平面向量知識點總結

1、平面向量基礎知識復習平面向量知識點小結一、向量的基本概念1. 向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別向量常用有向線段來表示注意：不能說向量就是有向線段，為什么？提示：向量可以平移uiurr舉例1已知A(1,2) , B(4,2)，則把向量AB按向量5 ( 1,3)平移后得到的向量是 . 結果：(3,0)r2. 零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：0，規(guī)定：零向量的方向是任意的；LUU uuuAB3. 單位向量：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量(與AB共線的單位向量是-UUt)；I AB|4. 相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；r 5.平行

2、向量(也叫共線向量)：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，記作：a / b，規(guī)定：零向量和任何向量平行.注：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等； 兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念：兩個向量平行包含兩個向量共線，但兩條直線平行不包含兩條直線重合； 平行向量無傳遞性！(因為有0)；,uuur uur , 三點 A、B、C共線 AB、AC共線.6.相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量.5的相反向量記作a .舉例2如下列命題：(1) 若 |a | | b|，則5 b .(2 )兩個向量相等的充要條件是它們的起點相同，終點相同.uur uuu(3 )若AB DC，貝

3、U ABCD是平行四邊形.uuu uuu(4 )若ABCD是平行四邊形，則 AB DC .(5)若 a b， b c，則 a c.(6 )若a/b，b/C則a/c .其中正確的是 _. 結果：(4)( 5)二、向量的表示方法1. 幾何表示：用帶箭頭的有向線段表示，如AB，注意起點在前，終點在后；r2. 符號表示：用一個小寫的英文字母來表示，如a，b，c等；r r3. 坐標表示：在平面內建立直角坐標系，以與X軸、y軸方向相同的兩個單位向量 r , r為基底，則平面內的任一向量 可表示為a xiyj (x, y)，稱(x, y)為向量a的坐標，a (x, y)叫 做向量a的坐標表示.結論：如果向量

4、的起點在原點，那么向量的坐標與向量的終點坐標相同三、平面向量的基本定理定理 設右,2同一平面內的一組基底向量，a是該平面內任一向量，則存在唯一實數(shù)對 (1,2)，使 a 仏 .(1) 定理核心：a也 詁2 ； (2)從左向右看，是對向量a的分解，且表達式唯一；反之，是對向量a的合成.(3)向量的正交分解：當& 時，就說a洛為對向量a的正交分解.舉例 3(1)若 a (1,1)，b (1, 1)，c ( 1,2)，則 c .結果：la -b .2 2(2) 下列向量組中，能作為平面內所有向量基底的是Brrrrrrrr 13A. e (0,0)，e2(1, 2) B. e( 1,2)，色(5,7)

5、 C.e(3,5)，e? (6,10)D. q(2, 3) , q -,-24uiur uuruiirruiur uuur r(3) 已知AD, BE分別是 ABC的邊BC，AC上的中線，且AD a，BE b ,則BC可用向量a,b表示為 .結果:2a 4b.33uiur uuu uur uuu uur(4) 已知 ABC中，點D在BC邊上，且CD 2DB， CD rAB sAC，貝U r s 的值是 .結果：0.四、實數(shù)與向量的積實數(shù)與向量a的積是一個向量，記作a，它的長度和方向規(guī)定如下：(1) 模:| ai | iai；(2) 方向：當 0時，a的方向與a的方向相同，當 0時，a的方向與a

6、的方向相反，當0時，a 0，注意：a 0.五、平面向量的數(shù)量積r r uuu r uuu r1.兩個向量的夾角：對于非零向量a，b，作OA a，OB b，則把 AOB （0 為向量a，b的夾角.當 o時，a， b同向；當 時，a， b2.平面向量的數(shù)量積：如果兩個非零向量a， 叫做a與b的數(shù)量積（或內積或點積），記作：a反向rb；當 2時，a， b垂直.它們的夾角為 ，我們把數(shù)量| a II b I cosrr即 a b i a 11 b i cos .90.uuuuiur uiur|BC| 5，貝U AB BC .規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是 注：數(shù)量積是一個實數(shù)，不再是一個向量.,ui

7、urunr舉例 4（ 1） ABC 中，|AB| 3， | AC | 4，r i ri rrr rrr r r（2） 已知 a 1,1 ， b 0, - ， c a kb， dab， c 與 d 的夾角為 _，則 k . 結果：1.224rrr（3）已知靑|2， |b| 5，a b 3，則 |a b| . 結果：J23.（4）已知a,b是兩個非零向量，且iaiibia bi，則a與a b的夾角為.結果：3oo.3. 向量b在向量a上的投影：|b|cos，它是一個實數(shù)，但不一定大于 0.rrr rrr12舉例5已知|a| 3，|b| 5，且a b 12，則向量a在向量b上的投影為 .結果：t .

8、54. a b的幾何意義：數(shù)量積a b等于a的模洛|與b在a上的投影的積.5.向量數(shù)量積的性質：設兩個非零向量a，b，（1）a b a b o ；（2） 當a、b同向時，a b |1,y2y1)，即一個向量的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標uur 1 uu unruuur11舉例 9 設 A(2,3)， B( 1,5)，且 AC 1 AB， AD 3AB，則 C,D 的坐標分別是 . 結果：(1,22),( 7,9).33(4) 平面向量數(shù)量積：a b朋2y2.舉例 10 已知向量 a (sinx,cosx)，b (sin x,sin x)， c ( 1,0).(1) 若x

9、，求向量a、c的夾角；33r r11(2 )若x 菁，才，函數(shù)f(x) a b的最大值為1，求 的值.結果：(1)150。；( 2)1或.2 1 .(5) 向量的模:a2|ar|2x2y2| a |-:/x2y2.(6)兩點間的距離：若A(x1, yj，舉例11已知a,t3均為單位向量，它們的夾角為60。，那么|a 3b| = _結果：.13.B(X2,y2)，則 |AB| .區(qū) x)25 yJ2 .舉例12如圖，在平面斜坐標系 xOy中， xOy 60o，平面上任一點P關于斜坐標系 的斜坐標是這樣定義的：若 OP x$ y：2，其中e,e2分別為與x軸、y軸同方向的單 位向量，則P點斜坐標為

10、(x, y).(1) 若點P的斜坐標為(2, 2)，求P到O的距離|PO| ;(2) 求以O為圓心，1為半徑的圓在斜坐標系 xOy中的方程.結果：(1) 2; (2) x2 y2 xy 1 0 .rarbrbrarbrarbrb)/ rarbrarcrarbrarcrbrcrarbrarbrarbra2ra2XI/brcrcr brarcrararcrarcrar a rera七、向量的運算律1. 交換律：a b2. 結合律：a b3. 分配律：(舉例13給出下列命題:r b或 r o r a則o0 ；若ara則 r b rcrclb卡a2r a2r br a(r b r a2其中正確的是_結

11、果：.說明：(1)向量運算和實數(shù)運算有類似的地方也有區(qū)別：對于一個向量等式，可以移項，兩邊平方、兩邊同乘以一個實數(shù)，兩 邊同時取模，兩邊同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一個向量，即兩邊不能約去一個向量，切記兩向量不能相除(相約)；(2)向量的“乘法”不滿足結合律，即a (b C) (a b) c，為什么？八、向量平行(共線)的充要條件r rrr rr 2 r r 2a/bab(ab)2(| a |b|)2舉例 14 (1)若向量 a (x,1)， t (4,x)，當 x(2) 已知舌(1,1)， b (4,x)， U a 2b， v(3) 設 PA (k,12)， PB (4,5)， PC (

12、10,k)，x2r2a時，且0 .a與b共線且方向相同.結果：2.u /v，貝U x _結果：4.時，A,B,C共線. 結果：2或11.九、a ba b0 iaUUUUUU特別地ABi iin ccnnAC i ii ir CTCO|AB|AC|向量垂直的充要條件(3,m),X2X1Jucu-c rblWAPlA舉例(2)(3)15 (1)以原點 已知nuur 已知 OAluirOBUUU UUU 若 OA OB，貝y mO和A(4,2)為兩個頂點作等腰直角三角形 OAB，(a,b)向量n m，且|n| |rm|，貝U rm 的坐標是(1,2),結果:3m 2 ；的坐標是B 90，則點B結果：

13、(b, a)或(b,a).結果:(1,3)或(3,1)；十、線段的定比分點1. 定義：設點P是直線PP2上異于P、F2的任意一點，若存在一個實數(shù)則實數(shù) 叫做點P分有向線段所成的比占 八、-2.uUJT 使PPmurPP2 ,uuuu，P點叫做有向線段 胃胃的以定比為 的定比分的符號與分點(1) P內分線段(2) P外分線段向延長線上 1P的位置之間的關系UUUIUR P2，即點P在線段PP2上0 ;RB時，點P在線段PP2的延長線上0.1，點P在線段RP2的反注：若點p分有向線段PPU所成的比為，則點p分有向線段uiuuP2P所成的比為丄.舉例16若點P分AB所成的比為3，則A分BP所成的比為

14、43.線段的定比分點坐標公式：結果:設 P(X1,yJUUU UL 亠”、P2(*,y2)，點P(x,y)分有向線段PP2所成的比為，則定比分點坐標公式為X1X2x,1 (1y2.11).特別地，當X1時，就得到線段PP2的中點坐標公式y(tǒng)X1X22 ,y1 y22說明：(1)在使用定比分點的坐標公式時，應明確 (x,y)，(心)、區(qū)2)的意義，即分別為分點，起點，終點的坐標(2)舉例在具體計算時應根據(jù)題設條件，靈活地確定起點，分點和終點，并根據(jù)這些點確定對應的定比的坐標為.luuu17(1)若 M ( 3, 2) , N(6, 1)，且 MP1 luuur3mn，則點結果:(2)1已知A(a,

15、0)，B(3,2 a)，直線y -ax與線段AB交于MUUUUIUUUr且 AM 2MB，貝U a7(6,寸；結果：2或 4.卜一、平移公式如果點P(x,y)按向量a (h,k)平移至P(x,y)，則x x yh,;曲線 f(x,y) 0按向量 5(h,k)y k.平移得曲線f(x h, y k) 0.說明：(1)函數(shù)按向量平移與平常“左加右減”有何聯(lián)系？ (2)向量平移具有坐標不變性，可別忘了啊!舉例18(1)按向量a把(2, 3)平移到(1, 2)，則按向量a把點(7,2)平移到點. 結果：(2)函數(shù)y sin 2x的圖象按向量5平移后，所得函數(shù)的解析式是y cos2x 1，則5 .(8,

16、3);結果： (,1).42.模的性質：|a| |b|5b|5|b|.(1)右邊等號成立條件:5、br rr冋向或a、b中有0|5r b|5|r|b(2)左邊等號成立條件:5、b,r r , , r 反向或a、b中有0|5r b|5|r|b(3)當5、b不共線|5|r|brr|5 b| |5| |b|.II十二、向量中一些常用的結論1. 一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運用;3.三角形重心公式 在 ABC中，若 A(x,yJ，B(X2,y2)，C(x3,y3)，坐標為xX2x y1y2G( 3y33).舉例19若厶ABC的三邊的中點分別為 A(2,1)、 B( 3,4)、C( 1, 1)，則 ABC的重心的坐標為結果:2 4!3 35.二角形二心”的向量表示uur PC) G ABC 的重心,(1)uuuPG1 juuuuu(PA PB特別地PAuunPBuuu rPC 0G為 ABC的重心.(2)ULH PAuunPBuju ujuPB PCuur uuiPC PAP ABC的垂心.(3)uuuuuuu| AB|PCULULr ULU | BC | PAuuur uur |CA | PBPABC的內心;向量umrABi ii imUUJILI|AB|uuuAC1 11 irUXIUII AC I0)所在直線過 ABC的內心.uuuu6.點P分