(完整版)勾股定理(基礎(chǔ))知識(shí)講解

1、 勾股定理（基礎(chǔ)）撰稿：吳婷婷 責(zé)編：常春芳【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1掌握勾股定理的內(nèi)容，了解勾股定理的多種證明方法，體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合的思想；2能夠運(yùn)用勾股定理求解三角形中相關(guān)的邊長(zhǎng)（只限于常用的數(shù)）；3通過(guò)對(duì)勾股定理的探索解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，進(jìn)一步運(yùn)用方程思想解決問(wèn)題【要點(diǎn)梳理】【高清課堂 勾股定理 知識(shí)要點(diǎn)】要點(diǎn)一、勾股定理直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為 a，ba +b = c，斜邊長(zhǎng)為 ，那么 2 c22要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）勾股定理揭示了一個(gè)直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系（2）利用勾股定理，當(dāng)設(shè)定一條直角邊長(zhǎng)為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長(zhǎng)可以建立方程求解，這樣就將

2、數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，達(dá)到了解決問(wèn)題的目的（3）理解勾股定理的一些變式：( )2a = c -b ，b = c - a ， c = a + b - 2ab2222222要點(diǎn)二、勾股定理的證明方法一：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形圖（1）中，所以方法二：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形圖（2）中 ，所以方法三：如圖（3）所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形 ，所以要點(diǎn)三、勾股定理的作用1. 已知直角三角形的任意兩條邊長(zhǎng)，求第三邊；2. 用于解決帶有平方關(guān)系的證明問(wèn)題；3 與勾股定理有關(guān)的面積計(jì)算；4勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用【典型例題】類(lèi)型一、勾股定理的直接應(yīng)用1

3、、在abc 中，c90，a、b、c 的對(duì)邊分別為a 、b 、c （1）若a 5，b 12，求c ；（2）若c 26，b 24，求a +b = c2 來(lái)求未知邊長(zhǎng)【思路點(diǎn)撥】利用勾股定理a22【答案與解析】+b = c2 ， 5， 12，ab解：（1）因?yàn)閍bc 中，c90，a22= a + b = 5 +12 = 25+144 =169所以 13c所以c22222+b = c2 ， 26， 24，cb（2）因?yàn)閍bc 中，c90，a22= c -b = 26 - 24 = 676 -576 =100所以 10a所以 a22222【總結(jié)升華】已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)，求第三邊長(zhǎng)，關(guān)鍵是先弄清楚所求

4、邊是直角邊還是斜邊，再?zèng)Q定用勾股原式還是變式舉一反三：【變式】在abc 中，c90，a、b、c 的對(duì)邊分別為a 、b 、c （1）已知b 6，c 10，求a ；:c = 3:5 b（2）已知a【答案】解：（1） c90，b 6，c 10， 32，求a 、c = c -b =10 - 6 = 64， a22222 a 8= 3k c = 5k， ，（2）設(shè)a c90，b 32，+b = c2 a(3k) + 32 = (5k)2 22即22解得k 8= 3k = 38 = 24 c = 5k = 58 = 40， a類(lèi)型二、與勾股定理有關(guān)的證明 2、如圖所示，在 rtabc 中，c90，am 是

5、中線，mnab，垂足為 n，- bn = ac2 試說(shuō)明an22【答案與解析】解：因?yàn)?mnab，所以an+ mn = ambn + mn = mb2 ，222 ，22- bn = am - bm2 所以an222因?yàn)?am 是中線，所以 mcmb又因?yàn)閏90，所以在 rtamc 中，am- mc = ac2 ，22- bn = ac2 所以an22【總結(jié)升華】證明帶有平方的問(wèn)題，主要思想是找到直角三角形，利用勾股定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化若沒(méi)有直角三角形，常常通過(guò)作垂線構(gòu)造直角三角形，再用勾股定理證明舉一反三：【變式】如圖，在abc 中，c90，d 為bc 邊的中點(diǎn)，deab 于e，則ae -be22aa

6、c2bbd2cbc2dde2【答案】連接ad 構(gòu)造直角三角形，得，選a類(lèi)型三、與勾股定理有關(guān)的線段長(zhǎng)【高清課堂 勾股定理 例 3】3、如圖，長(zhǎng)方形紙片abcd 中，已知 ad8，折疊紙片使 ab 邊與對(duì)角線 ac 重合，點(diǎn) b落在點(diǎn) f 處，折痕為 ae，且 ef3，則 ab 的長(zhǎng)為（ ）a3b4c5d6 【答案】d；【解析】解：設(shè) abx ，則 afx ， abe 折疊后的圖形為afe， abeafebeef，ecbcbe835，在 rtefc 中，由勾股定理解得 fc4，( )+8 = x + 4 ，解得x = 6在 rtabc 中，x222【總結(jié)升華】折疊問(wèn)題包括“全等形”、“勾股定理”

7、兩大問(wèn)題，最后通過(guò)勾股定理求解類(lèi)型四、與勾股定理有關(guān)的面積計(jì)算4、如圖，直線 l 上有三個(gè)正方形 a，b，c，若 a，c 的面積分別為 5 和 11，則 b 的面積為（）a6b5c11d16【思路點(diǎn)撥】本題主要考察了全等三角形與勾股定理的綜合應(yīng)用，由 b 是正方形，可求abccde由勾股定理可求 b 的面積=a 的面積+c 的面積【答案】d【解析】acb = decac = ceabccdebc=de+ bc = acabab2222+ de = ac22b 的面積為 5+11=16，故選 d【總結(jié)升華】此題巧妙的運(yùn)用了勾股定理解決了面積問(wèn)題，考查了對(duì)勾股定理幾何意義的理解能力，根據(jù)三角形全等

8、找出相等的量是解答此題的關(guān)鍵類(lèi)型五、利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題5、一圓形飯盒，底面半徑為 8cm ，高為 12cm ，若往里面放雙筷子（精細(xì)不計(jì)），那么筷子最長(zhǎng)不超過(guò)多少，可正好蓋上盒蓋？ 【答案與解析】解：如圖所示，因?yàn)轱埡械酌姘霃綖?8cm ，所以底面直徑 dc 長(zhǎng)為 16cm 則在 rtbcd 中，bd+ bc =16 +12=400 ，2 2 2= dc22= 20 cm所以bd()答：筷子最長(zhǎng)不超過(guò) 20cm ，可正好蓋上盒蓋【總結(jié)升華】本題實(shí)質(zhì)是求飯盒中任意兩點(diǎn)間的最大距離，其最大距離是以飯盒兩底面的一對(duì)平行直徑和相應(yīng)的兩條高組成的長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)舉一反三：【變式】如圖所示，一旗桿在離地面 5m 處斷裂，旗桿頂部落在