數(shù)列中分奇偶項(xiàng)求和問題

1、數(shù)列中分奇偶數(shù)項(xiàng)求和問題 陜西省吳起縣咼級(jí)中學(xué)魯俊 數(shù)列求和問題中有一類較復(fù)雜的求和，要對(duì)正整數(shù)n進(jìn)行分奇數(shù)和偶數(shù)情形的 討論，舉例說明如下： 一、相鄰兩項(xiàng)符號(hào)相異； 例i:求和：Q Sn n i (-i ) (4n-3) n N 解：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)： Sn i 59 i3n n n 4n 2 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)： S. i 59 i3nn -3) n-i 2 4 (4i-3) n 二、相鄰兩項(xiàng)之和為常數(shù)； 例2：已知數(shù)列an中ai=2, an+an+i=1，Sn為an前n項(xiàng)和，求Sn 解：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)： Sn a?8384 an ian (ai a2) (a3 a4) /、 n 彳 n (an ia

2、n)i 2 2 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)： S. q (a2 a3)何 a5) (an ian) 2 n i n 3 2 2 二、相間兩項(xiàng)之差為常數(shù)； 例 3:已知數(shù)列an中ai=1,a2=4,an=an-2+2(n3),Sn為an前n 項(xiàng)和，求Sn 解：T an-an-2=2(n3) ai,a3,a 5,a 2n-i為等差數(shù)列；a2,a4,a6,a2n為等差數(shù)列 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)：j i zn i (i)?2 n 2 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)： 4 (-i)?2 n 2 2 即n M時(shí)，j n i ( i)n Sn n i n(n i) (i 2 3 n)2 n i n為奇數(shù)時(shí)： 2 2 Sn (i 2 小、n c n

3、(n i) 3 n)2 n n為偶數(shù)時(shí)： 2 2 四、相間兩項(xiàng)之比為常: 數(shù); 1 + 例 4:已知 an, an+i 為方程 x2 Cnx (?n 0 的兩根 n N , ai=2, Sn=Ci+C2+Cn, 求an及S2n0 1 解：依題意：an?an1 （-）n 3 也3 其中a12, a21。 an 36 a1,a3,a5,a?n 1為等比數(shù)列; a2,玄厶代，,a?n為等比數(shù)列 an n為偶數(shù)時(shí)： 1 n 1 a2(3)2 1 1 6（3）2 n為奇數(shù)時(shí)：an 1叮 2(3)2 1 2(3)2 則有: an n 2k 1(k N ) 1 1 n 2(3)2 n 2k(k N 而 Cn=an+an+1 Cn n為奇數(shù)時(shí)，n+1為偶數(shù)： 則： an an 1叮 2（3）2 匹(1丄) .63 C1C3C5C2n 11 1 - 3 于是: C n為偶數(shù)時(shí)，n+1為奇數(shù)： 1 1丄 2(3)2 1 - 2(3)2 C2 C4 C2n -(1-7) 63n 1 1 3