三：如圖所示，在 ABC中，ACAB, M為BC的中點，AD是Z BAe的平分線，若 CF AD且交AD的延長1線于 F,求證：MF=- (AC AB)O2考點五：角含半角、等腰三角形的(繞頂點)旋轉重合法 核心母題 如圖，在正方形 ABCD中，E、F分別是 Be CD邊上的點，Z EAF=45,求證：EF=BE+DF.變式一：如圖，E、F

13、分別是邊長為1的正方形ABCD勺邊Be CD上的點，若厶ECF的周長是2,求Z EAF的度變式二：如圖，在正方形 ABCD中，E、F分別是Be CD邊上的點，Z EAQ=45 , AHX EF,求證：AH=AB.綜合：在正方形 ABCDK 若 M N分別在邊 BC CD上移動，且滿足 MN=BM+ DN求證：.Z MAN=45 .C CMN 2AB .AM AN 分別平分 Z BMN和 Z DNM.練習1、如圖，在四邊形 ABCD中，AB=BC,Z A=Z C=90,Z B=135, K、N 分別是 AB BC上的點，若 BKN的周長是AB的2倍，求Z KDN的度數?2、已知：正方形ABCD中

14、， MAN=45, MAN繞點A順時針旋轉，它 的兩邊分別交CB、DC (或它 們的延長線)于點 M N.當 MAN繞點A旋轉到BM=DN時(如圖1),易證BM+DN=MN 3、 ( 1 )當 MAN繞點A旋轉到BM DN時(如圖2 ),線段BM、DN和MN之間有怎樣的數量關 系？寫岀猜想，并加以證明；4、( 2 )當 MAN繞點A旋轉到如圖3的位置時，線段BM DN和MN之間又有怎樣的數量關系？ 請直接寫出你的猜想.3、如圖，在四邊形 ABCD中, AB=AD， B+ D=180, E、F 分別是邊 BC CD上的點，且 2 EAF= BAD(1) 求證：EF=BE+FD(2) 如果E、F分

15、別是邊BC CD延長線上的點，其他條件不變，結論是否仍然成立？說明理由。5、 如圖所示，在五邊形 ABCDE中, AB=AE BC+DE=Cp ABC+ AED=180 求證：AD平分 CDE.6、女口圖，已知 AB=CD=AE=BC+DE=2 , ABC= AED=90 , 求 五邊形 ABCDE 的 面積.7、如圖1 .在四邊形 ABCD中.AB=AD, B+ D=180 o , E、F分別是邊 BC、CD上的點，且 BAD=2 EAF.8、( 1 )求證：EF=BE+DF ;9、( 2)在(1 )問中，若將 AEF繞點A逆時針旋轉，當點E、F分別運動到BC、CD延長線上 時，如圖2所示，

16、10、試探究EF、BE、DF之間的數量關系.8、如圖，在 ABC 中， ACB=90 , AC=BC, P 是 ABC 內一點，且 PA=3 , PC=2 , PB=1 .求 BPC的度數考點六：構造特殊三角形核心母題如圖，在厶ABC中，AD交邊BC于點 D, BAD=15 , ADC=4 BAD, DC=2BD.(1) 求 B的度數；(2) 求證： CAD= B.練習1、 在平面直角坐標系中，點A(2 , 0)、B(0 , 4),以AB為斜邊作等腰直角 ABC則點C的坐標為？2、 如圖，在正方形網格圖中，求1+ 2 + 3的度數和。3、 已知：平面直角坐標系中的三個點，A (1,0 )、B ( 2 ,1 )、C ( 0,3 ),求/ OCA OCB勺度數.6、已知AD 2 , BP 4 ,以AB為一邊作等邊三角形 ABC使C、D兩點落在直線 AB的兩側.(1)如圖，當 ADB=60時，求 AB及CP的長;(2)當 ADB變化，且其它條件不變時，求CP的 最大值，及相應 ADB勺大小.7、已知：PA 2 , PB 4 ,以 AB為一邊作正方形 ABCP,使 P、P兩點 的兩側.(1) 如圖，當 APB=5時，求 AB及PP的長；(2) 當 APB變化，且其它條件不變時，求PP的 最大值，及相