2017年廣州市一模理科數(shù)學試題及答案

1、絕密啟用前2017年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試（一）理科數(shù)學注意事項：1本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務必將自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上，并用鉛筆在答題卡上的相應位置填涂考生號。2回答第卷時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。寫在本試卷上無效。3回答第卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。第卷一、選擇題：本小題共12題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。（1）復數(shù)(1+i)2+21+i的共軛復數(shù)是（

2、2）若集合m=xx1，n=yy=x2,x1，則（a）1+i（b）1-i（c）-1+i（d）-1-i（3）已知等比數(shù)列a的各項都為正數(shù),且a,a,a成等差數(shù)列,n32（a）m=n（b）mn（c）nm（d）m154a+a則35的值是a+a46n=（a）（c）5-15+1（b）223-53+5（d）22（4）閱讀如圖的程序框圖.若輸入n=5,則輸出k的值為（a）2（b）3（c）4（d）5（5）已知雙曲線c:x2y2-2a4=1的一條漸近線方程為2x+3y=0,f,f分別12是雙曲線c的左，右焦點,點p在雙曲線c上,且pf=7,則pf等于12（a）1（b）13（c）4或10（d）1或13（6）如圖,網

3、格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的正視圖（等腰直角三角形）和側視圖,且該幾何體的體積為83,則該幾何體的俯視圖可以是（7）五個人圍坐在一張圓桌旁，每個人面前放著完全相同的硬幣，所有人同時翻轉自己的硬幣.若硬幣正面朝上,則這個人站起來;若硬幣正面朝下,則這個人繼續(xù)坐著.那么,沒有相鄰的兩個人站起來的概率為（a）121511（b）（c）（d）3232516（8）已知f,f分別是橢圓c:12x2y2+a2b2=1(ab0)的左,右焦點,橢圓c上存在點p（a）,1（b）,1（c）0,（d）0,2222使fpf為鈍角,則橢圓c的離心率的取值范圍是122211（9）已知p:$x0,ex-ax

4、0,.（16）設s為數(shù)列an的前n項和,已知a=2,對任意p,qn*,都有an1p+q=a+a，pq則f(n)=ns+60n+1(nn*)的最小值為.三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。（17）（本小題滿分12分）如圖,abc中,點p在bc邊上,pac=60,pc=2,ap+ac=4.()求acp;()若apb的面積是332,求sinbap.abpc（18）（本小題滿分12分）”.近年來，我國電子商務蓬勃發(fā)展.2016年“618期間，某網購平臺的銷售業(yè)績高達516億元人民幣，與此同時，相關管理部門推出了針對該網購平臺的商品和服務的評價系統(tǒng)從該評價系統(tǒng)中選出200次成功交易，并對

5、其評價進行統(tǒng)計，網購者對商品的滿意率為0.6，對服務的滿意率為0.75，其中對商品和服務都滿意的交易為80次.()根據(jù)已知條件完成下面的22列聯(lián)表，并回答能否有99%的把握認為“網購者對商品滿意與對服務滿意之間有關系”？對服務滿意對服務不滿意合計對商品滿意對商品不滿意80合計200()若將頻率視為概率，某人在該網購平臺上進行的3次購物中，設對商品和服務都滿意的次數(shù)為隨機變量x，求x的分布列和數(shù)學期望ex.附：k2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)（其中n=a+b+c+d為樣本容量）p(k2k)k0.152.0720.102.7060.053.8410.0255.024

6、0.0106.635（19）（本小題滿分12分）如圖1，在直角梯形abcd中，ad/bc，abbc，bddc,點e是bc邊的中點,abd沿bd折起，使平面abd平面bcd，連接ae,ac,de,得到如圖2所示的幾何體.()求證：ab平面adc；()若ad=1，二面角c-ab-d的平面角的正切值為6，求二面角b-ad-e的余弦值.adabcebedc圖1圖2（20）（本小題滿分12分）過點p(a,-2)作拋物線c:x2=4y的兩條切線,切點分別為a(x,y),b(x,y1122).()證明:當a2，b1時,f(lnb).()證明:xx+yy為定值;1212()記pab的外接圓的圓心為點m,點f是

7、拋物線c的焦點,對任意實數(shù)a,試判斷以pm為直徑的圓是否恒過點f?并說明理由.（21）（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=lnx+a(a0).x()若函數(shù)f(x)有零點,求實數(shù)a的取值范圍;1eb請考生在第2223題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分。（22）（本小題滿分10分）選修44：坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系xoy中，直線l的參數(shù)方程為x=3-t,y=1+t,(t為參數(shù)).在以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線c:r=22cosq-.p4()求直線l的普通方程和曲線c的直角坐標方程;()求曲線c上的點到直線l的距離的最大值.（23）（本小題滿分10分）選修

8、45：不等式選講已知函數(shù)f(x)=x+a-1+x-2a.()若f(1)6.635，.所以能有99%的把握認為“網購者對商品滿意與對服務滿意之間有關系”4分()每次購物時，對商品和服務都滿意的概率為25，且x的取值可以是0，1，2，3(x=1)=c123=54;327p(x=0)=p(x=2)=c2=；p(x=3)=c323=8.10分23136551253551256分32=;p51253551252303x的分布列為：x0123p2712554125361258125b3,，則ex=3=.12分所以ex=0或者:由于x11分27543686+1+2+3=.12分125125125125522

9、6555(19)解：()因為平面abd平面bcd，平面abd平面bcd=bd，又bddc，所以dc平面abd.1分因為ab平面abd，所以dcab.2分又因為折疊前后均有adab，dcad=d,3分所以ab平面adc.4分()由（）知ab平面adc，所以二面角c-ab-d的平面角為cad.5分又dc平面abd，ad平面abd，所以dcad.依題意tancad=cdad=6.6分因為ad=1，所以cd=6.設ab=x(x0)，則bd=x2+1.依題意abdbdc，所以abcd=adbdx，即=16x2+1.7分解得x=2，故ab=2,bd=3,bc=bd2+cd2=3.8分法1：如圖所示，建立空

10、間直角坐標系d-xyz，則d(0,0,0),b(3,0,0),c(0,6,0)，e,0，a32233636,0,，de=,0，da=3223所以3636,0,.由（）知平面bad的法向量n=(0,1,0).9分設平面ade的法向量m=(x,y,z)zmde=0,由得mda=0,36x+y=0,2236x+z=0.33ad令x=xb6，得y=-3,z=-3,ecy所以m=(6,-3,-3).10分所以cos=nm|n|m|1=-.11分2由圖可知二面角b-ad-e的平面角為銳角，所以二面角b-ad-e的余弦值為12.12分法2：因為dc平面abd，過點e作ef/dc交bd于f，則ef平面abd.

11、因為ad平面abd，所以efad.9分過點f作fgad于g，連接ge，所以ad平面efg，因此adge.所以二面角b-ad-e的平面角為egf.10分a由平面幾何知識求得1612ef=cd=，fg=ab=，2222gd所以eg=ef2+fg2=2.fbec所以cosegf=fg1=.11分eg21所以二面角b-ad-e的余弦值為.12分2（20）解：()法1:由x2=4y,得y=111x2,所以y=x.所以直線pa的斜率為x.42214142因為點a(x,y)和b(x,y1122)在拋物線c上,所以y=111x2,y=x2.2x2=x(x-x).1分421所以直線pa的方程為y-1111因為點

12、p(a,-2)在直線pa上,x2=x(a-x),即x2-2ax-8=0.2分421所以-2-111111同理,x2-2ax-8=0.3分22所以x,x是方程x2-2ax-8=0的兩個根.12所以xx=-8.4分12又yy=1211x2x2=41421(xx)2=4,5分1612所以xx+yy=-4為定值.6分1212法2:設過點p(a,-2)且與拋物線c相切的切線方程為y+2=k(x-a),1分由y+2=k(x-a),x2=4y,消去y得x2-4kx+4ka+8=0,由d=16k2-4(4ak+8)=0,化簡得k2-ak-2=0.2分所以kk=-2.3分12由x2=4y,得y=11x2,所以y

13、=x.4222211所以直線pa的斜率為k=x,直線pb的斜率為k=x.112xx=-2,即xx=-8.4分412所以112又yy=14142121x2x2=1(xx)2=4,5分1612所以xx+yy=-4為定值.6分1212x-1,7分1241()法1：直線pa的垂直平分線方程為y-由于y=1x2,x2-8=2ax,111y-22x+a1=-2xx-1.8分12所以直線pa的垂直平分線方程為y-ax2x+a1=-4x同理直線pb的垂直平分線方程為y-axx-2.9分222x+a2=-4x2,3由解得x=ay=1+a22,2.所以點ma,1+23a210分,pf=(-a,3).c的焦點為f(

14、0,1),則mf=-a,-拋物線3a222由于mfpf=3a23a2-=0，11分22所以mfpf.所以以pm為直徑的圓恒過點f.12分pm為直徑的圓的方程為(x-a)x-a+(y+2)y-1-=0.11分另法:以3a222把點f(0,1)代入上方程,知點f的坐標是方程的解.所以以pm為直徑的圓恒過點f.12分法2：設點m的坐標為(m,n)，則pab的外接圓方程為(x-m)2+(y-n)2=(m-a)2+(n+2)2，由于點a(x,y),b(x,y1122)在該圓上，則(x-m)2+(y-n)2=(m-a)2+(n+2)2，11(x2-m)2+(y-n)2=(m-a)2+(n+2)2.2兩式相

15、減得(x-x12)(x1+x-2m)+(y-y212)(y1+y-2n)=0,7分2442由()知x+x=2a,xx=-8,y=1212111x2,y=x2,代入上式得12(x1-x2)(4a-4m+a3+4a-2an)=0,8分當xx時,得8a-4m+a3-2an=0,12假設以pm為直徑的圓恒過點f,則mfpf,即(-m,n-1)(-a,-3)=0,得ma-3(n-1)=0,9分由解得m=31a,n=1+a2,10分22所以點ma,1+a2.11分3212當x=x時,則a=0,點m(0,1).12所以以pm為直徑的圓恒過點f.12分（21）解:()法1:函數(shù)f(x)=lnx+a的定義域為(

16、0,+).x由f(x)=lnx+,得f(x)=-a1ax-a=xxx2x2.1分因為a0,則x(0,a)時,f(x)0.所以函數(shù)f(x)在(0,a)上單調遞減,在(a,+)上單調遞增.2分當x=a時,f(x)min=lna+1.3分所以實數(shù)a的取值范圍為0,.5分當lna+10,即00,則函數(shù)f(x)有零點.4分e1e法2：函數(shù)f(x)=lnx+ax的定義域為(0,+).由f(x)=lnx+ax=0,得a=-xlnx.1分令g(x)=-xlnx，則g(x)=-(lnx+1).x0,時,g(x)0;當x,+時,g(x)0.當11ee所以函數(shù)g(x)在0,上單調遞增,在,+上單調遞減.2分11ee

17、時,函數(shù)g(x)取得最大值g=-ln=.3分故x=11111eeeee因而函數(shù)f(x)=lnx+ax1有零點,則0a.4分e所以實數(shù)a的取值范圍為0,.5分當0x1時,f(x)時,f(x)0.所以函數(shù)h(x)在0,上單調遞減,在,+上單調遞增.1e()令h(x)=xlnx+a,則h(x)=lnx+1.1ee11ee時,h(x)當x=11=-+a.6分minee于是,當a時,h(x)-+a.7分211eee令j(x)=xe-x,則j(x)=e-x-xe-x=e-x(1-x).當0x0;當x1時,f(x)0時,j(x).9分1e顯然,不等式、中的等號不能同時成立.故當x0,a2時,xlnx+axe

18、-x.10分e因為b1,所以lnb0.所以lnbln(lnb)+alnbe-lnb.11分,即f(lnb).12分所以ln(lnb)+（22）解：x=3-t,()由y=1+t,a11lnbbb消去t得x+y-4=0,1分所以直線l的普通方程為x+y-4=0.2分4=22cosqcos+sinqsin=2cosq+2sinq,3分由r=22cosq-ppp44得r2=2rcosq+2rsinq.4分()將r2=x2+y2,rcosq=x,rsinq=y代入上式,得曲線c的直角坐標方程為x2+y2=2x+2y,即(x-1)2+(y-1)2=2.5分()法1:設曲線c上的點為p1+2cosa,1+2sina,6分則點p到直線l的距離為d=1+2cosa+1+2sina-422(sina+cosa)-27分=22sina+-24=-1時,dmax=22,9分當sina+p4p=.8分2所以曲線c上的點到直線l的距離的最大值為22.10分法2:設與直線l平行的直線為l:x+y+b=0,6分當直線l與圓c相切時,得1+1+b