(完整版)第六章實數知識點總結

1、第六章 實數知識網絡:考點一、實數的概念及分類1、實數的分類r 正有理制j有理數齊 零卜有限卜數和王限1ft環(huán)小數宴埶斗L-員有理鎖廠正形里數-1J無理針 y卜無隔羽廚環(huán)4魁L煲無理數2、無理數在理解無理數時，要抓住“無限不循環(huán)”這一點，歸納起來有四類(1) 開方開不盡的數，如.7,3 2等；(2) 有特定意義的數，如圓周率n或化簡后含有 n的數，如n +8等；3(3) 有特定結構的數，如 0.1010010001等；(4) 某些三角函數，如 sin60。等(這類在初三會出現)判斷一個數是否是無理數，不能只看形式，要看運算結果，如16是有理數，而不是無理數。3、有理數與無理數的區(qū)別(1) 有理

2、數指的是有限小數和無限循環(huán)小數，而無理數則是無限不循環(huán)小數；(2) 所有的有理數都能寫成分數的形式(整數可以看成是分母為1的分數)，而無理數則不能寫成分數形式?？键c二、平方根、算術平方根、立方根1、概念、定義(1) 如果一個正數x的平方等于a,即廠 二，那么這個正數 x叫做a的算術平方 根。(2) 如果一個數的平方等于 a,那么這個數就叫做 a的平方根(或二次方跟)。如果 疋二農，那么x叫做a的平方根。(3) 如果一個數的立方等于 a,那么這個數就叫做 a的立方根(或a的三次方根)。 如果二 -；,那么x叫做a的立方根。2、運算名稱(1) 求一個正數a的平方根的運算，叫做開平方。平方與開平方互

3、為逆運算。(2) 求一個數的立方根的運算，叫做開立方。開立方和立方互為逆運算。3、運算符號(1) 正數a的算術平方根，記作“.、可”。(2) a(a0)的平方根的符號表達為l，r： r o(3) 一個數a的立方根，用表示，其中a是被開方數，3是根指數。4、運算公式a (石=立(2。)= |= 0謹口=_並(注慧:遣說明三次根號內的員號可以移到根號外面訃4、開方規(guī)律小結(1) 若a 0,則a的平方根是 、a , a的算術平方根 a ;正數的平方根有兩個， 它們互為相反數，其中正的那個叫它的算術平方根；0的平方根和算術平方根都是 0 ；負數沒有平方根。實數都有立方根，一個數的立方根有且只有一個，并

4、且它的符號與被開方數的符號 相同。正數的立方根是正數，負數的立方根是負數，0的立方根是0。(2) 若a0,則a沒有平方根和算術平方根；若a為任意實數，則a的立方根是7 。(3) 正數的兩個平方根互為相反數，兩個互為相反數的實數的立方根也互為相反數?？键c三、實數的性質有理數的一些概念，如倒數、相反數、絕對值等，在實數范圍內仍然不變。1、相反數(1) 實數a的相反數是-a；實數與它的相反數是一對數(只有符號不同的兩個數叫 做互為相反數，零的相反數是零)(2) 從數軸上看，互為相反數的兩個數所對應的點關于原點對稱，如果a與b互為 相反數，則有a+b=0, a=-b,反之亦成立。2、絕對值(1) 要正

5、確的理解絕對值的幾何意義，它表示的是數軸上的點到數軸原點的距離， 數軸分為正負兩半，那么不管怎樣總有兩個數字相等的正負兩個數到原點的距離相 等。囘為。(2) 若|a|=a貝V a%;若|a|=-a,貝V a切，零的絕對值是它本身。(3)實數a的絕對11皓a(a 0)a(a 0)3、倒數(1) 如果a與b互為倒數，則有 ab=1，反之亦成立。實數 a的倒數是1/a ( a* 0)(2) 倒數等于本身的數是1和-1。零沒有倒數?？键c四、實數的三個非負性及性質1、在實數范圍內，正數和零統(tǒng)稱為非負數。2、非負數有三種形式(1)任何一個實數a的絕對值是非負數，即|ap 0;(2)任何一個實數a的平方是非

6、負數，即(3) 任何非負數的算術平方根是非負數，即“ 一)。3、非負數具有以下性質(1) 非負數有最小值零；(2) 非負數之和仍是非負數；(3) 幾個非負數之和等于 0，則每個非負數都等于 0.考點五、實數大小的比較實數的大小比較的法則跟有理數的大小比較法則相同：(1) 正數大于0, 0大于負數，正數大于一切負數，兩個負數比較，絕對值大的反 而?。?2) 實數和數軸上的點對應，在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數 大；(3) 兩個數比較大小常見的方法有：求差法，求商法，倒數法，估算法，平方法。(4) 對于一些帶根號的無理數，我們可以通過比較它們的平方或者立方的大小。常用有理數來估計無理數

7、的大致范圍，要想正確估算需記熟020之間整數的平方和010之間整數的立方.考點六、實數的運算(1) 在實數范圍內，可以進行加、減、乘、除、乘方及開方運算(2) 有理數的運算法則和運算律在實數范圍內仍然成立(3) 實數混合運算的運算順序與有理數的運算順序基本相同，先乘方、開方、再乘 除，最后算加減。同級運算按從左到右順序進行，有括號先算括號里。(4) 在實數的運算中，當遇到無理數時，并且需要求結果的近似值時，可以按照所 要求的精確度用相應的近似有限小數去代替無理數，再進行計算。二、典例剖析，綜合拓展知識點1：算術平方根11丄的算術平方根為(169)(A)13(B)_! ( C) 土丄1313(D

8、)(丄)1692.的算術平方根可表示為，即169算術平方根的定義：3算術平方根的表示方法: （用含a的式子表示）13. -有算術平方根嗎？ 8的算術平方根是2嗎？169算術平方根具有 性，即被開方數 a 0 ，,a本身 0，必須同時成立4、已知5.11的小數部分為 m，5.11的小數部分為n，則m n 跟蹤練習： 式子.x 3有意義，x的取值范圍 已知：y= . X 5+5 X +3,求xy的值 3 avb 40，求a+b的值知識點2:平方根1.49的平方根是 ，算術平方根是 ，它的平方根可表示為 2、, 9的平方根是3、快速地表示并求岀下列各式的平方根92（1）1 | 5|（3）0.81（9

9、）16平方根的定義：平方根的表示方法 （用含 a 的式子表示）平方根的性質：4、如果一個數的平方根是 a 1和2a 7，求這個數5.用平方根定義解方程 16 (x+2) 2=81 4x2-225=06、下列說法正確的是（)A、16的平方根是4 B 、6表示6的算術平方根的相反數C 任何數都有平方根知識點3:立方根2D 、a 一定沒有平方根1. 8的立方根是立方根的定義：，表示為立方根的表示方法：（用含a的式子表示）2.說岀下列各式表示的意義并求值： 30.512 =-3729 = 3 ( 2)3 =如(3 8 ) 3=3.如果3 x 2有意義，立方根的性質：x的取值范圍為4.用立方根的定義解方

10、程 x3-27 =0 2 (x+3) 3=512拓展提高：1、已知.31.732，.305.477，(1) . 300; (2)、0.3;（3） 0.03的平方根約為；（4）若. x 54.77，則x2、已知 3_3 1.442 , 3 30 3.107 , 3 3006.694，求(1) 3 0.3 ;(2) 3000 的立方根約為 ; (3) 3 x 31 .07，則 x 知識點4:重要公式公式一 ：T22 = 32 = 42 =、( 2)2 = , ( 3)2 = .( 4)2 =a2 = / 1 :有關練習： .,( )2 = . 19992 =2.如果.(a 3)2 =a-3，則a的取值范圍是 ;如果.(a 3)2 =3-a，則a的取值范圍是