整理)傳輸矩陣法.11頁(yè)

1、傳輸矩陣法一、 傳輸矩陣法概述1. 傳輸矩陣在介紹傳輸矩陣的模型之前，首先引入一個(gè)簡(jiǎn)單的電路模型。如圖1(a)所示，在(a)中若已知A點(diǎn)電壓及電路電流，則我們只需要知道電阻R，便可求出B點(diǎn)電壓。傳輸矩陣具有和電阻相同的模型特性。AB (a)E0E1(b)圖1 傳輸矩陣模型及電路模擬模型如圖1(b)所示，有這樣的關(guān)系式存在：E0=M(z)E1。M(z)即為傳輸矩陣，它將介質(zhì)前后空間的電磁場(chǎng)聯(lián)系起來(lái)，這和電阻將A、B兩點(diǎn)的電勢(shì)聯(lián)系起來(lái)的實(shí)質(zhì)是相似的。 1 2 3 4 j N圖2 多層周期性交替排列介質(zhì)傳輸矩陣法多應(yīng)用于多層周期性交替排列介質(zhì)（如圖2所示）， M(z)反映的介質(zhì)前后空間電磁場(chǎng)之間的關(guān)

2、系，而其實(shí)質(zhì)是每層薄膜特征矩陣的乘積，若用表示第j層的特征矩陣，則有： （1）其中， （2）為相位厚度，有 （3）如公式（2）所示，的表示為一個(gè)22的矩陣形式，其中每個(gè)矩陣元都沒(méi)有任何實(shí)際物理意義，它只是一個(gè)計(jì)算結(jié)果，其推導(dǎo)過(guò)程將在第二部分給出。2. 傳輸矩陣法在了解了傳輸矩陣的基礎(chǔ)上，下面將介紹傳輸矩陣法的定義：傳輸矩陣法是將磁場(chǎng)在實(shí)空間的格點(diǎn)位置展開(kāi)，將麥克斯韋方程組化成傳輸矩陣形式，變成本征值求解問(wèn)題。 從其定義可以看出，傳輸矩陣法的實(shí)質(zhì)就是將麥克斯韋方程轉(zhuǎn)化為傳輸矩陣，也就是傳輸矩陣法的建模過(guò)程，具體如下：利用麥克斯韋方程組求解兩個(gè)緊鄰層面上的電場(chǎng)和磁場(chǎng)，從而可以得到傳輸矩陣，然后將單

3、層結(jié)論推廣到整個(gè)介質(zhì)空間，由此即可計(jì)算出整個(gè)多層介質(zhì)的透射系數(shù)和反射系數(shù)。傳輸矩陣法的特點(diǎn)：矩陣元少（4個(gè)），運(yùn)算量小，速度快；關(guān)鍵：求解矩陣元；適用介質(zhì)：多層周期性交替排列介質(zhì)。二、 傳輸矩陣的基礎(chǔ)理論薄膜光學(xué)理論1.麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組由四個(gè)場(chǎng)量：D、E、B、H，兩個(gè)源量：J、以及反映它們之間關(guān)系的方程組成。而且由媒質(zhì)方程中的參數(shù)、反映介質(zhì)對(duì)電磁場(chǎng)的影響。方程組的實(shí)質(zhì)是描述電磁場(chǎng)的傳播，即：一個(gè)變化的磁場(chǎng)引起鄰近區(qū)域的電場(chǎng)變化，而此電場(chǎng)的變化又引起鄰近磁場(chǎng)的變化，如此進(jìn)行下去，便可抽象出電磁場(chǎng)的傳播。如圖3 所示。 E H H E E H H E圖3 電磁場(chǎng)傳播的模擬圖將媒質(zhì)方程帶

4、入麥克斯韋方程組，并對(duì)方程組求解可得以下兩個(gè)重要結(jié)論：1) (4)式（4）中，N即為介質(zhì)的光學(xué)導(dǎo)納，單位為西門子。特別說(shuō)明：光波段時(shí)， 約等于1，N數(shù)值上等于折射率。自由空間導(dǎo)納 。2) (5) (6)式（5）為電場(chǎng)的波動(dòng)方程，與經(jīng)典波導(dǎo)方程（6）相比可得 ，通常把光速c和電磁波在介質(zhì)中速度之比定義為折射率，即得折射率公式： (7) 2.邊界條件及反射折射電磁波在介質(zhì)交界處滿足切向分量連續(xù)的邊界條件。垂直入射時(shí)，電場(chǎng)和磁場(chǎng)均與入射面垂直，則它們的切向分量既是本身。根據(jù)邊界條件可得： (8)式（8）中，上標(biāo)為+的代表入射波，-表示反射波。又由導(dǎo)納定義式（4）可得： (9）(10) 將式（9）、（

5、10）代入（8）中，整理可得反射系數(shù)定義式：(11) r為反射系數(shù)，R為反射率。 透射系數(shù)原理相同，在此不再推導(dǎo)。上面討論的是垂直入射的情況，斜入射時(shí)情況類似，只是用修正導(dǎo)納、代替（11）中的、。其實(shí)，無(wú)論電磁波入射情況如何，電磁波只有兩種情況：一種是電場(chǎng)E平行入射面即TM波（P分量），此時(shí)電場(chǎng)的切向分量（為入射角），而磁場(chǎng)的切向分量是其本身，因此由（4）式可得： (12) 將（12）式與（4）式對(duì)比可得到P分量的修正導(dǎo)納，同理可得TE波（S分量）的修正導(dǎo)納：(13) 可得一般情況下的反射、透射系數(shù)表達(dá)式： (14)介質(zhì)的傳光特性可以由反射、透射系數(shù)所表征，而由以上討論可知，這兩個(gè)參數(shù)與導(dǎo)納緊

6、緊聯(lián)系。因此，求解介質(zhì)的傳光特性就可以轉(zhuǎn)換為求解導(dǎo)納問(wèn)題，這也是傳輸矩陣法所解決的核心問(wèn)題之一。其實(shí)，傳輸矩陣法就是通過(guò)求得介質(zhì)的導(dǎo)納，從而得到介質(zhì)的反射透射系數(shù)。3. 傳輸矩陣這一部分將應(yīng)用薄膜光學(xué)理論詳細(xì)推導(dǎo)介質(zhì)的傳輸矩陣，以及如何求得介質(zhì)導(dǎo)納，根據(jù)第一部分傳輸矩陣的介紹可以知道，它其實(shí)是每層特征矩陣的乘積，所以，這一部分的推導(dǎo)就從單層薄膜的特殊矩陣入手，進(jìn)而推廣到整個(gè)介質(zhì)空間推導(dǎo)出介質(zhì)的傳輸矩陣。下面就詳細(xì)介紹單層薄膜的特殊矩陣。電磁波通過(guò)厚度為d的單層薄膜過(guò)程如圖4所示。圖4 電磁波通過(guò)單層薄膜 圖5 單層薄膜等效為介質(zhì)面的示意圖薄膜是存在一定厚度的，電磁波從透過(guò)薄膜變?yōu)榈倪^(guò)程，與簡(jiǎn)單

7、的穿過(guò)介質(zhì)面相比多了個(gè)的中間變換，如果可以將和通過(guò)導(dǎo)納直接聯(lián)系起來(lái)，那么薄膜就可以等效為一個(gè)介質(zhì)面（如圖5所示），前面所介紹的反射透射公式便可用。因此，我們第一步完成從薄膜到介質(zhì)面的等效推導(dǎo)。令薄膜導(dǎo)納（介質(zhì)面1和介質(zhì)面2的組合導(dǎo)納）為Y，則可得到薄膜的透射反射系數(shù)：(15) 由式（15）可知，求得Y便可求得r、t。 由導(dǎo)納定義并對(duì)薄膜的第一介質(zhì)面應(yīng)用邊界連續(xù)條件可得：(16)(17)圖4中的、表示剛剛穿過(guò)介質(zhì)面一的瞬時(shí)狀態(tài)。、表示即將穿過(guò)介質(zhì)面二的瞬時(shí)狀態(tài)。這兩個(gè)瞬時(shí)狀態(tài)的唯一不同只是因?yàn)楸∧ず穸纫氲南辔灰蜃?，即有?18)將式（18）代入式（17）中可得式（19），并將其轉(zhuǎn)為矩陣形式（2

8、0）：(19)(20)同理，薄膜的第二介質(zhì)面有如下關(guān)系式：(21)(22)(23)式（20）、（23）分別表示介質(zhì)面一、二兩側(cè)空間電磁場(chǎng)之間的聯(lián)系，若將式（23）代入式（20）中相乘，則所得到的結(jié)果就表示整個(gè)薄膜兩側(cè)空間電磁場(chǎng)之間的聯(lián)系，即：(24)從式（24）中得到了第一層的特征矩陣：(25) (26)考慮到導(dǎo)納定義有如式（26）的關(guān)系，則可對(duì)式（24）進(jìn)一步化簡(jiǎn)：(27)令 為為膜系的特征方程，則有關(guān)系式：(28)對(duì)比式（24）等號(hào)左邊的形式，由導(dǎo)納定義可得整個(gè)單層薄膜的組合導(dǎo)納： (29)從而由式（15）可求得單層薄膜的反射、透射系數(shù)。至此完成了第一步，即從薄膜到介質(zhì)面的等效推導(dǎo)。將將單

9、層得到的結(jié)論推廣到整個(gè)介質(zhì)空間可得：(30)(31)(32)(33) (34)(35) 式（30）為介質(zhì)第j層的特征矩陣，需要注意的是特征矩陣的行列式值為1。由式（32）即可得到整個(gè)介質(zhì)的傳輸矩陣。 至此，完成了多層介質(zhì)傳輸矩陣的建模過(guò)程。 值得一提的是，在討論單層薄膜時(shí)，得到單層薄膜的反射率后，若對(duì)薄膜的光學(xué)厚度H(H=nd，n為薄膜折射率，d為薄膜實(shí)際厚度)求導(dǎo)，可得如圖6的結(jié)果。從結(jié)果中我們可以看出，在厚度為時(shí)，反射率根據(jù)折射率的不同可達(dá)到最大或最小值。圖6 反射率與光學(xué)厚度的關(guān)系三、 傳輸矩陣法的應(yīng)用舉例傳輸矩陣法的典型應(yīng)用是對(duì)多層周期性交替排列介質(zhì)的分析，具有這樣結(jié)構(gòu)的器件實(shí)例有：光

10、子晶體、光柵、量子阱結(jié)構(gòu)、DBR結(jié)構(gòu)器件等。 具體應(yīng)用過(guò)程請(qǐng)參見(jiàn)文獻(xiàn)傳輸矩陣法分析一維光子晶體的傳光特性。四、 小結(jié)（1）傳輸矩陣法概念：將麥克斯韋方程組轉(zhuǎn)換為傳輸矩陣的形式，應(yīng)用傳輸矩陣分析的計(jì)算方法。（2）傳輸矩陣：形式為每層特征矩陣的乘積。（3）典型應(yīng)用：多層周期性交替排列介質(zhì)。（4）解決問(wèn)題：傳光特性（R、T）、場(chǎng)強(qiáng)度（E、H）。 注意：（3）、（4）共同決定傳輸矩陣法對(duì)所研究問(wèn)題的適用性。（5）重要結(jié)論：導(dǎo)納N、折射率定義 ，光波段下，導(dǎo)納無(wú)意義，它就是折射率。（三）環(huán)境價(jià)值的定義（6）傳輸矩陣的推導(dǎo)（薄膜光學(xué)理論）是繁瑣的，但實(shí)際應(yīng)用中可忽略推導(dǎo)，直接應(yīng)用結(jié)論式（30）（35）。（

11、7）用傳輸矩陣法求解問(wèn)題過(guò)程： 1）應(yīng)用已有結(jié)論式（30）（35）建立介質(zhì)模型并求解：新增加的六個(gè)內(nèi)容是：風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)；公眾參與；總量控制；清潔生產(chǎn)和循環(huán)經(jīng)濟(jì)；水土保持；社會(huì)環(huán)境影響評(píng)價(jià)。2）建立實(shí)際問(wèn)題的模型。3）模型整合。(8) 額外的結(jié)論：薄膜厚度選為的原因。3）選擇價(jià)值。選擇價(jià)值（OV）又稱期權(quán)價(jià)值。我們?cè)诶铆h(huán)境資源的時(shí)候，并不希望它的功能很快消耗殆盡，也許會(huì)設(shè)想未來(lái)該資源的使用價(jià)值會(huì)更大。參考文獻(xiàn)（一）環(huán)境影響評(píng)價(jià)的概念1 唐晉發(fā)，鄭權(quán). 應(yīng)用薄膜光學(xué). 上?？茖W(xué)技術(shù)出版社.1984: 1-51.一、環(huán)境影響評(píng)價(jià)的基礎(chǔ)2 賈習(xí)坤. 基于傳偷矩陣法對(duì)垂直腔半導(dǎo)體光放大器小信號(hào)增益特性的研究. 西南交通大學(xué). 2002: 6-13（2）環(huán)境的非使用價(jià)值。環(huán)境的非使用價(jià)值（NUV）又稱內(nèi)在價(jià)值，相當(dāng)于生態(tài)學(xué)家所認(rèn)為的某種物品的內(nèi)在屬性，它與人們是否使用它沒(méi)有關(guān)系。3 匡萃方,張志峰.傳輸矩陣法分析一維光子晶體的傳光特性. 激光雜志. 2003, (24)4: 38-39.3）應(yīng)用污染物排放標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，依據(jù)項(xiàng)目所屬行業(yè)、環(huán)境功能區(qū)、排放的污染物種類和環(huán)境影響評(píng)價(jià)文件的