定義法求二面角大小的方法探究

1、定義法求二面角大小的方法探究 梧州高中 陳亮一問題的提出 二面角是高中立體幾何中三類空間角中難度最大的一類，它也是歷年高考中的一個重要考點(diǎn).由于呈現(xiàn)出這一考點(diǎn)的幾何情景和幾何模型千姿百態(tài)，尤其是當(dāng)對應(yīng)二面角的兩個半平面均不在水平位置或當(dāng)二面角的平面角為鈍角時，學(xué)生把握起來較為困難.難點(diǎn)突出表現(xiàn)為：一、視角識別困難。立體幾何圖形的視角不同，字母排列順序不同，會造成視角障礙，牽制學(xué)生的思維，立體幾何的大題往往設(shè)置二至三個小題，二面角的考察一般放在第二或第三個小題，在考場時間有限的情況下，當(dāng)解決好前面的一至二小問后，所給的立體幾何圖形已經(jīng)被標(biāo)示得“體無完膚“，這個時候，迅速識別所給二面角的兩個半平面

2、，并將注意力集中于此是相當(dāng)必要的。二、高考中二面角的大小的求解方法多種多樣。由于方法太多，學(xué)生很難將圖形與平時所學(xué)知識聯(lián)系起來，往往會走很多冤枉路，不能做到一擊必中。由于以上的兩個“攔路虎”的存在，學(xué)生有必要掌握具有針對性的解題分析步驟。二面角的平面角的作法常見的有以下幾種：（1） 定義法：在棱上取一特殊點(diǎn)，在二面角的兩個半平面內(nèi)分別過該點(diǎn)作棱的垂線，所成角為二面角的平面角；（2） 垂面法：過二面角內(nèi)一點(diǎn)作兩個半平面的垂線，過兩垂線做平面與兩個半平面的交線所成角即為二面角的平面角；（3） 三垂線法：過二面角一面內(nèi)的一點(diǎn)作另一面的垂線，再過垂足作棱的垂線，利用三垂線定理就可得到二面角的平面角；（

3、4） 射影法：平面內(nèi)一個多邊形的面積為，它在平面內(nèi)的射影圖形的面積為，若平面與平面所成的二面角大小為，則有（5） 空間向量法：找到兩個半平面的法向量，利用法向量的夾角確定二面角的平面角的大小。 不常見的方法還有：將二面角的平面角轉(zhuǎn)化為異面直線所成角；等體積法；但分析全國各地的高考試題，不難發(fā)現(xiàn)，對于三垂線法和定義法作二面角的平面角考查得尤為頻繁。本文正是基于上面這兩種方法，總結(jié)高考中的立體幾何解答題，歸納出兩類常見模型，掌握和熟悉這些模型，可以很好的解決高考要求內(nèi)二面角的很多問題.二解決問題的模型二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角這條直線叫做二面角的棱；每個半平面叫

4、做二面角的面。對于棱給出的二面角，考題中常見的模式為：二面角 1定義法關(guān)注問題中的字母，二面角的面分別為平面、平面，二面角的棱為直線。請學(xué)生注意表示這兩個半平面的三角形和三角形.若這兩個三角形是特殊三角形，則可以使用模型的方法。上述特殊三角形為：以棱為底邊的等腰三角形；以棱為直角邊的直角三角形；兩個三角形是全等的。三棱錐模型(1)兩三角形全等與全等(圖1)，求作二面角的平面角.只需過作于，再連接，由條件，可得，則為所求二面角的平面角.(2)等腰三角形和等腰三角形若,時，求作二面角的平面角.adcbe圖2adcbe圖1只需取的中點(diǎn),連接,.則為所求（圖2）.(3)直角三角形和直角三角形情形1 若

5、,時，求作二面角的平面角.此時異面直線ac與bd所成的角的大小為所求。（圖3） 取ad中點(diǎn)e，cd中點(diǎn)g，bc中點(diǎn)f，可知是二面角的平面角。情形 2若,時，求作二面角的平面角.acdb圖4bcdagef圖3此時，顯然是二面角的平面角。（圖4）(4)等腰三角形和直角三角形若,時，求作二面角的平面角.只需分別取cd、bc中點(diǎn)e、f，則是二面角的平面角。acdbeafa圖5 （圖5）pghabcdfe2三垂線法 如右圖所示，欲求平面與平面所成二面角。存在平面平面，且平面平面，在交線ef上取一點(diǎn)p，作于點(diǎn)g，于點(diǎn)h，連結(jié)gh，則為所求的平面角。 此類模型是通過面面垂直的性質(zhì)定理尋找垂線的。這類題在高考

6、試題中占有相當(dāng)大的比重。抽取出這些模型實(shí)際上都很簡單，一旦將其“藏匿”于形形色色的幾何體中，識別它們的難度就大增，總結(jié)這些模型的目的是希望熟記這些模型于心，無論它們在幾何體中處于什么位置，什么角度，都能快速的識別。這樣可有效解決前文提到的第一個難點(diǎn).三模型的運(yùn)用由于三垂線法的論述，前人已經(jīng)做了許多，本文不再贅述。主要探究定義法在高考題中的運(yùn)用。例1 （2005全國卷）已知四棱錐p-abcd的底面為直角梯形，abdc，底面abcd，且pa=ad=dc=ab=1，m是pb的中點(diǎn)。（）證明：面pad面pcd；（）求ac與pb所成的角；（）求平面amc與平面bmc所成二面角的大小。g第（）、（）略是斜

7、邊的中點(diǎn)，則，又可計(jì)算得，從而，則作，連結(jié)，故是平面amc與平面bmc所成二面角的平面角。具體求解本文不贅述。小結(jié)：此題屬于模型中第一類情形，兩三角形全等例2 （2005北京）如圖, 在直四棱柱abcda1b1c1d1中，abad2，dc2，aa1，addc，acbd, 垂足為e， （i）求證：bda1c； （ii）求二面角a 1bdc 1的大??； （iii）求異面直線 ad與 bc 1所成角的大小第（）、（iii）略由條件易知，所以，與是共底的等腰三角形，則連結(jié)，可得是二面角a 1bdc 1的平面角。（后略）小結(jié)：此題屬于模型中第二種類型，等腰三角形和等腰三角形。smdcbaefe例3 （2

8、009全國）四棱錐s-abcd中，底面abcd為矩形，sd底面abcd，ad=，dc=sd=2，點(diǎn)m在側(cè)棱sc上，abm=60（1）證明：m是側(cè)棱sc的中點(diǎn)；（2）求二面角s-am-b的大小解：第一問（略） 由第一問可得，則是sc的中點(diǎn)，則可知是直角三角形，棱am為直角邊，是等腰三角形，棱am為底邊。作與點(diǎn)e，取sa中點(diǎn)f，連結(jié)ef，bf，則易知是二面角s-am-b的平面角。（后略）小結(jié)：此題屬于模型中第四種類型，等腰三角形和直角三角形。例4 （2010全國）如圖，四棱錐s-abcd 中，sd底面abcd，abdc，addc，ab=ad=1,dc=sd=2，e為棱sb上的一點(diǎn)，平面edc平面sbc.sdcbaegh() 證明：se=2eb() 求二面角a-de-c的大小。解：第一問（略）經(jīng)計(jì)算ae=ad=1，則是以棱de為底邊的等腰三角形，由第一問可知，則是以棱de為直角邊的直角三角形。分別取de，cd中點(diǎn)g，h，連結(jié)ag，gh則可知是二面角a-de-c的平面角。小結(jié)：此題屬于模型中第四種類型，等腰三角形和直角三角形。四、總結(jié)上述的二面角的三棱錐模型是最常見的，很多立體幾何題以此為模型進(jìn)行編寫，本文試圖將求二面角的問題模型化，總結(jié)出適用于大多數(shù)情況的結(jié)構(gòu)，這對于學(xué)生思維的系統(tǒng)化是非常有用的。在運(yùn)用這些模型前