雙曲線上任意一點處的切線的性質(zhì)

1、雙曲線切線的幾個典型性質(zhì)及其證明浙江省海鹽元濟高級中學（314300） 崔寶法中學數(shù)學月刊2007年第1期發(fā)表在對直線與雙曲線位置關系的研究中，筆者發(fā)現(xiàn)，雙曲線的切線作為和雙曲線位置關系最特殊的直線，有著它自身所獨有的一些典型性質(zhì).下面給出其中的幾條，并加以證明.性質(zhì)1 雙曲線上任意一點(異于頂點)處的切線，平分該點處兩條焦半徑的夾角。證明：如圖1，設雙曲線方程為，分別是左、右焦點，為雙曲線上一點，則.易知 p點處的切線方程為，切線與軸的交點為t ，故從而.又，因此pt平分兩焦半徑的夾角.性質(zhì)2 雙曲線的任意一條切線夾于兩漸近線間的線段，必被切點平分。證明：如圖2，設雙曲線方程為， 為雙曲線上

2、任意一點，則兩漸近線方程為，過點p的切線方程為.由得 ，消去得 ，即，根據(jù)韋達定理可得，線段ab中點的橫坐標為，代入切線方程得，所以線段ab的中點即切點，故切點p平分ab.性質(zhì)3 若雙曲線上任意一點（異于頂點）處的切線交準線于一點，則該交點與此準線相應焦點的連線垂直于切點處相應的焦半徑。證明：如圖3，設雙曲線方程為，為雙曲線上一點，則p點處的的切線方程為 ,又準線方程為 ，對應焦點為，從、 解得切線與準線的交點為.直線的斜率分別為.故.性質(zhì)4 雙曲線上任一點處的切線與兩條漸近線所圍成的三角形的面積為定值。證明：設雙曲線方程為， 為雙曲線上任意一點，則兩漸近線方程為 ，過點p的切線方程為，令，得

3、此切線的橫截距為.由、解得切線與兩漸近線的交點分別為、.（定值）.性質(zhì)5 雙曲線上任一點處的切線與實軸頂點處的兩條切線交于兩點，則這兩點與兩焦點四點共圓。證明:如圖4，設為雙曲線上的任意一點，則過點的切線為，它與過頂點的兩切線相交于點、，又因為兩切線與軸平行且關于軸對稱，所以切線與軸的交點是的中點，故=.又因為=，即、四點都在以為圓心的圓上.性質(zhì)6 若雙曲線上任意一點(異于頂點)處的切線和法線分別與雙曲線虛軸所在直線相交，則所得的兩個交點與兩個焦點四點共圓.證明：如圖5，設雙曲線方程為，焦點為、，則其上任意一點處的切線與法線方程分別為和，它們與虛軸的交點分別為、，故 ，即，同理可證：，、都在以為直徑的圓上. 、四點共圓.性質(zhì)7 若雙曲線上任一點處的切線交兩漸近線于兩點,法線交兩坐標軸于兩點,則這四點共圓,且此圓過雙曲線中心.證明：如圖6，設雙曲線上任意一點的坐標為，則過點的切線方程為,它與漸近線的交點為、.點處的法線方程為,它分別與軸、軸交于、., ,從而,. 同理 ,、都在以為直徑的圓上，即、四點共圓.又 ，點也在以為直徑的圓上，即此圓經(jīng)過雙曲線的中心. 性質(zhì)8 若雙曲線一個頂點處的切線交共軛雙曲線于兩點，則共軛雙曲線在這兩點處的兩條切線必相交于原雙曲線的另一頂點.證明：如圖7，設雙曲線方程為,它的共軛雙曲線為,過原雙曲線的頂點的切線為,交它的共軛雙曲線于點、.易知共軛雙曲線