雙曲線上任意一點(diǎn)處的切線的性質(zhì)

1、雙曲線切線的幾個(gè)典型性質(zhì)及其證明浙江省海鹽元濟(jì)高級(jí)中學(xué)（314300） 崔寶法中學(xué)數(shù)學(xué)月刊2007年第1期發(fā)表在對(duì)直線與雙曲線位置關(guān)系的研究中，筆者發(fā)現(xiàn)，雙曲線的切線作為和雙曲線位置關(guān)系最特殊的直線，有著它自身所獨(dú)有的一些典型性質(zhì).下面給出其中的幾條，并加以證明.性質(zhì)1 雙曲線上任意一點(diǎn)(異于頂點(diǎn))處的切線，平分該點(diǎn)處兩條焦半徑的夾角。證明：如圖1，設(shè)雙曲線方程為，分別是左、右焦點(diǎn)，為雙曲線上一點(diǎn)，則.易知 p點(diǎn)處的切線方程為，切線與軸的交點(diǎn)為t ，故從而.又，因此pt平分兩焦半徑的夾角.性質(zhì)2 雙曲線的任意一條切線夾于兩漸近線間的線段，必被切點(diǎn)平分。證明：如圖2，設(shè)雙曲線方程為， 為雙曲線上

2、任意一點(diǎn)，則兩漸近線方程為，過點(diǎn)p的切線方程為.由得 ，消去得 ，即，根據(jù)韋達(dá)定理可得，線段ab中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，代入切線方程得，所以線段ab的中點(diǎn)即切點(diǎn)，故切點(diǎn)p平分ab.性質(zhì)3 若雙曲線上任意一點(diǎn)（異于頂點(diǎn)）處的切線交準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該交點(diǎn)與此準(zhǔn)線相應(yīng)焦點(diǎn)的連線垂直于切點(diǎn)處相應(yīng)的焦半徑。證明：如圖3，設(shè)雙曲線方程為，為雙曲線上一點(diǎn)，則p點(diǎn)處的的切線方程為 ,又準(zhǔn)線方程為 ，對(duì)應(yīng)焦點(diǎn)為，從、 解得切線與準(zhǔn)線的交點(diǎn)為.直線的斜率分別為.故.性質(zhì)4 雙曲線上任一點(diǎn)處的切線與兩條漸近線所圍成的三角形的面積為定值。證明：設(shè)雙曲線方程為， 為雙曲線上任意一點(diǎn)，則兩漸近線方程為 ，過點(diǎn)p的切線方程為，令，得

3、此切線的橫截距為.由、解得切線與兩漸近線的交點(diǎn)分別為、.（定值）.性質(zhì)5 雙曲線上任一點(diǎn)處的切線與實(shí)軸頂點(diǎn)處的兩條切線交于兩點(diǎn)，則這兩點(diǎn)與兩焦點(diǎn)四點(diǎn)共圓。證明:如圖4，設(shè)為雙曲線上的任意一點(diǎn)，則過點(diǎn)的切線為，它與過頂點(diǎn)的兩切線相交于點(diǎn)、，又因?yàn)閮汕芯€與軸平行且關(guān)于軸對(duì)稱，所以切線與軸的交點(diǎn)是的中點(diǎn)，故=.又因?yàn)?，即、四點(diǎn)都在以為圓心的圓上.性質(zhì)6 若雙曲線上任意一點(diǎn)(異于頂點(diǎn))處的切線和法線分別與雙曲線虛軸所在直線相交，則所得的兩個(gè)交點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)四點(diǎn)共圓.證明：如圖5，設(shè)雙曲線方程為，焦點(diǎn)為、，則其上任意一點(diǎn)處的切線與法線方程分別為和，它們與虛軸的交點(diǎn)分別為、，故 ，即，同理可證：，、都在以為直徑的圓上. 、四點(diǎn)共圓.性質(zhì)7 若雙曲線上任一點(diǎn)處的切線交兩漸近線于兩點(diǎn),法線交兩坐標(biāo)軸于兩點(diǎn),則這四點(diǎn)共圓,且此圓過雙曲線中心.證明：如圖6，設(shè)雙曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則過點(diǎn)的切線方程為,它與漸近線的交點(diǎn)為、.點(diǎn)處的法線方程為,它分別與軸、軸交于、., ,從而,. 同理 ,、都在以為直徑的圓上，即、四點(diǎn)共圓.又 ，點(diǎn)也在以為直徑的圓上，即此圓經(jīng)過雙曲線的中心. 性質(zhì)8 若雙曲線一個(gè)頂點(diǎn)處的切線交共軛雙曲線于兩點(diǎn)，則共軛雙曲線在這兩點(diǎn)處的兩條切線必相交于原雙曲線的另一頂點(diǎn).證明：如圖7，設(shè)雙曲線方程為,它的共軛雙曲線為,過原雙曲線的頂點(diǎn)的切線為,交它的共軛雙曲線于點(diǎn)、.易知共軛雙曲線