一元二次方程-韋達定理的應(yīng)用及答案

1、一元二次方程韋達定理的應(yīng)用知識點：一元二次方程根的判別式：當厶0時方程當厶=0 時方程有，當厶0時方程.韋達定理的應(yīng)用：1已知方程的一個根，求另一個根和未知系數(shù)2.求與已知方程的兩個根有關(guān)的代數(shù)式的值3已知方程兩根滿足某種關(guān)系，確定方程中字母系數(shù)的值4. 已知兩數(shù)的和與積，求這兩個數(shù)2 2例1.關(guān)于x的一元二次方程 x 2mx 3m 8m 4 0 .求證：當m2時，原方程永遠有兩個實數(shù)根例2.已知關(guān)于x的方程kx22(x 1)x k 10有兩個不相等的實數(shù)根.(1) 求k的取值范圍；(2) 是否存在實數(shù) k，使此方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等于0?若存在，求出k的值;若不存在，說明理由.例3.已知

2、關(guān)于x的方程x22(k 3)x k2 4k 10(1)若這個方程有實數(shù)根，求k的取值范圍；(2)若這個方程有一個根為1，求k的值;2 1例4.已知關(guān)于 x的一元二次方程 x2 (m 2)x -m 302(1)求證：無論m取什么實數(shù)值，這個方程總有兩個不相等的實數(shù)根。若這個方程的兩個實數(shù)根 NX 滿足2X1 X2 m 1，求m的值。例5.當m為何值時，方程8x2 (m 1)x m 7 0的兩根：(1)均為正數(shù)；(2)均為負數(shù)；(3)個正數(shù)，一個負數(shù)；(4)一根為零；(5)互為倒數(shù)；都大于2.2 2例6.已知a,b,c,是 ABC的三邊長，且關(guān)于X的方程b(x 1) 2ax c(x 1) 0有兩個

3、相等的實根,求證： 這個三角形是直角三角形。例7.若n0，關(guān)于x2的方程x (m 2n)x丄mn 0有兩個相等的正的實數(shù)根,42課堂練習(xí)：1.下列一兀二次方程中，沒有實數(shù)根的是（）A. x2 2x 1 0B. x2 2 2x 2 0C. x2,2x 1 0 D. x2 x 2 02 1 12.已知X1,X2是方程x 3x 1 0的兩個根，則的值是（）xx2A.3B.-3 CD .13關(guān)于的二次方程（m1)x2 x m2 2m30的一個根為0, 則m的值為A.1B.-3C.1 或一3D.不等于1的實數(shù)4方程2 2x (k 25)x（k 2）0的兩根互為相反數(shù),k的值為（）A. k =5B. k

4、=5C. k = -5D.以上都不對5.若方程xmx 4 0的兩根之差的平方為48,m的值為（）A. 8B.8C.-8D. 46.已知關(guān)于x的方程210x (m 3)x m 70 ,若有一個根為 0 ,則m=,這時方程的另一個根是若兩根之和為35,這時方程的兩個根為27.已知方程 x px10的一個根為、5 ,可求得p=8.若25是關(guān)于x的方程2x28x0的一個根，則另一個根為29.方程2x 6x 50兩根為a,()2 =210.要使 9an 4n 6與3an是同類項,n=11.解下列方程:(1) (2x 1)2162小 x 4x 3 5x2 3x 212.關(guān)于x的方程ax2(2 a 1)x

5、(a3)0有實數(shù)根， 求a的取值范圍。13.設(shè)xj,X2是方程2x4x 10的兩根,利用根與系數(shù)關(guān)系求下列各式的值:Xi X222(1) (xi 1)( X2 1) ；(2)；(3) X1X2 .X2X-I14關(guān)于x的方程x2 (2a 1)x (a 3) 0 ,試說明無論a為任何實數(shù)，方程總有兩個不等實數(shù)根。15.已知關(guān)于 x的方程x22(m 1)x 3m2110，(1) m為何值時，方程有兩個相等的實數(shù)根？(2) 是否存在實數(shù) m，使方程的兩根 + 1?若存在， 求出方程的根；若不存在，請說明理x2 x1由。16關(guān)于x元二次方程 (c b)x2 2(b a)x a b 0有兩個相等的實數(shù)根，

6、其中a, b, c是三角形三 邊的長，試判斷這個三角形的形狀。17.已知 RtA ABC 中,兩直角邊長為方程x2(2 m7)x 4m(m 2)0 的兩根,且斜邊長為13，求S ABC的值.韋達定理的應(yīng)用測試題日期：月日滿分：100分姓名：得分1.關(guān)于x的方程ax2x 10中，如果a0 ,那么根的情況是（)A.有兩個相等的實數(shù)根B.有兩個不相等的實數(shù)根C.沒有實數(shù)根D.不能確定22.將方程x4x10的左邊變成平方的形式是（)2A. (x 2)1B.2(x 2)1C. (x - 2) 2 =5D. (x 2)253.設(shè)為必是方程2x22 26x 30的兩根，則為2X2 的值是（）A.15B.12

7、C.6D.324已知x方程mx nx k 0（m 0）有兩個實數(shù)根，則下列關(guān)于判別式的判斷正確的是（）2 2 2 2A. n 4mk 00 B. n 4mk 0 c. n 4mk 0 d. n 4mk 025. 若關(guān)于x的一元二次方程kx 6x 9 0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍為（）A. k0 D. k1 且 k026. 關(guān)于x的方程（a 2）x 2ax a 1 0有兩個不相等的實數(shù)根，a的值為（）A. a-2B. - 2a-2 且 a 工 2 D. a -2 且 a 工 227. 設(shè)n為方程x mx n 0（n 0）的一個根，貝U m n等于2 28. 如果一元二次方程x 4x k

8、0有兩個相等的實數(shù)根，那么k=9. 如果關(guān)于x的方程2x2 （4k 1）x 2k2 1 0有兩個不相等的實數(shù)根，那么k的取值范圍是 210. 已知為必是方程 x 5x 2 0的兩根，貝U：(1)為X2 =.；(2)為 X2 =；(3)(捲X2)=11.解下列一兀二次方程:2(1) 2x 3x 10r2(2) 7x4x3 0x2 6x 2012.已知關(guān)于x的方程2x2 (m1)x1 m0的一個根為4,求m值及此方程的另一-個根。13.已知：關(guān)于x的兀二次方程2 x2(2m3)x 4m214m80 ,若 m 0,求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根。14.若規(guī)定兩數(shù) a, b通過“運算，得到4ab,即玄

9、b=4ab.例如2探6=4x 2X 6=48.（1）求3探5的值；（2）求乂x+24=0中x的值。15.求證： 不論 k 取什么實數(shù)， 方程 x2 (k 6)x 4(k 3) 0 一定有兩個不相等的實數(shù)根知識點：元二次方程韋達定理的應(yīng)用參考答案元二次方程根的判別式當厶0時b24ac0方程有兩個不相等的實數(shù)根,當厶=0時b24ac0方程有有兩個相等的實數(shù)根,當厶2時，原方程永遠有兩個實數(shù)根分析：b2 4ac ( 2m)2 4 1 (8m 4) 配方法論證例2.已知關(guān)于x的方程kx2 2(k 1)x k 1 0有兩個不相等的實數(shù)根.(1) 求k的取值范圍；(2) 是否存在實數(shù) k，使此方程的兩個實

10、數(shù)根的倒數(shù)和等于0?若存在，求出k的值;若不存在，說明理由.1(1) k -且k 0(2)不存在，k=-1時無實數(shù)根32 2例3.已知關(guān)于x的方程x2 2(k 3)x k2 4k 1 0(1)若這個方程有實數(shù)根，求k的取值范圍；(2)若這個方程有一個根為1，求k的值；(1)k 0，關(guān)于x的方程x2 （m2n )x1 mn40有兩個相等的正的實數(shù)根，2分析：（m 2n）mn (m n )(m4n)0-1,4n課堂練習(xí)：1.下列一兀二次方程中，沒有實數(shù)根的是(C)2A. x 2x 10B. x22 2x2 0C.x2、2x 10 d. x2 x22.已知x1,x2是方程x3x 10的兩個根，則11

11、的值是（A ）這個三角形是直角三角形。求證:求的值。nxx2A.3B.-3 C1C.3D .13.關(guān)于的二次方程（m2 21)x x m 2m30的一個根為0，的值為A.1B.-3C.1 或一3D.不等于1的實數(shù)4方程x2 (k225)x（k 2）0的兩根互為相反數(shù),k的值為（C）A. k =5B. k =5C. k = -5D.以上都不對5.若方程xmx 40的兩根之差的平方為48,m的值為（A ）A. 8B.8C.-8D. 46.已知關(guān)于x的方程10x2 (m 3)x若有一個根為0 ,則m=_7,這時方程的另一個根是0_ 若兩根之和為則m=_-9_,這時方程的兩個根為7.已知方程 x2 p

12、x 10的一個根為J5,可求得p=_人 8, x2158.若2.3是關(guān)于x的方程2x28x0的一個根，則另一個根為 23 , k =29.方程2x 6x 50兩根為a,2 214,()2=_19與3an是同類項,則n=2n 4n 610.要使9a11.解下列方程:2(1) (2x 1)16x2 4x 30(3) 5x23x 20532 dX1, X2X1I, X23X,X212 2512.關(guān)于x的方程ax2(2 a1)x (a 3)0有實數(shù)根，求a的取值范圍。2利用根與系數(shù)關(guān)系求下列各式的值:13設(shè)x!,x2是方程2x 4x 10的兩根,(1) (X11)(X21)；x1X2XXIxj2X2(

13、1)(2)6(3)3214關(guān)于X的方程X(2a 1)x (a 3)0，試說明無論a為任何實數(shù),方程總有兩個不等實數(shù)根。分析:(2 a 1)24(a 3) 4a2 1115.已知關(guān)于 x的方程2(m1)x23m 110 ，m為何值時,方程有兩個相等的實數(shù)根?由。是否存在實數(shù)使方程的兩根+ X2 1?若存在， 求出方程的根;X2 X1若不存在，請說明理(1)2 24(m 1)24(3m211)28m 8m48 0， m12, m23(2)X2X-!(%x2)2Xfx2x1 x?1，可得3m24m 70 ,解得 m17, m316.關(guān)于x 一元二次方程 (c b)x2 2(b a)xb 0有兩個相等

14、的實數(shù)根，其中a, b, c是三角形三邊的長，試判斷這個三角形的形狀。解答:24(b a) 4(a b)(c b) 4(a b)(ac) 0， a b 或 a c等腰三角形17.已知 RtA ABC 中,兩直角邊長為方程X2(2m7)x 4m(m 2)0 的兩根,且斜邊長為13，求S ABC的值.答案：m 5,S ABC 30韋達定理的應(yīng)用測試題日期： 月日 滿分： 100分姓名： 得分： 21關(guān)于x的方程ax 2x 10中，如果a0，那么根的情況是（C）2 2x的方程2x （4k1）x 2k 10有兩個不相等的實數(shù)根,那么k的取值范圍是k9810.已知x, x2是方程x2 5x 20的兩根(

15、1) x-ix2 =-5；(2) x.X2 =9.如果關(guān)于11.解下列一元二次方程：則：22 ； (3) (X1 X2)=_17A.有兩個相等的實數(shù)根B.有兩個不相等的實數(shù)根C.沒有實數(shù)根D.不能確定22將方程x 4x 10的左邊變成平方的形式是（D ）A. (x2)2 1B.(x 2)21C. (x -2) 2 =5D. (x 2)253.設(shè)為，x2是方程2x226x 30的兩根，貝 y X1X222的值是（C）A.15B.12C.6D.34.已知x方程mx2 nxk 0(m0）有兩個實數(shù)根，則下列關(guān)于判別式的判斷正確的是（D）2A. n4mk 00 B2.n 4mk0 C.2n 4mk20

16、 D. n 4mk 05若關(guān)于2:x的一兀二次方程kx6x90有兩個不相等的實數(shù)根，貝U k的取值范圍為（D）A. k0D.k1且206.關(guān)于x的方程（a2)x22axa10有兩個不相等的實數(shù)根，a的值為（C ）A. a-2B. - 2a-2且a工2D. a -2且a工27.設(shè)n為方程x2mx n0(n0)的一個根，則m n等于-12 28如果一元二次方程x 4x k0有兩個相等的實數(shù)根，那么k=_22 2 2(1) 2x 3x 10(2) 7x 4x 30(3) x 6x 201x1-,x22 1訂2 112.已知關(guān)于 x的方程2x2(m1)x 1 m 0的一個根為4,求m值及此方程的另一個根。296m,洛55(2x 1)(x