(完整版)高數(shù)下冊復習資料

1、高等數(shù)學（一）教案期末總復習第七章常微分方程1. 基本概念：通解，特解，初始條件2. 可分離變量的微分方程3. 齊次方程（簡單類型）4. 一階線性方程：公式法（掌握交換自變量與因變量類型）5. 二階常系數(shù)齊次線性微分方程：特征方程法求通解6. 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程（非齊次特解與齊次通解關系，正確的設出特解）第八章向量與解析幾何向量代數(shù)定義定義與運算的幾何表達在直角坐標系下的表示向量uuu有大小、有方向記作a或ABa axi ayj azk (ax,ay,az)rrraxprjxa,ayprjya,azprjza模向量a的模記作aaJax2ay2az2和差*cabc a bcabax b

2、x,ay by,az bz單位向量a 0 ,則 ea-aa(ax , ay , az)aJ 222寸 ax ay az方向余弦設a與x,y,z軸的夾角分別為，貝U方向余弦分另為 cos , cos , coscosea ( cc2 . cos +axayaz-H ,cos-H,cos-Faaa)s , cos , cos )2 2 dcoscos1點乘（數(shù)量積）a b a b|cos ,為向量a與b的夾角a b axbx aybyazbz叉乘（向量積）cabc a b sin為向量a與b的夾角 向量c與a , b都垂直a bijkaxayazbxbybz定理與公式垂直a b a b 0a ba

3、xbx ayby azbz0平行a/b a b 0axayaza/bbx by bz交角余弦a b兩向量夾角余弦 cos|a|baxbx ayby azbzcosj jJax2 ay2 az2 Jbx2 by2 bz2平面直線法向量 n A, B,C點 M0(x0,y0,z0)方向向量 T m, n, p點 M(X0,y0,Z0)方程名稱方程形式及特征方程名稱方程形式及特征一般式Ax By Cz D 0一般式Aix Bi y C iz D i 0A2X B2 y C2Z D 20點法式A(x Xo) B(y yo) C(z z)0點向式x X0 y y zZ0mnp三點式XXiyyizziX2

4、Xiy2yiZ2wX3XiyayiZ3w0參數(shù)式xx0mtyyntzZ0pt截距式x y z 1 a b c兩點式x X0 yyzZ0Xi X0yiyZiZ0面面垂直Ai乓Bi B2C1C20線線垂直mi m2nin2 pi p20面面平行A1B1C1A2B2C2線線平行minipim2 n2p2線面垂直ABC m n p線面平行Am Bn Cp 0點面距離Mo(Xo, yo,Zo)Ax By Cz D 0面面距離Ax By Cz Di 0Ax By Cz D20dAx0 By。Cz。DdDi D2IJa2 b2 c2JA b2 c2面面夾角線線夾角線面夾角n1 A1, B ,C1 n2 A2

5、, B2,C2Simi, ni，piS2m2, n2,p2s m,n, p n A,B,C| A1A2B| B2 C1C2 |cosImim? nin2 ppi|Am Bn Cp2 2 _ 2 2 2 -2BiC1 A2B2C2;222/222X minipix m2n2P21J - 2_ 22；222 A B C * m n p空 間 曲 線x(t)，y(t)，z(t)，(t)切向量T （ （t。），（t。）， （t。）切“線”方程：y y。 三4（t。）（t。）（t。）法平“面”方程：（t）（x X。）（t）（y y。）（t）（z Z0） 0y(x)Z(X)切向量T (i,(x),(x)切

6、“線”方程：x - X。y y。z Z0i（X。）（X。）法平“面”方程：（X X。）（X。）（y y。）（x）（z z。） 0投影向量a在非零向量b上的投影prj baa cos(a b)prjbaaxbx aybyazbz-4 -高等數(shù)學(一)教案期末總復習-11 -法向量F(x,y,z) 0空間曲面(Fx(Xo, yo,zo),Fy(xo, y,Zo),Fz(x, y,Zo)切平“面”方程：Fx(Xo，yo，z)(xFx(Xo, y,z)(z法“線“方程:X Xoz f(x, y)x。)zo)Fx(Xo, y,z)(y yo)oyozZo(fx(Xo,y), fy(xo, yo) , 1

7、 )Fx(Xo, yo, Zo)切平“面”方程：fx(Xo, yo)(x Xo) fy(Xo ,yo)(y y。)(z z。) oFy(Xo, yo, Zo)Fz(Xo, yo,zo)(fx(x),y。)， fy(x,y),1)法“線“方程：x Xoy yoz Zofx(x,y)fy(xo, yo)第九章多元函數(shù)微分法及其應用1、距離，鄰域，2、多元函數(shù)：3、極限：/1(x,y)4、連續(xù)：，1(x,y)5、偏導數(shù)：基本概念內(nèi)點，外點，邊界點，聚點，開集，閉集，連通集，區(qū)域，閉區(qū)域，有界集，無界集。 z f (x,y)，圖形：lim f (x,y) A)(Xo,yo)lim 、f(x,y) f

8、(Xo,yo)(xo,yo)fx(x,y)lim f(Xox, yo) f(x0, y0)x ofy(x,y。)Xlim f (Xo, yoy) f(x,y。)y oz f (x,y)，則 dz dx dy全微分:設6、性質2、閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(有界性定理，最大最小值定理，介值定理)3、微分法1) 定義：u2) 復合函數(shù)求導：鏈式法則若zf (u,v),u u(x,y),v v(x,y)，則uxzz uz vzz uz v /xu xv x yu yV yzA3)隱函數(shù)求導：兩邊求偏導，然后解方程(組)Vy(三)應用1、極值1)無條件極值：求函數(shù)z f (x, y)的極值fx0解方程組f

9、fyo求出所有駐點，對于每一個駐點(x,y)，令Afxx(Xo,y)，Bfxy(Xo,y)，Cfyy(x,y)，若ACB20，A 0，函數(shù)有極小值，若ACB20，A 0，函數(shù)有極大值；若ACB20，函數(shù)沒有極值；若ACB20，不定。2)條件極值：求函數(shù)z f (x, y)在條件 (x, y)0下的極值令:L(x,y)f (x,y)(x,y)Lagrange 函數(shù)Lx 0解方程組Ly 0(x, y) 02、幾何應用1)曲線的切線與法平面曲線：yy(t)，則1 上一點zz(t)xXoy yo切線方程為：x(t。)y(to)法平面方程為：X(to)(xXo)2)曲面的切平面與法線X x(t)M(Xo

10、,y,Zo)(對應參數(shù)為to)處的Z ZoZ(to)zo)y (to)( y y。) z(t)(z曲面Fx(Xo，y,Zo)(x Xo):F (x,y,z)0，貝y _上 點 M (xo, yo，Zo)處的切平面方程為:Fy(x,y,Zo)(y y。) Fz(Xo, y,q)(z q) 0XX。y yZZ0法線方程為：Fx(Xo,y,z。)Fy(Xo,y,z。) Fz(Xo,y,z。)第十章重積分重積分積分類型計算方法典型例題二重積分I f x,ydD(1)利用直角坐標系b2 (X)X 型f(x,y)dxdydxa1( x)f (x, y)dyDd2 (y)Y型f (x, y)dxdyDcdy

11、1(y)f (x, y)dx(2)利用極坐標系使用原則課上的例題及課后作業(yè)平面薄片的質 量質量=面密度面積(1) 積分區(qū)域的邊界曲線易于用極坐標方程表示(含圓弧，直線段)；(2) 被積函數(shù)用極坐標變量表示較簡單(含(x2 y2), 為實數(shù))Df ( cos , sin ) d d2()d f ( cos , sin ) d1()(3)利用積分區(qū)域的對稱性與被積函數(shù)的奇偶性 當D關于y軸對稱時，(關于x軸對稱時，有類似結論)0f (x, y)對于x是奇函數(shù)，應用該性質更方便即口 x, y) f (x, y)I 2 f(x,y)dxdy f(x, y)對于 x是偶函數(shù)，D1即f( x, y) f(

12、x,y)。1是。的右半部分計算步驟及注意事項1.畫出積分區(qū)域2 .選擇坐標系標準：域邊界應盡量多為坐標軸，被積函數(shù)44關于坐標變量易分離3.確定積分次序原則：積分區(qū)域分塊少，累次積分好算為妙4 確定積分限方法：圖示法 先積一條線，后掃積分域5 計算要簡便注意：充分利用對稱性，奇偶性利用直角坐標截面法截面法投影f(x,y,z)dVby2(x)Z2(x,y)dxdyayi (x)丿 Zi(x,y)f (x, y,z)dzx r cos(2)利用柱面坐標y r sinz z二重積分1相當于在投影法的基礎上直角坐標轉換成極坐標If(x,y,z)dv適用范圍：積分區(qū)域 表面用柱面坐標表示時 方程簡單；如

13、旋轉體被積函數(shù)用柱面坐標表示時變量易分離如2 2 2 2 f(x y )f(x z )bf(x,y, z)dV adzdU()f ( cos , r1( ) Vsin ,z) d空間立體物的質量xcosrsincos(3)利用球面坐標ysinr si nsin質量=密度zr cos面積dv2r sin drd d適用范圍：積分域表面用球面坐標表示時方程簡單；如,球體，錐體被積函數(shù)用球面坐標表示時變量易分離如2 2 2 ,f(x y z )2 2 2(，)Id df() 11八，丿sincos , sin sin,cos ) 2sin d(4)利用積分區(qū)域的對稱性與被積函數(shù)的奇偶性第十一章曲線積

14、分與曲面積分曲線積分與曲面積分積分類型計算方法典型例題第一類曲線積分I Lf(x,y)ds 曲形構件的質量 質量=線密度 弧長參數(shù)法(轉化為定積分)(1) L:y(x)1f (，(t)J 2(t)2(t)dt(2) L: x(t) (t) Ibf(x,y(x)Ji y2(x)dxy (t)ax r( )cos(3) r r( )() L : y r( )sinIf(r( )cos ,r( )sin )Jr2( ) r2( )d(1) 參數(shù)法(轉化為定積分)L: x (t) (t單調(diào)地從到) y (t)LPdx QdyP (t),(t) (t) Q (t),(t) (t)dt平面第二類曲線 積分

15、I l Pdx Qdy(2)利用格林公式(轉化為二重積分)條件：L封閉，分段光滑，有向(左手法則圍成平面區(qū)域D)P, Q具有一階連續(xù)偏導數(shù)結論：勺 Pdx Qdy ( )dxdyLd x y滿足條件直接應用應用：有瑕點，挖洞不是封閉曲線，添加輔 助線變力沿曲線所做 的功(3)利用路徑無關定理 (特殊路徑法)等價條件： 2 一匕。Pdx Qdy 0xyL LPdx Qdy與路徑無關，與起點、終點有關 Pdx Qdy具有原函數(shù)u(x, y)(特殊路徑法，偏積分法，湊微分法)(4)兩類曲線積分的聯(lián)系I LPdx Qdy l(Pcos Qcos )ds空間第二類曲線 積分I LPdx Qdy Rd變力

16、沿曲線所做 的功(1)參數(shù)法(轉化為定積分)Pdx Qdy Rdz P (t), (t), (t) (t) Q (t), (t), (t)(t)R (t), (t), (t) (t)dt療(2)利用斯托克斯公式(轉化第二類曲面積分)條件：L封閉，分段光滑，有向P, Q, R具有一階連續(xù)偏導數(shù):Pdx Qdy Rdz結論：/ R Q z p R, Q.()dydz ()dzdx ()dxdyyzzxxy應用：滿足條件直接應用不是封閉曲線，添加輔 助線第一類曲面積分投影法If(x,y,Zdv:z z(x, y)投影到xoy面曲面溥片的質量2If(x,y,z)dvf(x,y,z(x,y)J zxzy

17、dxdy質量=面密度Dxy面積類似的還有投影到 yoz面和zox面的公式(1)投影法 Pdydzp(x(y,z),y,z)dydzDyzyz:z z(x, y), 為的法向量與x軸的夾角前側取“ +”，cos0 ；后側取“ ”,cos0第二.類曲面積分 Qdzdxp(x, y(x, z),z)dzdxDyzyz:y y(x, z),為的法向量與y軸的夾角右側取“ +”, cos0 ；左側取“,cos0IPdydz Qdz(儀 Rd3xy QdxdyQ(x, y, z(x, y)dxdyDyz流體流向曲面一yz:x x(y, z),為的法向量與x軸的夾角側的流量上側取“ +”, cos0 ；下側

18、取“,cos0(2 )高斯公式右手法則取定的側條件： 封閉，分片光滑，是所圍空間閉區(qū)域的外側P, Q, R具有一階連續(xù)偏導數(shù)PQR結論：o Pdydz Qdzdz Rdxdy()x yz宀中滿足條件直接應用Kv田應用:不是封閉曲面，添加輔 助面(3)兩類曲面積分之間的聯(lián)系Pdydz Qdzdx Rdx(y(PcosQcosRcos )dS轉換投影法：dydz ( )dxdydzdx (-z)dxdyxy所有類型的積分: 定義：四步法一一分割、代替、求和、取極限； 性質：對積分的范圍具有可加性，具有線性性； 對坐標的積分，積分區(qū)域對稱與被積函數(shù)的奇偶性。第十二章級數(shù)高等數(shù)學（一）教案期末總復習用收斂定義，lim Sn存在n般 項 級 數(shù)常數(shù)項級數(shù)的基本性質常 數(shù) 項 級 數(shù)交錯 -級數(shù)1=萊布尼茨判別法