(完整版)高數(shù)1全套公式

1、一、三角函數(shù)1公式 同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系式：平方關(guān)系：sinA2( a )+cosA2( a )=tan2( a )+1= secA2( ；cOtA2( a )+1= cscA2( a)商的關(guān)系：tan a =sin a /cos aot a =cos a /sin a倒數(shù)關(guān)系：tan a，cot ; =si n a，csc a =1cos a，sec a =1 三角函數(shù)恒等變形公式：兩角和與差的三角函數(shù)：cos( a + 3 )=cos a coin Ba sin 3cos( a 3 )=cos a cos 3 +sin a sin 3sin( a3 )=sin a cos 3 土 co

2、s a sin 3tan( a + 3 )=(tan a +tan -tan(a tan 3)tan( a 3 )=(tan -tan 3 )/(1+tana tan 3)倍角公式：sin(2 a )=2sin a cos acos(2 a )=cosA2( a-s)inA2( a )=2cosA2( -a1=)1- 2sinA2( a)tan(2 a )=2tan a -/ta1nA2( a )半角公式：sinA2( a /2)(=1-cosa )/2cosA2( a /2)=(1+cos a )/2tanA2( a /2)=(1-cosa )/(1+cos a)tan( a /2)=sin

3、 a /(1+cos a-c)o=s(1a )/sin a萬能公式：sin a =2tan( a /2)/1+tanA2( a /2)cosa =1-tanA2( a /2)/1+tanA2( a /2)tan a =2tan( a /2)/-t1anA2( a /2)積化和差公式：sin acos 3=(1/2)sin(a +3-)+9n(acos asin 3=(1/2)sin(-sia+a)cos acos 3=(1/2)cos(a +3 )+3$Iasin asin-(3=)cos( a +-0o)s(a 3 )和差化積公式：sin a +sin 3 =2sin( a +3 )/2c-

4、o3s()/2 asin a-sin 3 =2cos( a +3 )/2sin-3( )/2acosa +cos3 =2cos( a +3 )/2cos-3( )/2acosa-cos3=-2sin( a +3 )/2sin-(3 )/2a2.特殊角的三角函數(shù)值110 (0 )6(30 )(45 )(60 )(90 )cos1v3/2V2/21/20sin01/20)1Jiju一兀一次方程ax2 bx c 0有二互異實根有一相等實根（有一根）bx1,2怎無實根bAb2 4ac22a元次不等式(a 0)2ax bx c0(X1 X2) x x2bx2ax Rax bx c0x1xx2xx三、因式

5、分解與乘法公式2 2(1) ab (a b)(a b)2 2 2(2) a2ab b (a b)(3) a2 2ab b2 (a b)2(4) a3b3(ab)(a2abb2)(5) a3b3(ab)(a2abb2)(6) a33a2b3ab2b3(ab)3322. 33(7) a3a b3abb(ab)2 2 2 2(8) ab c 2ab 2bc 2ca (a b c)n nn 1 n 2n 2 n 1.(9) a b (a b)(a a b L ab b ),(n 2)四、等差數(shù)列和等比數(shù)列1.等差數(shù)列通項公式:ana1前n項和公式Snn a1 an2Snn n 1 na1d22.等比數(shù)

6、列 GP通項公式an前n項和公式.n 1agan0,a1 1Snna1五、常用幾何公式平面圖形名稱符號周長C和面積S正方形a 邊長C = 4aS = a2長方形a和b邊長C = 2(a+b)S = ab三角形a,b,c 三邊長 h a邊上的高 s 周長的半 A,B,C 內(nèi)角 其中 s = (a+b+c)/2S = ah/2=ab/2 sinC=s(s-a)(s-b)(s-c) 1/2=a2si nBsi nC/(2s inA)平行四邊形a,b 邊長 ha邊的高 a-兩邊夾角S = ah=absin a菱形a邊長a夾角D長對角線長 d短對角線長S = Dd/2=a2sin a梯形a和b 上、下底

7、長 h 高m 中位線長S = (a+b)h/2 =mh圓r半徑 d 直徑C = nd = 2 nrS = n 2=nd2/4扇形r扇形半徑 a圓心角度數(shù)C = 2r + 2n r X (a/360) S = n 2 Xa/360)圓環(huán)R外圓半徑 r內(nèi)圓半徑D外圓直徑 d內(nèi)圓直徑S = n (F2-r2)=n Q-d2)/4橢圓D 長軸 d 短軸S = n Dd/4立方圖形名稱符號表面積S和體積V正方體a邊長S = 6a2V = a3長方體a 一長 b 寬 c 咼S = 2(ab+ac+bc) V = abc圓柱r-底半徑h 高C 底面周長S底一底面積S側(cè)一側(cè)面積S表表面積C = 2 nrS 底

8、=n 2S 側(cè)=ChS 表=Ch+2S 底=Ch+2冗 r2V = S 底 h = n 2h圓錐r-底半徑h 高V = n Fh/3球r半徑 d 直徑V = 4/3 n 3=nd3/6S= 4 n 2=nd2基本初等函數(shù)表達式定義域常數(shù)函數(shù)隨而異, 但在R上 均有定義指數(shù)函數(shù)xa01對數(shù)函數(shù)log a x01過點（1，1）;0時在R單增；0時在R單減.y 0. 過點0,1 .1單增.1單減.m m n a a , n a過點1,0 . a 1單增. 0 a 1單減. lOga a 1,lOga10,M , N 0 lOga MN ,MlOgaNlOga MlOga M lOg a N,lOg

9、a M lOg a N,lOgabPlOga M , logc bc 0, 1 , lOgcaloga axlOga xa gx(x 0)x(x 0)正 弦 函 數(shù)y sin xRy1-/23 /2I22奇函數(shù).T 2 . iy 1.1 O-1.Idx余 弦 函 數(shù)y cosxRy1偶函數(shù).T 2 .iy 1.-1/21372正 切 函 數(shù)y tanxx k2k Z11iiiJy 11 丿J1奇函數(shù).T.在每個周期內(nèi)單增r/2i廠(xI!余 切 函 數(shù)y cotxx k , k ZL、I1 kJ奇函數(shù).T.在每個周期 內(nèi)單減.11x反 正 弦 函 數(shù)y arcsin x1,1/2-1y奇函數(shù).

10、 單增.-y -.2 2Ro41x - /2反 余 弦 函 數(shù)y arccosx1,11y/2單減.0 y .-1o1x反 正 切 函y arcta nxRy/2奇函數(shù). 單增.Z2ox-/2數(shù)2 7 2 .反 余 切 函 數(shù)y arccot xRy 1單減.0 y ./2ox極限的計算方法一、初等函數(shù)：l.lim C C（C是常值函數(shù)）2若f xM（即 fx是有界量），lim0（即是無窮小量），lim f x0,特別：fM（即 fx是有界量）limx0,特別：f0 lim Clim C 04.lim C05未定式1 0型0A. 分子,分母含有相同的零因式，消去零因式B. 等價無窮小替換（常用

11、sin x x,ex 1 x,ln x 1 x）C.洛必達法則：要求fx ,g x存在,且limf x存在,此時,limg xg xlimg xA. 忽略掉分子，分母中可以忽略掉的較低階的無窮大，保留最高階的無窮大，再化簡計算B. 分子，分母同除以最高階無窮大后，再化簡計算.C. 洛必達法則.3 型通過分式通分或無理函數(shù)有理化，轉(zhuǎn)化為0型或一型014 0 轉(zhuǎn)化為0 0分段函數(shù)：分段點的極限用左，右極限的定義來求解.1x xe或求對數(shù)來計算.1 000型求對數(shù)00型求對數(shù)01型通過lim 1567x 0基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(C)0 , C是常數(shù)(x ) x 1（ax） ax lna，特別地，當

12、 a e時，（ex）(lOg aX)特別地，當ae 時，（In x）(sin x)cosx(cosx)sin x(ta n x)12cos x2sec x(8)(cot x)1.2sin x2csc x(9)(secx)(secx)tan x(10)(csc x)(cscx) cot x(11)(arcsin x)1Tx2(12)(arccosx)1Tx2(13)(arctan x)11x2(14)(arccot x)11x2基本初等函數(shù)的微分公式(1)、dc 0（c為常數(shù)）；、d(x )x 1dx（為任意常數(shù)）；、d(ax) axln adx，特別地，當ae 時，d (ex) exdx ；、

13、d(logax)1丄dx，特別地，當xln au1a e 時，d (ln x)dx ；x、d(sin x)cos xdx ；、d (cos x)sin xdx ；、d(tan x)sec2 xdx ；(8)、d (cot x)csc2 xdx ；(9)、d (sec x)secx tan xdx ；(10)、d (cscx)cscxcot xdx ；(11)、d (arcsin x)(12)、d (arccos x)1dx ； 、1 x2(13)、d (arctan x)dx ； x(14)、d (arc cot x)曲線的切線方程y yof(x)(x X。)幕指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)u xv x l n

14、 u x v x u x極限、可導(dǎo)、可微、連續(xù)之間的關(guān)系條件A 條件B 條件A 邊際分析 邊際成本條件B， 條件A， 條件B，A為B的充分條件A為B的必要條件A和B互為充分必要條件邊際利潤 彈性分析MC =C (q);邊際收益ML = L(q)，L(q) R(q)MR = R(q)；C (q) = MR MCy f (x)在點x。處的彈性,EyExX。Xgyoy(X。)特別的，需求價格彈性:ED pEP oD(p)羅爾定理若函數(shù)f (x)滿足:(1)在閉區(qū)間a,b連續(xù)；在開區(qū)間(a, b)可導(dǎo)；f (a) f (b)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點，使 f ( )0 .拉格朗日定理(8)(9)(

15、10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)設(shè)函數(shù)f(x)滿足：(1)在閉區(qū)間a,b連續(xù)；則在(a,b)(2)在開區(qū)間(a,b)可導(dǎo)，f(b) f(a)b a上至少存在一點，使得f ()基本積分公式0dx Ckdx kx Ck為常數(shù)特別地：dx x C1xCA UA11dxIn |x|Cxxxaa dxCInaexdx ex C1(有時絕對值符號也可忽略不寫)cosxdx sinx C sin xdx cosx Cdx2 sec xdx tanx Ccos xdx2 esc xdx cotx Csin xsecx tanxdx secx Cesex c

16、ot xdx cscx Cdx1 x2arcta nx C (或dx1 x2arc cot x C)dxarcsinx C (或dxarccosx C)tan xdx In |cosx | C， cot xdx In |sin x | C， secxdx In | secx tanx| C， cot xdx In | cscx cot x| C，2dx 21 arctan C， (a 0)，a x aadxa2x2 In2aC，(a0)，dx(21)2dx2/ 2 2a xdx(22)一dx -2 2x ax.arcsin C， (a 0)，aIn x x2 a2(a 0).常用湊微分公式(1

17、)、dxd ax b a, b為常數(shù)a、1 2 xdx d x2、11dxd xx、=dx 2djx、. x、1dx d l n xx、exdx dex、sin xdx d cosx(8)、cosxdx d sin x(9)、sec xdx d tan x(10)、csc2 xdxd cot x）、.1 dx d arcsinx、1 x2(12)、12 dx d arcta n x1 x2,且a一階線性非齊次微分方程孚 P(x)ydxQ(x)的通解為yP(x)dxQ(x)eP(x) dxdx C2)區(qū)域D由連續(xù)曲線X (y),x(y)和直線x=c,x=d圍成，其中(y)(y) c y d(右圖

18、)dD的面積 A (y)(y) dy平面圖形繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體體積公式1、繞X軸的旋轉(zhuǎn)體體積(右圖)b 2Vxf 2(x)dxa注意：此時的曲邊梯形必須緊貼旋轉(zhuǎn)軸.2、繞y軸的旋轉(zhuǎn)體體積(右圖)d 2Vy c g (y)dy注意：此時的曲邊梯形必須緊貼旋轉(zhuǎn)軸.由邊際函數(shù)求總函數(shù)qC(q) o f(x)dx Co (Co 總利潤函數(shù)為L(q) R(q)C(0)為固定成本)R(q)C(q)q0g(x) f(x)dx Co0 g(x)dx多元復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式設(shè)函數(shù)u = (x, y)、v =(x, y)在點(x, y)有偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)z = f (u, v)在對應(yīng)點(u, v)處可微，則復(fù)合函數(shù)z = f ( (x, y)4 (x, y)在點(x, y)的偏導(dǎo)數(shù)zzuzvzzu z vxuxvxyuy v y兩個特例：dzzduudvz = f (u, v), u (t),v(t):dtudtvdtz dz uuzdzu,uz = f (u), u = u (x, y)：f (u)-f (u).x du xxyduyy隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式兀方程F (x, y) 0所確定的隱函數(shù)：魚xdxFy三元方程F(x, y, z) = 0所確定的二元隱函數(shù):? _Fx _z Li xFj y Fz1