巧添平行線多法證一題(20210511174537)

1、巧添平行線多法證一題證線段成比例，往往要通過添平行輔助線，構成人教版幾何第二冊214頁的圖59、510的兩個基本圖形，即 A”型和型圖形，再利用平行線分線段成比例定理進行證明。但在具體的證題過程中，到底過哪一點作平行線恰當， 不少同學感到茫然。這里向同學們介紹一個添平行線的方法： 以比例式的一邊為 基準，若前、后項的兩條線段有公共端點且在同一直線上，則就把這兩條線段的三個端點，分別看成某一三角形一邊的兩個端點和一個內（外）分點，經過這三 點都可作兩條平行線。（但過分點作平行線，往往會使證明過程變復雜）。現以 幾何第二冊255頁第17題為例說明如下。題目：過厶ABC的頂點C任作一直線，與邊AB及

2、中線AD分別交于點F和E。 求證：AE: ED=2AF : FB分析：要證明的比例式中的線段 AE、ED和AF、FB，都是有公共端點且各在同 一直線上，E、F分別是AD和AB的內分點，所以，至少可以分別過 A、E、D、 F、B各作兩條平行線（如圖1 9）,同時，考慮到AD是中線，還可以過C點 作平行線（如圖1011）。另外，根據題設條件，不添輔助線，直接用梅勒勞 斯定理也可證明。這樣就得到該題的 12種證法。證法1:如圖1,過點A作AG/BC，交CF的延長線于G。AE AG_ AG _2AG則：CD 1J2BC BCAG AFAE_ 2AF而環(huán)珂，所以B D C圖1證法2:如圖2,過點A作AG

3、/FC，交BC的延長線于GAF_GC_ GC則：FB CB 2CDGC=而 CD EDAF_ AE所以西五AE 2AF即：ed_Tb圖2證法3:如圖3,過點E作EG/AB，交BC于GBG AE則：3一 aEG DG.AB DBEG _ CG_ CG2DBFB CBAB CG得：FB 2DG而 CG = O 十 DG =HU -1- DG = BG 4- 2DGAB_BG+2DG所以匹2DGAFBC AE所以刊ZDG 2EDAE_2AF即：FBB G 0圖3證法4:如圖4,過點D作DG/AB，交CF于Gdg=1hf則：2AE AF AF 2AF所以 ED DG 1/2BF FBDocDoco則則

4、：DG AFBG TB圖4證法5:如圖5,過點D作DG/CF，交AB于GAE 2AF 即 W ID所以 ED FG 1/2BF FB圖5證法6:如圖6,過點F作FG/BC,交AD于G則：AB JW W CD _LDAF AG + GE_ AE所以 AB AD-i-ED AE+2ED所以FB 2ED圖6證法7:如圖7,過點F作FG/AD交BC于GFG BGHj GCED CD AD_ GC得：ED_BG而 GC = CD -+DG =HD + DG = BG + 2DGADBG + 2DG所以云BGAE 2DG所以而辰AE 2AF從而而一面圖7證法&如圖8,過點B作BG/AD，交CF的延長線于G

5、則.HG = 2HEAF_AE_ AE所以 FB BG ZDEAE 2AF即 ED FB圖8證法9:如圖9,過點B作BG/CF交AD的延長線于G則：ED =DG即 EG =2EDAF_AE_ AE所以帀_而_方亦AE 2AF即：ED ir證法10:如圖10,過點C作CG/AB，交AD的延長線于G,連結CG 則易證 CG=AB , DG=ADAF AE所以06 EG而 EG=ED+DG=ED+AD=AE+2EDAF AE所以 AR AE + 2EDAF_ AE所以両五AE 2AF即：m _ FB證法11:如圖11,過點C作CG/DA交BA的延長線于G 貝U易證：AG=AB，CG=2ADAE AF所以而而而 FG=AF+AG=AF+ABAE _ AF所以 2AD AF+ABAE_ 2AT 所以 AD_ AF+JVBAE 2AF即：ED irB 0圖11證法12:如