數(shù)列求和的基本方法歸納

1、數(shù)列求和的基本方法歸納 、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法 等差數(shù)列求和公式: Sn n1a.) 2 nai n(n 1)d 2 (q 1) 等比數(shù)列求和公式: Sn Q(1 qn) a1anq (q 1) n Snk k 1 丄n(n 1) 2 n 21 Snk n(n k 16 1)(2n 1) 例1已知log 3 x log 2 3 1，求x 的前n項(xiàng)和. 解：由log 3 x log3 x log 2 3 log 3 2 由等比數(shù)列求 X2 X3 （利用常用公式） _ x(1 xn) _ 2(1 1 x 詁的最大值. 例 2設(shè) Sn _ 1+

2、2+3+ +n , n N*,求 f(n) (n 解：由等差數(shù)列求和公式得S”如n 1 1)，5 齊 1)(n 2) （利 用常用公式） f(n) Sn (n 32)Sn 1 n n2 34n 64 _ 1 5050 1 64 廠 82 n 34C n ) nn 當(dāng) n 8 石，即 n = 8 時(shí)，f (n)max 1 50 二、錯(cuò)位相減法求和 這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要 用于求數(shù)列an bn的前n項(xiàng)和，其中 an 、 bn 分別是等差數(shù)列和等比數(shù) 列.（如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成 的，那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法

3、來求.） 在寫出“ Sn ”與“qSn ”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“ 錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“ Sn qSn ”的表達(dá)式. 例 3求和：Sn 1 3x 5x22222 2n (1)Sn234nnr 2 2 2 2 2 2 7x3（2n 1）xn 1 解：由題可知，（2n 1）xn1的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n 1的通項(xiàng)與等比數(shù)列xn1 的通項(xiàng)之積 設(shè) xSn 1x 3x2 5x3 7x4 (2n1)xn （設(shè)制錯(cuò)位） 一得(1 x)Sn 1 2x 2x2 2x3 2x4 2xn 1(2n1)xn （錯(cuò)位 相減） 再利用等比數(shù)列的求和公式得: (1 X)Sn 2x 1 xn1 (2n1)xn S

4、n (2n 1)xn1 (2n 1)xn (1 x) (1 x)2 例4求數(shù)列2二，2,聲,前n項(xiàng)的和. 2 22 232n 解：由題可知，誥的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n的通項(xiàng)與等比數(shù)列*的通項(xiàng)之 積 設(shè)Sn 2 4 6 2n 2 22 23 2n 丄Sn 2 2 4 6 2n 22 23 24 2* 1 （設(shè)制錯(cuò)位） 得 （錯(cuò)位相減） Sn 2n 三、倒序相加法求和 這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過來 排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè)（ai an）.（如果一個(gè)數(shù)列an， 首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n 例 5求證：C

5、0 3C： 5C： (2n 1)C： (n 1)2 證明：設(shè) Sn C 3Cn 5C (2n 1)C； 項(xiàng)和即可用倒序相加法） 把式右邊倒轉(zhuǎn)過來得 Sn (2n 1)C：(2n 1)C；1 3C： C0 （反序） Sn (2n 1)C0(2n 1)C： 3C： 1 . +得 2Sn (2n 2)(c0 cn C；)2(n1) 2n （反序 相加） Sn (n 1) 2n 例 6求 sin21 2 2 sin 2 sin 3 sin2 88 sin2 89的值 解：設(shè)S sin21 sin2 2 sin2 3 sin2 88 sin2 89 將式右邊反序得 2 S sin 89 2 sin 88

6、 2 2 2 sin 3 sin 2 sin 1 （反序） 又因?yàn)?sin x cos(90 x),sin2x cos2 x 1 + （反序相加） 2S (sin21cos21 ) (sin22cos2 2 )(sin 289cos2 89 ) = 89 S = 44.5 .(若 則求 四、分組法求和 有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開, 可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可 個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成， 和時(shí)可用分組轉(zhuǎn)化法，分別求和而后相加減.) 分組求和常見類型及方法 (1) an = kn + b

7、，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式直接求解； (2) an = a qn 1，利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式直接求解； 1 7,3n 2， a n 1 (3) an = bn 士 cn，數(shù)列bn, cn是等比數(shù)列或等差數(shù)列， 例7求數(shù)列的前n項(xiàng)和：1 1,- 4丄 3n 2) ( a a a 解：設(shè) Sn (1 1) (- 4)(-2 7) aa 將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得 Sn (1 1 2 a 1 F)(1 a 3n 2) (分組) Sn (3n1)n 2 (3n1)n 2 (分組求和) 例 8求數(shù)列n(n+1)(2n+1) 解解設(shè) akk(k 1)(2k 1 n a 11 a 的前 (3n 2 1)n

8、 n項(xiàng)和. 1) 2k3 3k2 k 1 a 1 (3n 1)n 2 nn 32 Snk(k 1)(2k 1) =(2k 3k k) k 1k 1 將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得 nnn Sn = 2 k 1 .32 k 3 k k 1k 1 k （分組） =2(13 23 n3) 3(1222 n2) (1 2 n) n2(n 1)2 n(n 1)(2 n 1) n(n 1) 2 2 2 （分組求和） n(n 1)2( n 2) 2 五、裂項(xiàng)法求和 這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用 的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng), 的.通項(xiàng)分解 （裂項(xiàng)） 如: (1 ) f(n 1)

9、 f (n) (3) 1 n(n 1) (5) (6) an .裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中 最終達(dá)到求和的目 (2)si cos n cos(n 1) tan(n 1) tan n (4) an (2n)2 (2n 1)(2 n 1) 2(2n 1 2n 1 n(n 1)( n 2)2【n(n1) (n 1)(n 2) n 2 n(n 1) 2(n1) n 1 n n(n 1) 2 1 (n 1 (n 1)2n 例9求數(shù)列112, 23, 的前 n項(xiàng)和. （裂項(xiàng)） 1 if1 23 （裂項(xiàng)求和） =(、2 1) (、3.2) 例10在數(shù)列an中, an 1，又 bn 2 an an 1 ,求數(shù)列b

10、n的前 n項(xiàng)的和. 解: an （裂項(xiàng)） 數(shù)列bn的前 n項(xiàng)和 Sn 8(1 1) (1 2 2 3) (1 1) (- n 1) （裂 項(xiàng)求和） =8(1 1) =8n n 1 例 11 求證 解: （裂項(xiàng)） cos0 cos1 cos1 cos2 cos88 cos89 .2 sin 1 1 1 1 cos0 cos1 cos1 cos2 cos88 cos89 si n1 cos n cos(n 1) 1 1 1 1 1 1 C0S1 設(shè)S tan(n COS0 C0S1 cos1 cos 2 cos88 cos89 1) tan n （裂 項(xiàng)求和） 1 =(ta n 1 si n1 t

11、anO )(tan 2 tan1 ) (tan 3 tan 2 ) tan 89 tan 88 = (tan 89 si n1 tan 0 1 sin 1 cot1 = cos1 sin21 原等式成立 六、合并法求和 =5 針對(duì)一些特殊的數(shù)列，將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此， 在求數(shù)列的和時(shí)，可將這些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求 Sn. 例 12 求 cosl + cos2 + cos3 + + cos178 + cos179 的值. a6k 1 a6k 2 a6k 3 a6k 4a6k 5 a6k 6 找特 cosn cos(180 n ) （找特殊性質(zhì)項(xiàng)） Sn = (cos

12、1 + cos179 ) +( cos2 + cos178 ) + (cos3 + cos177 ) + +（ cos89 + cos91 )+ cos90 （合并求和） = 0 例13數(shù)列an: a1 1,a2 3,a3 2,an 2 an 1 an ，求 S2002 . 解：設(shè) S2002 = a1 a 2a3a 002 由 a1 1, a2 3, a32, an 2 an 1 an可得 解：設(shè) Sn = cosl + cos2 + cos3 + + cos178 + cos179 殊性質(zhì)項(xiàng)） S2002 a1 a2 a3a2002 合并求和） (a1a2 a3 a6) (a7 a8 a1

13、2 ) (a6k 1 a6k 2 a6k 6) =ai999 a2000 a2001 a2002 =a6k 1 a6k 2 a6 k 3a6k 4 例14在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若a5a6 9,求log 3 a1 log3 a2log 3 a10 的值. 解：設(shè) Sn log3 ai log3 a2log3 aio 由等比數(shù)列的性質(zhì)m n p qaman apaq (找特殊性質(zhì)項(xiàng)) 和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)log a M loga N logaM N 得 Sn (log 3 ai log3 aio) (log 382 log3 a9)(log385 log3 a6)(合并求 和) =(log 3

14、ai aio) (log 3 a2 a9)(log 3 a5 a6) =log39 log 39 log39 =io 七、利用數(shù)列的通項(xiàng)求和 先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特征，然后再利用 數(shù)列的通項(xiàng)揭示的規(guī)律來求數(shù)列的前 n項(xiàng)和，是個(gè)重要的方法. 例 i5求i ii iii 111 1之和 . n個(gè)1 解：由于iii 1 19999 (10k i) (找 k個(gè) i 9k個(gè) 1 9 通項(xiàng)及特征) i ii iii 111 1 n個(gè) 1 ii =-(io i0(i0n i) n i) 9 1 2 1 3 JO 1)尹 1) 1 -(1On 1) 9 (分 組求和) =lO1 io9 io i 9 1O