(完整word版)高數(shù)下期末考試及解答(8份)

1、課程名稱高等數(shù)學試卷（I） 題號 -一- -二二 -三 四 五 六 七 八 九 十 總分 得分 、填空（14分） 2 sin x x 0 1.設 f(x) x ,則 lim f(x) x 0 0, x 0 2 .曲線 y=x 3上切線斜率等于 3 的點是 3. y 2x2 Inx區(qū)間上單調(diào)減少。 1 4. lim (ctgx ) =。 X 0 x 1門 5. dx =。 Jx(1 x) 6.過點 A (2, -3, 4）且與y軸垂直相交的直線方程為 共2頁，第1頁 、完成下列各題（40 分） 1. lim() x 1 l n x x 1 2.已知： exy y l nx cos2x,求 dx

2、3.計算: 21dx x2 4x 29 4.計算: 2 (arcsinx) dx e|n 2x 5.計算： 1dx e x 三、求函數(shù)f（x）= x3x2x 1在-1 , 2上的最大值與最小值（8 分） 四、證明：當 x0 時，ln（1 x） arCtgx （8 分） 1 x 五、設f（x）在a, b上連續(xù)，證明: bb f (x)dx f (a b x)dx (8 分) aa 六、求曲線y In x當x在區(qū)間（2, 6）內(nèi)的一條切線，使得該切線與y In x以及 x=2，x=6所圍成的圖形的面積最小。（8分） 七、求過點（-1，0，4）且平行于平面 3x-4y+z-10=0又與直線-相 1

3、1 2 交的直線方程。（8分） 八、 求拋物線y .等式兩邊對x求導 8x與其上點（2, 4）處的法線所圍成圖形的面積。并求該圖形在 x軸上方部分繞y軸旋轉(zhuǎn)后所得旋轉(zhuǎn)體的體積。（6分） 課程名稱高等數(shù)學試卷（I） 題號 -一- -二 四 五 六 七 八 九 十 總分 得分 九、填空（14分） 1. 0 2. (1 , +1), (-1, -1) (4 ) 共2頁，第3頁 4. 05. 2arctg、x+C 6. z 2x y 3 十、完成下列各題（40分） (2 ) 11x 1 ln x 1. lim () lim () x 1 ln x x 1 x 1 ln x(x 1) =lxm1 1 -

4、(x 1) x (2 ) ln x = lim x 1 x X 1 1 xln x lim x 11 1 In x x - x xy /、 e (y xy ) 1 y In x y x 2 sin 2x (3 ) 共2頁，第5頁 (3 ) / xy i 、-.-yxy y (xe In x)2 sin2xye x 2sin 2x yexy x 4. (arcsin x)2dx x(arcsin x)2 2xarcsin x dx (3 ) =x(arcsin x)2 arcs in x _1_ Jx2 d(1 2xsin 2x xy y xye (2 ) 2 xy x e x I n x 1

5、(5 ) 1 3 1 x 2 dx dx arctg 2 2 C x 4x 29 (x 2) 255 5 In x xexy 3. (2 ) =x(arcsin x)2 2 1 x2 arcs in x 2 x x2 dx (2 ) (1 ) e In x(3) e, (3) In3 x,e (2) 1 1 2 5.1 - 11n2 xd In x ie e x e 3 e 3 3 3 三、（8分） 令 f (x) 3x2 2x 1 (3x 1)(x 1) =x(arcsinx)22 1 x2 arcsinx 2x C (2 ) 得： X1 1 1 ,X2 3 1 1 32 1 1 , f(

6、) 1 3 27 9 3 27 (1 ) f(1)1 1110 (2 ) x(arcsin x)2 arcs in xd(2.1 x2) f( 1) 1 1 1 1 0, f(2) 842 1 3 （2） 取大值為 3， 最小值為0 四、（8分） 證明：令 f(x) ln(1 x) arCtgX （1） 1 x 1 x 1 2 arctgx f (x)- 1 1 x 2 1 x(1 x) (1 2 x X)2 arctgx = 1 x 2 （3） (1 x) x0 時, f (x) 0, x0 時, f（x）遞增 （2） 又 f(0)=0. 當x0時, f(x)0 （1） arctgx 即 l

7、n(1 x) （1） 1 x 五、（8分） b b a f(a b x)dx a f (a b x)d (a b x) （2） 令 t=a+b-x， 則 x=a+b-t， 代入上式 （3） b b b b a f(a b x)dx a f(t)dt a f(t)dt a f(x)dx （3） 六、（8分） 設該切線的切點對應處，則 x Xo該切線為: y ln X。 1 (x X。 X。） （2） 則x=2時， 切線上 y1 ln 1 X0 (2 x) X0 x=6時，切線上y2 In X0 丄(6 X0) （2） X0 圍成圖形面積為： S丄 421n x0 1 丄(2 x) 2 X0 (2

8、 ) 16 c 4 16門 =4 ln x0 4,令 S 一 2 0 X0 Xo Xo 1 1 1 x 4,k ,該切線為： y In 4 (x 4) X。 4 4 七、（8分） 平面 3x-4y+z-10=0 的法矢量 n 3, 4,1 (2 ) (1 ) 設交點為（Xo,yo,zo）（即兩直線交點） 1, yo,zo 4 3( xo 1) 4yo (Zo 4) oXo 15 則xo1 yo 3 Zo ，解得yo 19 （3） 2 2 2 Zo 32 則所求直線的方向矢量為 x0 所求直線的方向矢量為 16,19,28 x 1 所求直線為： y z 4 16 19 28 八、（6分） 2 在

9、y8x兩邊對x求導， 2yy 8,y 4 f .8x 當x=2時，y L 21，則法線的斜率為-1 (1) (2) 法線方程為：y=-1（x-2）+4=-x+6 與拋物線的另一個交點為：（18,-12） 所圍成圓形如圖，它的面積為 4 dy 12丿 (2) (1) S d D1 4 12(2 =2 16 d D2 2 V)dy 3 y_|4 1 12 24 2 ydx 8 18 dx 28x x 16 dy 18 2 ( 8x)dx 2 x 18 T|2 6x |? 3 2 .18 3 x 12 共2頁，第7頁 8 =32(72 3)(2162) 16 108 12 44 L 共2頁，第9頁

10、=40 8 160 96 144 =32( 2 ) 法線與x軸交于（6,0） V V1 V26x2dx 4 y2dy 122 08 3 3 x I6 y |4 = |2 b 3 24 8 64、 8 8、 =(72 )= (72 -) 3 24 3 3 200 (3 ) 3 課程名稱高等數(shù)學試卷（山） 題號 -一- -二二 三 四 五 六 七 八 九 十 總分 得分 、填空（14分） 1 2 1 1、若 f(x )= x +-y+3，則 f(x) xx 2、設 f(x) e2x1，則 f (x) =. sin 5x 3. Iim x sin 3x 4、設點（1, 3）為曲線 y ax3 bx2

11、的拐點，貝U a , b d 曲彳 2、10, -22; 3、 0； 4、 1 3 2，2，1 3 二、是非題（4分） 1、 X 三、計算下列各題（ .2 , 1 1、啊 =lim x 0 2、 18 分) 3、 4、X cosx .2 sin x 1 COSX x2C2 J cosx) (3 1 2 1-x 1 . 2 =lim2 22 x 0 x2 (3) 2、f(x) lim t x(1 f (x) (X 1) (3) 3、In y xln x In x 1 dy (Inx 1) (2 y dx xx (In x 1)dx (2 共2頁，第43頁 四、（8 分） limo f(X) x

12、0 0 lim0 f(x) x 0 0 f (x)在 x lim (bx x 0 0 lim a ln(x x 0 0 0連續(xù)(1 ) 2) 2(1) 1)a(1 ) (1 分) lim lim x 00 X 0 X 0 f (x) lim0 f(0) lim x 0 0X 0 x 0 f (x)在 X 0處可導(1) 五、(7分) 0 依題意, 0(bb(1) x 0 2 ln(X 1) 21(1) b 1(1) f(x)在Xi,X2, X2,X3上滿足羅爾定理條件 至少 至少 f (x) (X1, X2)，使得 f ( 1)0 (X1,X2)，使得 f ( 2)0 2上滿足羅爾定理條件 (

13、3) (2 (2 至少 X1,X3，使得 f (2 ) (21 分) 2 令 x=tgt,貝U dx=sec tdt 六、計算下列積分 1、 2 . 占亠sec t , 原式=2dt = tg t*sect cost dt = sin 2t d sin t sin 2t (3分) 1 ,1 +C=- si nt 2 x +C x (2分) 2、原式=1/21 ln x (1 x2)2d(1 X2) 1/2 In x* d1 =-lnx/(2+2x 2) +1/2 2 dx X(1 X ) =-1/2ln 寧 2 3、原式=1/2 arctgx * dx 2 =1/2x arxtgx-1/2 2

14、 x 1 x2 dx (2分) =1/2x 2arctgx 1/2 (1 T)dx(3 分) 1 x 2 =1/2x arctgx-1/2x+1/2arctgx+C (2 分) 共2頁，第45頁 x dt b f(t) (1分) 七、（8分） x (1) f(x)0,F(x)= a f (t)dt 共2頁，第53頁 F (x)=f(x)+ f(x) 1 2、f(x)f(x) (1分) F(x)0, F(x) 0至少只有一根 (1分) F (a)= b 屯 af(t) 単0 f(t) (1分) F(b)= a f水0 (1分) 所以F （x） =0至少有一根 (1分) 所以方程F（ X ） =0

15、有且僅有一根。 (1 分) 八、（8分） D=(- （等號僅在x=1取得） 2 2 2 Y =2x/(1+x)=(1-x) /(1 x )0 所以y=x-ln（1+x 2）在定義域內(nèi)單調(diào)增加。 九、（8分） 如圖選取坐標系，在坐標系中，三角形在X軸右側腰所在直線的方程為 y xx八 + 匚=1 y b（1-）（2 分） b hh 設水的比重為r,則 2 x dp= rx 2y dx =2rb（x- ）dx （3 分） h p= ：2rb（x x2）dx （2 分） h rb h2 0 Y b| X / /X+dx h、 （1分） 23 心訓=3 十、（10分） 直線y y z x 0 。的點法

16、式方程為気 過點 P （1, -1, 1）而垂直干直線的平面為: y+1+z-1 （2分） （2分） x 0 y z 10 A x 0 y -,N 2 y z 0 1 即 y+z=0 該平面與直線的交點為: 1 1 （。，形）（1 分） 1 1 取PN的方向向量 S=PN =1, 2 2 or S=2,-1,1 設所求平面的法向量為n，貝V n k， n s， j k 0 1 1,2,0 1 1 （3分） (2分) 故所得平面為：x-1+2(y+1)=0.即 x+2y+1=0 課程名稱高等數(shù)學試卷(X) 題號 -一- -二二 -三 四 五 六 七 八 九 十 總分 得分 、選擇題：(35 15

17、) 1、 f x dx A、f(x);B、f(x)+C; C、f (x) c 2、設f(x)在X。取得極值，則必有 A、f (x) 0 ；B、f (x)不存在； C、f (x)0或者f不存在。 3、f(x)在a, b上連續(xù)，則 a, b 上至少有一個 ，使得 A、f()=mO4； b a B、 )= f(x)dx b a b f(x)dx C、 f()= a b a 4、f(x)在X。處連續(xù)是f(x)在X。處可微分的 A、必要條件；E、充分條件; 5、x = 0 是 f(x) = x3 的 A 、駐點；E、極值點; C、充要條件。 C、拐點。 、填空題(3515) 1、曲線y2 = x 在P(

18、1 ,1)的切線方程為 2、y = tgx 在 0,4 上的平均值 y =. 3、f(x) = x -sinx 在 0, 上單調(diào) ，曲線凸性是. 1 1 4 廣義積分2dx斂散性是 1x2 2 3 5.曲線y x2, x 0,1之長s = 3 三、計算題(5840) 1.求極限 lim xtgx x 0 2.求極限 3.求y x2 lim篤 x x x e -的微分 x dyx 1 4.求擺線 x a(t sint) y a(1 切，所確定函數(shù)在t0 i相應點 xo 處的 y (xo). 5.計算不定積分 (excosex ln x )dx 6.計算不定積分 x 2 2 - x 2x -dx

19、5 7.計算不定積分 1 x I e dx 0 In xdx e 8.計算定積分1 e 四、證明題(9218 ) 1.利用函數(shù)單調(diào)性證明 x 0時, ln(1 x) 2.設 f(x) a.,a上連續(xù)，證明 (1) 若f(x)為奇函數(shù)，則 f(x)dx (2) 若f(x)為偶函數(shù)，則 f(x) a 0 f(x)dx. 五、綜合題(12) 已知曲線y ex，求 (1).曲線y ex上過P(1,e)的切線方程； 上述切線與曲線及y軸所圍成圖形面積 A; (3).上述圖形饒y軸旋轉(zhuǎn)一周所得立體體積V. 課程名稱高等數(shù)學試卷(X) 題號 -一- -二二 -三 四 五 六 七 八 九 十 總分 得分 、選

20、擇題(3515) 1.A2.C 二、填空題(3 3 .C 4 .A 15) 5 .A 1 .y-1 = 1 (x 1) 2 2 .出n 2 3 遞增，下凸 4 .發(fā)散 二、計算題(5 、2(2 .2 3 40) 1) 1. lim Xtgx x 0 lim x 0 ln x 1 lim x 0 tgx e 2匸 sec x 2 x tg lim ( x 0 2 sin x 0. )e 1 x (5) 2. lim x 3. y dy x2 e 2 x 2x e 的微分 x 2x 3 2e x lim x 2xex2 2x dy |x1 c 2 2x 3x e 6 x dx (5) 2x (2x 3)e 4 x dx (3) dy |x 1=-e 2dx (2) dy 4. y(x)養(yǎng) dt asint a(1 cost) si nt 1 cost (4)