《線性代數(shù)》知識點歸納(20210127001410)

1、線性代數(shù)知識點歸納整理 誠毅學(xué)生編01、余子式與代數(shù)余子式02、主對角線03、轉(zhuǎn)置行列式04、行列式的性質(zhì)05、計算行列式06、矩陣中未寫出的元素07、幾類特殊的方陣08、矩陣的運算規(guī)則09、矩陣多項式10、對稱矩陣11、矩陣的分塊12、矩陣的初等變換13、矩陣等價14、初等矩陣15、行階梯形矩陣 與 行最簡形矩陣 16、逆矩陣仃、充分性與必要性的證明題 18、伴隨矩陣19、矩陣的標(biāo)準形:20、矩陣的秩：21、矩陣的秩的一些定理、推論 22、線性方程組概念23、齊次線性方程組與非齊次線性方程組(不含向量)24、行向量、列向量、零向量、負向量的概念 25、線性方程組的向量形式26、線性相關(guān)與線性

2、無關(guān)的概念27、向量個數(shù)大于向量維數(shù)的向量組必然線性相關(guān)28、 線性相關(guān)、線性無關(guān)；齊次線性方程組的解；矩陣的秩這三者的關(guān)系及其例題29、線性表示與線性組合的概念30、線性表示；非齊次線性方程組的解；矩陣的秩 這三者的關(guān)系其例題 31、線性相關(guān)(無關(guān))與線性表示的3個定理32、最大線性無關(guān)組與向量組的秩 33、線性方程組解的結(jié)構(gòu)01、余子式與代數(shù)余子式an ai2 ai3(1) 設(shè)三階行列式a21 a22 a23，貝Ua3i a32333 元素an , a12, a13的余子式分別為:a22a23，M2 =a21a23，M3 =a21a22a32a33a31a33a31a32對Ml的解釋：劃掉

3、第1行、第1列，剩下的就是一個二階行列式 a22 a23，這個a32 a33行列式即元素an的余子式M1。其他元素的余子式以此類推 元素an , a12, a13的代數(shù)余子式分別為:A ( 1)耐1 ,怎=(1)1+2M|2 ,A3= ( 1)1+對A的解釋(i表示第i行，j表示第j 列) : A二(1)1 +j M j(N階行列式以此類推)M1 =0Ap (-1)(2) 填空題求余子式和代數(shù)余子式時，最好寫原式。比如說，作業(yè)P1第1題:3+1(3) 例題：課本P8課本P21-27、作業(yè)P1第1題、作業(yè)P1第3題02、主對角線一個n階方陣的主對角線，是所有第 k行第k列元素的全體，k=1,2,

4、 3n，即從左上到右的一條斜線。與之相對應(yīng)的稱為副對角線或次對角線，即從右上到左下的一條斜線03、轉(zhuǎn)置行列式即元素aij與元素aji的位置對調(diào)（i表示第i行，j表示第j 列），比如說，ai2與的位 置對調(diào)、a35與a53的位置對調(diào)。04、行列式的性質(zhì)aiiA + ai2 Ak2 +=A ， i= k，0，i k（i表示第i行，k表示第k列）熟練掌握行列式的性質(zhì)，可以迅速的簡化行列式，方便計算。例題：作業(yè)P1第2題05、計算行列式（1）計算二階行列式a 2i a 22 方法（首選）：ai1 ai2 = ana22-ai2a2i （即，左上角X右下角一右上角X左下角） a2i a 22anai2方

5、法:= a“Aii+ ai2 Ai2 = a“a22 ai2a2ia2ia 22例題：課本Pi4aiiai2ai3(2)計算二階行列式a2ia22a23aiiai2ai3a2ia22a23a3ia32a33a3ia 32a33+ ii+ 2i+ 3=aiiAii+ ai2 Ai 2+ ai3 Ai3 = a ( i) Mi + ai2 ( i) M2 + ai3 ( i)M3N階行列式的計算以此類推。通常先利用行列式的性質(zhì)對行列式進行轉(zhuǎn)化，0元素較多時方便計算.（r是row，即行。c是 column，即歹U）例題：課本P5課本P9課本P14作業(yè)P1第4題、作業(yè)P2第3小題（3）n階上三角行列式

6、（0元素全在左下角）與n階下三角行列式（0元素全在右上角）：D= aiia22亦（主對角線上元素的乘積）例題：課本P10作業(yè)P3第4小題有的題可以通過“從第二行起，將各行的元素對應(yīng)加到第一行”轉(zhuǎn)化成上三角行列式例題：課本P11（4）范德蒙行列式：詳見課本P12-13（5） 有的題可以通過“從第二行起，將各行的元素對應(yīng)加到第一行”提取出“公因式”，得到元素全為1的一行，方便化簡行列式。例題：作業(yè)P2第1小題、作業(yè)P2第2小題06、矩陣中未寫出的兀素課本P48下面有注明，矩陣中未寫出的元素都為 007、幾類特殊的方陣詳見課本P30-32(1) 上 (下)三角矩陣：類似上(下)三角行列式(2) 對角

7、矩陣：除了主對角線上的元素外，其他元素都為0(3) 數(shù)量矩陣：主對角線上的元素都相同(4) 零矩陣：所有元素都為0,記作O(5) 單位矩陣：主對角線上的元素都為1,其他元素全為0,記作E或E.(其行列式的值為1)08、矩陣的運算規(guī)則(1) 矩陣的加法(同型的矩陣才能相加減，同型，即矩陣A的行數(shù)與矩陣B的行數(shù)相同； 矩陣A的列數(shù)與矩陣B的列數(shù)也相同)： 課本 P32 “ A+ B” “ A B” 加法交換律：A+ B= B+ A 加法結(jié)合律：A+( B+ C) = ( A+ B) + C(2) 矩陣的乘法(基本規(guī)則詳見課本 P34陰影): 數(shù)與矩陣的乘法：I. 課本 P33 “kA”II. kA

8、二kn A (因為k A只等于用數(shù)k乘以矩陣A的一行或一列后得到的矩陣的行列 式) 同階矩陣相乘(高中理科數(shù)學(xué)選修矩陣基礎(chǔ))：ana12bnb12abna12b21ab12a12b22x=a21a22b21b22a21bna22b21a21b12a22b22A b描述：令左邊的矩陣為，令右邊的矩陣為，令計算得到的矩陣為，則C DA的值為：中第1行的每個元素分別乘以中第1列的每個元素，并將它們 相加。即 A= an x bn + a12 x b21B的值為：中第1行的每個元素分別乘以中第 2列的每個元素，并將它們 相加。即 B= aii x bi2 + ai2 x b22C的值為：中第2行的每個

9、元素分別乘以中第1列的每個元素，并將它們 相加。即 c= a2i x bii + a22 x b2iD的值為：中第2行的每個元素分別乘以中第2列的每個元素，并將它們相加。aiiai2ai3a2ia22a23xa3ia32a33bii bi2 bi3b2i b22 b23即 d= a2i x bi2 + a22 x b22.aiibiiai2b2iai3b3iaiibi2ai2b22ai3b32aiibi3ai2b23ai3b33a2ibiia22b2ia23b3ia2ibi2a22b22a23b32a2ibi3a22b23a23b33a3ibiia32b2ia33b3ia3ibi2a32b22

10、a33b32a3ibi3a32b23a33b33b3i b32 b33ABC描述：令左邊的矩陣為，令右邊的矩陣為，令計算得到的矩陣為D E FG H I則A的值為：中第i行的每個元素分別乘以中第i列的每個元素，并將它們 相加。即 a= aii x bii + ai2 x b2i + ai3 x b3iB、C、D E、F、G H、I的值的求法與A類似。 數(shù)乘結(jié)合律：k (lA ) = ( kl ) A，(kA) B= A (kB)= k (AB 數(shù)乘分配律：(k +1 ) A= kA+ lA，k (A+ B)= kA+ kB 乘法結(jié)合律：(AB C= A ( BC 乘法分配律：A (B+ C)=

11、 AB+ AC，(A+ B) C= AC+ BC 需注意的：I. 課本P34例題兩個不等于零的矩陣的乘積可以是零矩陣II. 課本P34例題數(shù)乘的消去律、交換律不成立III. 一般來講，(AB) kM Ak B k，因為矩陣乘法不滿足交換律IV. 課本P40習(xí)題第2題：(A+ B) 2不一定等于A + 2AB+ B2，(A+ B) 2不一定等于A + 2AB+ B2，(A+ B) (A- B)不一定等于A2- B2.當(dāng)A吐BA時，以上三個等式均成立3)矩陣的轉(zhuǎn)置運算規(guī)律： (A心A (A土 B) T= at 土 bt (kA) T= kAT （AB T= BTA （ab（ct= CtBtA （A

12、BCDt= DCTBTAr（4） 同階方陣相乘所得的方陣的行列式等于兩個方陣的行列式的乘積：（詳見課本P46）AB = A B（5）例題：課本P35課本P36-37、課本P40第4大題、課本P40第5大題、課本P51第1 大題、課本P51第4大題、課本P60第4大題、作業(yè)P5全部、作業(yè)P5第3大題、作業(yè)P5第4大題09、矩陣多項式詳見課本P 3610、對稱矩陣（1） 對稱矩陣、實對稱矩陣、反對稱矩陣的概念（ 詳見課本P37）（2）同階對稱（反對稱）矩陣的和、差仍是對稱（反對稱）矩陣 數(shù) 與 對稱（反對稱）矩陣的乘積仍是對稱（反對稱）矩陣 對稱（反對稱）矩陣的乘積不一定是對稱（反對稱）矩陣11、

13、矩陣的分塊線代老師說這部分的內(nèi)容做了解即可。詳見課本P38-4012、矩陣的初等變換三種行變換與三種列變換：詳見課本P 42例題：作業(yè)P6全部13、矩陣等價若矩陣A經(jīng)過若干次初等變換后變成矩陣 B,則稱矩陣A與矩陣B等價，記為A B14、初等矩陣（1） 是由單位矩陣經(jīng)由一次初等變換而得到的矩陣。詳見課本P48-49（2） 設(shè)A為mx n矩陣，則對A施行一次初等行變換相當(dāng)于在 A的左邊乘上一個相應(yīng)的m階初等矩陣；A施行一次初等列變換相當(dāng)于在 A的右邊乘上一個相應(yīng)的n階初等矩陣.詳見課本P50-51（3）課本P51第3大題15、行階梯形矩陣與行最簡形矩陣(1) 對任意一個非零矩陣，都可以通過若干次

14、初等行變換(或?qū)Q列)化為行階梯型矩陣(2) 行階梯形矩陣與行最簡形矩陣：若在矩陣中可畫出一條階梯線，線的下方全為0,每個臺階只有一行(臺階數(shù)即是非零行的行數(shù))，階梯線的豎線(每段豎線的長度為一行)后面的第一個元素為非零元素， 也就是非零行的第一個非零元素，則稱該矩陣為行階梯矩陣。在此基礎(chǔ)上，若非零行的 第一個非零元素為都為 1，且這些非零元素所在的列的其他元素都為0，則稱該矩陣為行最簡形矩陣。例題：課本P45作業(yè)P6全部、課本P51第2大題16、逆矩陣(1) 設(shè)A為n階方陣，如果存在n階方陣B,使得A吐BA= E,則稱方陣A是可逆的，并稱B為A的逆矩陣.(由逆矩陣的定義可知，非方陣的矩陣不存

15、在逆矩陣)(2) 如果方陣A可逆，則A的逆矩陣是唯一的，并將 A的逆矩陣記作A： AA A I =TA AA1 = E| AA1 | = | E | = 1| A | | A1 = 1 =IA _(6) 分塊對角矩陣的可逆性： 課本P57(7) 由方陣等式求逆矩陣：課本P58例2.3.6(8) 單位矩陣、所有初等矩陣都是可逆的(初等矩陣是由單位矩陣經(jīng)由一次初等變換而得到的，即初等矩陣可以通過初等變換再變回單位矩陣，而單位矩陣的行列式=1工0可逆，所以初等矩陣可逆)(9) 初等矩陣的逆矩陣也是初等矩陣(10) 任一可逆方陣都可以通過若干次初等行變換化成單位矩陣= EAl A*(3) n階方陣A可

16、逆的充要條件為 A工0,并且，當(dāng)A可逆時，制(證明詳見課本P54)例題：課本P59第1大題(4) 可逆矩陣也稱為非奇異方陣(否則稱為奇異方陣)(5) 性質(zhì)：設(shè)A，B都是n階的可逆方陣，常數(shù)k工0,那么 (A )一 1 = A AT也可逆，并且(A宀(A-1)t(kA)-1 = 1 A1k kA也可逆，并且AB也可逆，并且(AB -1 = B1 A+ B不一定可逆，而且即使 A+ B可逆，一般(A+ B)-1工A1 + B1(11) 方陣A可逆的充要條件是：A可以表示為若干個初等矩陣的乘積(證明：課本P67)(12) 利用初等行變換求逆矩陣:A|E初等行變換EIA1(例題：課本P68課本P71)

17、(13) 形如AX= B的矩陣方程，當(dāng)方陣 A可逆時，有A1 AX= AB 即X= A-1B.此時有：A| B 初等行變換 E |X矩陣方程的例題：課本P35課本P69課本P41第6大題、課本P56、課本P58、課本P59第3大題、課本P60第5大題、課本P60第7大題、課本P71第3大題 矩陣方程計算中易犯的錯誤： 課本P56 “注意不能寫成”17、充分性與必要性的證明題(1) 必要性：由結(jié)論推出條件(2) 充分性：由條件推出結(jié)論例題：課本P41第8大題、作業(yè)P5第5大題18、伴隨矩陣(1) 定義：課本P52定義2.3.2(2) 設(shè)A為n階方陣(n2),則aA=A*A=|AE (證明詳見課本

18、P53-54)(3) 性質(zhì)：(注意伴隨矩陣是方陣) A 二 |AA1(kA)kA (kA)-1=宀撲1AA-1 | 二An | A-1| = |Ak n 1 A A1 = k-T1 (因為存在Ak n-1A*(k 工 0)A-1,所以A工0 )二An-1(A)*aa-|AA-1 | ( AA1)-1An| A-1| A(a廠AAa二An-因為収 E，所以A-1的逆矩陣是A，即(A-1)-1 )(AB * = BA(A) A(4) 例題：課本P53、課本P55、課本P58、課本P60第6大題、作業(yè)P7第2題、作業(yè)P8全部19、矩陣的標(biāo)準形:(1) 定義：課本P61-62(2) 任何一個非零矩陣都

19、可以通過若干次初等變換化成標(biāo)準形20、矩陣的秩：(1) 定義：課本P63(2) 性質(zhì)：設(shè)A是mx n的矩陣，B是px q的矩陣，貝U 若k是非零數(shù)，則R (kA) = R (A) R (A)二 R ) 等價矩陣有相同的秩，即若 A B,則R (A)二R (B) 0 R (Am n) min m , n R (AB min R(A) ,R(B) 設(shè)A與B都是mx n矩陣，則R (A+ B) w R (A) + R ( B)(3) n階方陣A可逆的充要條件是：A的秩等于其階數(shù)，即R (A) = n(4) 方陣A可逆的充要條件是：A可以表示為若干個初等矩陣的乘積。(證明：P67)(5) 設(shè)A是mx

20、n矩陣，P、Q分別是m階與n階可逆方陣，則R(A) = R (PA) = R(AQ = R (PAQ(6) 例題：課本P64課本P66課本P71、作業(yè)P7第3題、作業(yè)P9全部21、矩陣的秩的一些定理、推論線代老師說這部分的內(nèi)容做了解即可。詳見課本P7022、線性方程組概念線性方程組是各個方程關(guān)于未知量均為一次的方程組。線性方程組經(jīng)過初等變換后不改變方程組的解。23、齊次線性方程組與非齊次線性方程組(不含向量)(1) 定義：課本P81(2) 方程組的解集、方程組的通解、同解方程組：課本P81(3) 系數(shù)矩陣A、增廣矩陣A、矩陣式方程：課本P82(4) 矛盾方程組(方程組無解)：課本P85例題(5

21、) 增廣矩陣的最簡階梯形：課本P87(6) 系數(shù)矩陣的最簡階梯形：課本P87(7) 課本P87下面有注明：交換列只是交換兩個未知量的位置，不改變方程組的解。為了方 便敘述，在解方程組時不用交換列。(8) 克萊姆法則： 初步認知：auxi+ ai2X2+ ai3X3= bi已知三元線性方程組a2*+ a22X2+ a 23x3= b?，其系數(shù)行列式ana12a13d=a21a22a23a31a32a33db1a12a13a11b(其中d =b2a22a23，D=a21bb3a32a33a31bDi當(dāng)Dm 0時，其解為：xi=旦,X2 =D2dD3X3=.d1 a13a11a12b12 a23，D

22、5 =a21a22b2)(d以此類推)3 a33a31a32b3a3ixi+ a32X2+ a33X3= b3 定義：課本P15 使用的兩個前提條件: 課本P18 例題：課本P3、課本P16-17、課本P18作業(yè)P3第7題(9) 解非齊次線性方程組(方程組施行初等變換實際上就是對增廣矩陣施行初等行變換)例題：課本P26 課本P42、課本P82、課本P84 課本P85 課本P86第1大題、課本 P88課本P91、作業(yè)P10第1題(10) 解齊次線性方程組例題： 課本P17、課本P18課本P85、課本P86、課本P90、課本P91、作業(yè)P1第5題、作業(yè)P10第2題(11) n元非齊次線性方程組 A

23、X= b的解的情況：(R( A)不可能R( A )廠 R ( A) v R ( A ) 無解V n有無窮多個解 有解Vl尸n有唯一解特別地，當(dāng)A是|A豐0 有唯一解n階方陣時，可VR( A) v R ( A ) 無解由行列式來判斷 lR (A) = R ( A ) 有解 當(dāng)|A = 0 有無窮多個解例題：課本P86第2大題、課本P88、課本P92、作業(yè)P11第三題(12) n元齊次線性方程組AX= O的解的情況：(只有零解和非零解兩種情況，有唯一解的充要條件是只有零解，有無窮多個解的充要條件是有非零解)R ( A) = n只有零解(有唯一解，為0)R ( A) v n = 有非零解(有無窮多個

24、解)特別地，當(dāng)A是n階方陣 A工0 只有零解(有唯一解，為0) 時，可由行列式來判斷|a = 0有非零解(有無窮多個解)例題：課本P24課本P90-91、作業(yè)P11全部24、行向量、列向量、零向量、負向量的概念詳見課本P92-93將列向量組的分量排成矩陣計算時，計算過程中只做行變換，不做列變換。初等行變換與初等行列變換的使用情況：矩陣、線性方程組、向量涉及行變換；列變換只在矩陣中用。（行列式的性質(zhì)包括行與列的變換）手寫零向量時不必加箭頭。25、線性方程組的向量形式詳見課本P9326、線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念詳見課本P93-94例題：課本P101第6大題、作業(yè)P14第五大題27、向量個數(shù)大于向量

25、維數(shù)的向量組 必然線性相關(guān)線代老師課上提到的結(jié)論。28、線性相關(guān)、線性無關(guān)；齊次線性方程組的解；矩陣的秩這三者的關(guān)系及其例題作業(yè)P12第二大題、作業(yè)P13第三大題、作業(yè)P13第四大題29、線性表示與線性組合的概念詳見課本P9530、線性表示；非齊次線性方程組的解；矩陣的秩這三者的關(guān)系其例題詳見課本P95-96定理3.3.3例題：課本P95-96例3.3.431、線性相關(guān)（無關(guān)）與線性表示的3個定理32、最大線性無關(guān)組與向量組的秩單位列向量，即“只有一個元素為1,且其余元素都為0”的一列向量（求最大線性無關(guān)組 用）33、線性方程組解的結(jié)構(gòu)看此內(nèi)容之前，最好先復(fù)習(xí)下“ n元非齊次線性方程組AX=

26、b的解的情況”與“ n元齊次線性 方程組AX= O的解的情況”。（1） n元齊次線性方程組AX= O解的結(jié)構(gòu) 詳見課本P101-102 “基礎(chǔ)解系、通解、結(jié)構(gòu)式通解、向量式通解”）：詳見課本P102 詳見課本P102為例): 解題步驟(“注”為補充說明)(以課本P104例34110274011310000000000注：往“行最簡形矩陣”方向轉(zhuǎn)化(因為在解方程組時不用列變換，所以一般沒法真正轉(zhuǎn)化成行最簡形矩陣，所以說“往方向轉(zhuǎn)化”(II )得到同解方程組X1 2x3注：由X2X3X1 =X2 =7X43x42x3 7x4 4x5X3 3X4 X54x5 =X5 = 00得到同解方程組(III )此方程組的一組解向量為:211 = 10073010410011有的是0, 一看便知注：在草稿紙上寫成以下形式，其中未寫出的系數(shù)有的是(IV )顯然1 ,2 ,3線性無關(guān)。2 ,3下面分別是:注：根據(jù)課本P9