Matlab-PDE工具箱有限元法求解偏微分方程

1、在科學(xué)技術(shù)各領(lǐng)域中，有很多問題都可以歸結(jié)為偏微分方程問題。在物理專業(yè)的力學(xué)、熱學(xué)、 電學(xué)、光學(xué)、近代物理課程中都可遇見偏微分方程。 偏微分方程，再加上邊界條件、初始條件構(gòu)成的數(shù)學(xué)模型，只有在很特殊情況下才可求 得解析解。隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，采用數(shù)值計算方法，可以得到其數(shù)值解。 偏微分方程基本形式 L橢圓型 2.拋物型 V - (cVu) + au - f 初始條件：U Q = I/ (f ) 3. 雙曲型 d C- V ( V it) + au = f dr 初始條件；Mq = u (f0 ) u 0 = u 7f0 ) 4. 本征值方程 -V (cV t/) + tziz 二 Adu 而以

2、上的偏微分方程都能利用PDE工具箱求解。 PDE工具箱 PDE工具箱的使用步驟體現(xiàn)了有限元法求解問題的基本思路，包括如下基本步驟: 1）建立幾何模型 2）定義邊界條件 3）定義PDE類型和PDE系數(shù) 4）三角形網(wǎng)格劃分 5）有限元求解 6）解的圖形表達(dá) 以上步驟充分體現(xiàn)在 PDE工具箱的菜單欄和工具欄順序上，如下 O Draw ound a / 這里以求解一牛單位圓盤的泊松方程為例亠泊松方程迪最筒單的橢圓型POE 問題.該問題的公式為 -A = 1 相當(dāng)于橢匱方程中c=t=l, a=0.邊界條件為U=0而該問題的fil確解為 信面會與竝值解做對比匚 具體實現(xiàn)如下。 打開工具箱 輸入pdetoo

3、l可以打開偏微分方程求解工具箱，如下 首先需要選擇應(yīng)用模式，工具箱根據(jù)實際問題的不同提供了很多應(yīng)用模式, 用戶可以基于適 當(dāng)?shù)哪Ｊ竭M(jìn)行建模和分析。 在Options菜單的Application菜單項下可以做選擇，如下 Application Refresh 02 - 0 - -0 2- V Gereric Scahr Generic System Structural Mrchanics, Pane Stress Structural Mechanics, Plane Strain Electrostatics Vagnetoitathcj 屛匚 Power EtectromjgnetiEi

4、Condurtive Media DC Heat Transfer Diffusion 或者直接在工具欄上選擇，如下 PDE 血 S8-064)42002040609 hfo 馬腫 la OYDUt aM dMbie zwn ftthre 細(xì)化網(wǎng)格 POtJooibox .UnLtl*a 另外還可以進(jìn)一步選擇Jiggle Mesh 微調(diào)網(wǎng)格。最后可以選擇Display Tria ngle Quality 顯示三角形網(wǎng)格的質(zhì)量圖，其中1表示質(zhì)量最好，0表示最差，如下 有限元求解 選擇Solve菜單下的Solve PDE選項進(jìn)行PDE問題的求解，如下 解的圖形表達(dá) 選擇Plot菜單下的Parameters可以設(shè)置顯示的效果，如下 顯示結(jié)果如下 Color u Height u