概率統(tǒng)計8章習題解答剖析

1、第 13 次 1 在總體 N( , 2) 中抽取樣本 X1,X2,X3 ( 已知 , 2未知 )，指出 X1 X2 X3, X2 2 , max(X1,X2,X3) 22 X12 X 22 X 2 3 |X1 X3 | 哪些是統(tǒng)計量 ? 解 X1 X2 X3 , X2 2 ,max(X1,X2,X3) , | X1 X3 |是統(tǒng)計量 2 給定樣本觀測值 92,94,103,105,106 求樣本均值和方差 1 解 X 1(92 94 103 105 106) 100 5 2 1 2 2 2 2 2 S2(92 100)2 (94 100)2 (103 100)2 (105 100)2 (106

2、 100)2 51 =42.5 3 在總體 X N(12,22)中隨機抽取容量為 5 的樣本，求樣本均值與總體均值之差的絕對值 大于 1 的概率 2 解 注意到 X N( , ) n 22 有 X N(12, ) 5 13 12 11 12 P| X 12| 1 1 P11 X 13 1 ( 2 ) ( 2 ) 55 5 5 5 5 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) =0.2628 2 2 2 2 4已知 X t(8)，求(1)PX 2.306，PX 1.3968 (2)若P X 0.01求 解 (1) PX 2.306 0.025 ， PX 1.3968 1 PX 1.3968 1

3、 0.1 0.9 (2) PX 0.01 2.8965 5已知 X 2(8)，求(1)PX 2.18 ，PX 20.09 (2)若P X 0.025求 3)若 PX 0.95求 解 (1)PX 2.18 0.975 ， PX 20.09 1 PX 20.09 1 0.01 0.99 2) P X 0.025 17.534 3) P X 0.95 PX 0.05 15.507 6設總體 X N(3.2,62) , X1, X2,.,Xn是X的樣本,則容量 n應取多大 ,才能使得 P1.2 X 5.2 0.95 解 X N(3.2, 2 2) P1.2 X 5.2 (5.2 6 3.2)(1.2

4、63.2)( 3n)( 3n) n ( n)( n ) 2 ( n) 1 0.95 333 nn ( ) 0.975 1.96 n 34.5 744 33 所以 n 最小為 35 第 14 次 1 從某正態(tài)總體 X 取得樣本觀測值： 14.7，15.1，14.8 ，15.0， 15.2 ，14.6 ,用矩法估計總 體均值 和方差 2 解 X 1 (14.7 15.1 14.8 15.0 15.2 14.6) 14.9 6 2 1 n 2 1 2 2 2 2(Xi X)2(14.7 14.9)2 (15.1 14.9)2 (14.8 14.9)2 ni 1 6 (15.0 14.9)2 (15.

5、2 14.9)2 (14.6 14.9)2 0.28 0 x 1 x1 2 總體 x 的密度為 p(x) 1 x 1,樣本為 X1,X2,.Xn 求 的矩法估計量 e x 1 解 EX xp(x)dx 1 1 x 1 x e dx 1 1X X1 1 3 總體 x 的密度為 p(x) 0 11 x 2, 2 ,樣本為 X1,X2,.Xn求 的矩法估計量 其余 EX xp(x)dx12xdx 2 4 73 3X1 2X2, 3 1X1 1 X2 1 X3均為總體均值 的無偏估計量 5 證明 E 1 236 2412 X2X3) EX1 EX 2 777 232 X2) EX1EX 2 555 1

6、111 E 3 E( X1X2X3)EX1 2362 E2 5 E(1 X1 7 3 E( X1 5 4 4EX3 7 1EX 2 1 32 EX3 4總體 X N( , 2)樣本為 X1,X2,X3 證明 1 1 X1 2X2 4 X 第 15 次 2 1 總體 X N( , 2 )樣本觀測值為 22.3 21.5 20.0 21.8 21.4 求(1)0.3時, 的置信度為 0.95 的置信區(qū)間 (2) 未知時 , 的置信度為 0.95 的置信區(qū)間 n2 解 (1) 的置信區(qū)間為 (X z ,X z ) ( 2 已知) n2 z0.051.96 X 1(22.3 21.5 20.0 21.

7、8 21.4) 21.4 5 所以 置信區(qū)間為 (21.37 , 21.66) (2) 的置信區(qū)間為 (X n 1), X 2 n 1) ( 2 未知) S2 1(22.3 21.4)2 (21.5 21.4)2 (20 21.4)2 (21.8 21.4)2 0 0.8572 4 t0.05 (5 1) 2.7764 2 所以 置信區(qū)間為 (20.336, 22.464) 2 總體 X N( , 2 ),抽取容量為 16的樣本 ,得樣本均值為 20.8 標準差為 1.60 2 t (n 1) ( 2 未知) n2 求 , 的置信度為 0.95 的置信區(qū)間 SS 解 的置信區(qū)間為 (X S t

8、 (n 1),X S n2 t0.05 (16 1) 2.13 2 所以 置信區(qū)間為 (19.948, 21.652) 2 3 總體 X N( , )樣本觀測值為 510, 485 , 505, 505, 490, 495 , 520, 515, 490 求 (1)8.6 時 , 的置信度為 0.9 的置信區(qū)間 (2) 2 未知時 , 的置信度為 0.95 的置信區(qū)間 解 (1) 的置信區(qū)間為 (X z ,X z ) ( 2 已知) n 2 n 2 1 X (510 485 505 505 490 495 520 515 490) 501.667 9 z0.1 1.645 2 所以置信區(qū)間為

9、(498.13 , 505.20) SS2 (2) 的置信區(qū)間為 (X t (n 1), X t (n 1) ( 2未知) n 2 n 2 21 2 2 2 2 S218(510501.667)2(485 501.667)2(505 501.667)2(505 501.667)2 (490 50.166)72 (49550.166)72 (52050.166)72 (51550.166)72 (49050.166)72 12.24 27 t0.05 (9 1) 2.306 2 所以 置信區(qū)間為 (492.253, 511.0809) 4 設電子管的使用壽命服從正態(tài)分布 ,從中隨機抽取 16 個

10、進行檢驗 ,得平均壽命 1950 小時 ,標 準差為 S=300小時,試求 95%的可靠性求出整批電子管的平均使用壽命和方差的置信區(qū)間 解 (1) 的置信區(qū)間為 2 2 未知) S S t (n 1) n2 X 1950 S 300 t 0.05 (16 1) 2.1 3 1 5 2 平均使用壽命的置信區(qū)間為 1790.138， 2109.863 22 2)方差的置信區(qū)間 (n 1)S2 , (n 1)S2 2 (n 1), 12 (n 1) 2 1 2 20.05 (16 1) 27.488 2 0.05(16 1) 6.262 1 22 方差的置信區(qū)間為 49112.34 ，215586.

11、1 第 16 次 1 已知某煉鐵廠的鐵水含碳量 (%) 正常情況下服從正態(tài)分布 ,且標準鐵水含碳量為 4.3,若已知 標準差 =0.108,現(xiàn)測量五爐鐵水 ,其含碳量分別為 4.28, 4.4, 4.42, 4.35, 4.37 (%) 問這些鐵水 是否合格 ?(顯著性水平為 =0.05 ) 解 1 提出待檢驗假設 : H0 =4.3 2 選取檢驗統(tǒng)計量 ,若假設成立 ,則 U X X 4.3 / n 0.108/ 5 N(0,1) 4 根據(jù)樣本值計算統(tǒng)計量的值 X 4.3 0.108/ 5 1.325 1.96,1.96 3 根據(jù)顯著性水平為 =0.05 ,Z 1.96 得接受區(qū)間為 -1.

12、96, 1.96 2 所以接受原假設 , 即 :鐵水合格 2 正常人的脈搏平均為 72 次/分,現(xiàn)測得 10 名病人人脈搏數(shù)據(jù)如下 54, 67, 68, 78, 70, 66, 67, 70, 65, 69 問患者脈搏與正常人的脈搏有無顯著差異(顯著性水平為 =0.05 ) 解 1 提出待檢驗假設 : H0 =72 X X 72 2 選取檢驗統(tǒng)計量 ,若假設成立 ,則 T t(10 1) S/ n S/ 10 3 根據(jù)顯著性水平為 =0.05 ,t0.05 (9) 2.26 得接受區(qū)間為 -2.26, 2.26 2 X 4.3 67.4 4.3 4 根據(jù)樣本值計算統(tǒng)計量的值 T 2.45 2

13、.26,2.26 s/ 10 5.929/ 10 所以拒絕原假設 , 即 : 患者脈搏與正常人的脈搏有顯著差異 3 已知某機器生產的墊圈厚度 X N(1.5, 2) ,為確定機器是否正常 ,從它生產的墊圈中抽 取 9 個 ,算得平均厚度為 1.6cm,標準差為 0.1cm,檢驗機器是否正常 (1) 顯著性水平為 =0.05(2) 顯著性水平為 =0.01 解 (1) 顯著性水平為 =0.05 1 提出待檢驗假設 : H0 =1.5 X X 1.5 2 選取檢驗統(tǒng)計量 ,若假設成立 , 則 T t(9 1) S/ n S/ 9 4 根據(jù)樣本值計算統(tǒng)計量的值 T X 1.5 1.6 1.5 T s

14、/ 9 0.1/ 9 3 2.306,2.306 3 根據(jù)顯著性水平為 =0.05 ,t0.05 (8) 2.306 得接受區(qū)間為 -2.306, 2.306 2 所以拒絕原假設 H0 =1.5 (2) 顯著性水平為 =0.01 1 提出待檢驗假設 : H0 =1.5 2 選取檢驗統(tǒng)計量 ,若假設成立 ,則 T X X 1.5 t(9 1) S/ n S/ 9 3 根據(jù)顯著性水平為 =0.01 ,t0.01(8) 3.355 得接受區(qū)間為 -3.355, 3.355 4 根據(jù)樣本值計算統(tǒng)計量的值 X 1.5 T s/ 9 10.61/ 1.95 3 3.355,3.355 所以接受原假設 H0

15、 =1.5 第 17 次 2 1 設總體 X N( , 2 ) 樣本觀測值為 1.34 1.41 1.38 1.39 1.38 1.41 1.37 1.38 1.34 1.40 是否認為 22 2 0.0252 ( 顯著性水平為 0.05 ) 解 1 提出待檢驗假設 : H02 0.0 2 25 2 選取檢驗統(tǒng)計量 ,若假設成立 ,則2 (n 1)S2 2 (n0.021)5S2 2(10 1) 3 根據(jù)顯著性水平為 =0.05 12 0.05(9) 2.7 02.05 (9) 19 得接受區(qū)間為 2.7, 19 4 根據(jù)樣本值計算統(tǒng)計量的值 2 2 (n 1)S2 0.00562 8.96

16、(2.7, 19) 0.0252 所以接受原假設 H02 0.0 2 25 2 現(xiàn)從某機床加工的零件中抽取 10 件,測得直徑的樣本均值為x 19.93 ,樣本方差為 22 s2 0.216,已知機器正常情況下2 0.392 ,判斷機器工作是否正常 (10.95 ) 解 1 提出待檢驗假設 : H0 2 0.3 9 2 2 選取檢驗統(tǒng)計量 ,若假設成立 ,則 2 2 (n 1)S2 2 (n 1)S2 0.392 2 2(10 1) 3 根據(jù)顯著性水平為 =0.05 12 0.05 (9) 2.7 1 02.05 (9) 19 得接受區(qū)間為 2.7, 19 4 根據(jù)樣本值計算統(tǒng)計量的值 2 2

17、 (n 1)S2 (10 1)0.216 0.392 4.959 (2.7, 19) 2 所以接受原假設 H02 0.3 9 2 3 假設某廠生產的電纜 , 抗拉強度 X N (10600,822) 現(xiàn)從改進工藝后生產的電纜中抽取 6992 ,問 新工藝生產的電纜抗拉 10 根 ,測量抗拉強度 ,樣本均值 x 10653為方差為 s2 強度，其方差是否有顯著變化 ? (0.05 ) 1 提出待檢驗假設 : H02 822 2 選取檢驗統(tǒng)計量 ,若假設成立 ,則 2 (n 1)S2 2 (n 1)S 6992 2 2 2(10 1) 3 根據(jù)顯著性水平為 =0.05 2 0.05 (9) 2.7 1 0.205 02.05 (9) 19 2 得接受區(qū)間為 2.7, 19 4 根據(jù)樣本值計算統(tǒng)計量的值 2 2 (n 1)S2 2 (10 1)6992 9.358 (2.7, 19) 822 22 所以接受原假設 H02 822 2 某廠加工的零件的直徑 X N( , 2)， 2 該廠承諾 2 0.392 ，現(xiàn)從產品中抽取 10 件， 測得直徑樣本均值為 x 19