2020高考解答題突破(三) 數(shù)列的綜合應(yīng)用

1、2020高考解答題突破(三)數(shù)列的綜合應(yīng)用突破“兩歸”化歸、歸納思維流程技法點撥1由于數(shù)列是一個特殊的函數(shù)，也可根據(jù)題目特點，將其化歸為函數(shù)問題，或通過對式子的改造，使其化歸為可運用數(shù)列問題的基本方法2對于不是等差或等比的數(shù)列，可從簡單的個別的特殊的情景出發(fā)，從中歸納出一般性的規(guī)律、性質(zhì)，這種歸納思想便形成了解決一般性數(shù)學(xué)問題的重要方法：觀察、歸納、猜想、證明考向一等差、等比數(shù)列的證明是等差數(shù)列；a證明數(shù)列是等差(比)數(shù)列的兩種基本方法(1)定義法：an1and(常數(shù))(nn*)anan1nq(q是非零常數(shù))an是等比數(shù)列(2)等差(比)中項法：2an1anan2(nn*)an是等差數(shù)列；2a

2、n1anan2(nn*，an0)an是等比數(shù)列解(1)由題意知，2sn(n1)2ann2an1，2sn1(n2)2an1(n1)2an2，兩式相減，并化簡得(n1)2(an2an)2(n1)2an1，數(shù)列an的公差為2，故an2n.(2)由題意知，bnbn12an22n，bn1bn22an122(n1)，兩式相除，可得bn24bn，即b2n和b2n1都是以4為公比的等比數(shù)列b2n24n122n1，b2n122n2，即bn2n1，則bn12bn，1因此存在2，使得數(shù)列bn是等比數(shù)列nan210，設(shè)數(shù)列bn滿足bntn.巧造等差或等比判定方法(1)判斷一個數(shù)列是等差(等比)數(shù)列，還有通項公式法及前

3、n項和公式法，但不作為證明方法；(2)若要判斷一個數(shù)列不是等差(等比)數(shù)列，只需判斷存在連續(xù)三項不成等差(等比)數(shù)列即可；n(3)a2an1an1(n2，nn*)是an為等比數(shù)列的必要而不充分條件，也就是要注意判斷一個數(shù)列是等比數(shù)列時，要注意各項不為0.對點訓(xùn)練n1(2018常州一模)已知n為正整數(shù)，數(shù)列an滿足an0,4(n1)a2na2ann(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)若數(shù)列bn是等差數(shù)列，求實數(shù)t的值n2解(1)證明：數(shù)列an滿足an0,4(n1)a2nan10，2n1annan1.即an1n12an.nann數(shù)列是以2為公比的等比數(shù)列(2)由(1)可得annn1a12n1，a2n

4、a24n1.bntn，b1t，b2t2，b3t3.數(shù)列bn是等差數(shù)列，2t2tt3.a12tt2，當(dāng)t4時，bn4n4，數(shù)列bn為等差數(shù)列，所以t的值為4.snsn1，n2n13a2a2a2a213a2a2a21222a243a142即16tt248，解得t12或t4.經(jīng)檢驗，當(dāng)t12時，b2，b3，b4不成等差數(shù)列，故舍去n1a2na2考向二數(shù)列的通項與求和1求數(shù)列的通項公式的方法(1)等差、等比數(shù)列的通項公式適合用基本量法；(2)已知an與sns1，n1，間關(guān)系式時適合用an求得；(3)依據(jù)遞推關(guān)系變形為等差(等比)數(shù)列求得2求數(shù)列的前n項和的方法結(jié)合數(shù)列通項公式的特點，采用裂項相消、錯位

5、相減、分組求和等方法(2)由(1)知cnn(3n3)(6n6)n13(n1)2n1.又tnc1c2cn，得tn3222323(n1)2n1，2tn3223324(n1)2n2，兩式作差，求解數(shù)列通項和前n項和的關(guān)鍵步驟(2)若數(shù)列bn滿足bn(n2)log2an，求數(shù)列b的前n項和tn.對點訓(xùn)練2(2018南寧第二次適應(yīng)性測試)在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，a12，且2a1，a3,3a2成等差數(shù)列(1)求等比數(shù)列an的通項公式；1n解(1)設(shè)數(shù)列an的公比為q，2a1，a3,3a2成等差數(shù)列，2a13a22a3，即2a13a1q2a1q2，1化簡得2q23q20，解得q2或q2.q0，q2.

6、2nn2n(n2)2132435nnn2n1n1n2122n1n2422(n3n2)btnbb12111111a12，數(shù)列an的通項公式ana1qn12n，nn*.(2)bn(n2)log2ann(n2)，11111，n1111n1n111111111132n3.考向三數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用數(shù)列與不等式的綜合問題主要體現(xiàn)在以下三方面：(1)判斷數(shù)列問題中的一些不等關(guān)系，可以利用數(shù)列的單調(diào)性比較大小，或者借助數(shù)列對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，還可以作差或作商比較大??；(2)以數(shù)列為載體，考查不等式的恒成立問題，此類問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題；(3)考查與數(shù)列問題有關(guān)的不等式的證明問題，此類問題常通過

7、構(gòu)造函數(shù)證明，或者直接利用放縮法證明解(1)4snanan1，nn*，4a1a1a2，又a12，a24.當(dāng)n2時，4sn1an1an，得4ananan1an1an.(2)設(shè)數(shù)列aa的前n項和為s，不等式slog(1a)對任意nn3a“算一算、猜一猜、證一證”是數(shù)列中特有的歸納思想，利用這種思想可探索一些一般數(shù)列的簡單性質(zhì)等差數(shù)列與等比數(shù)列是數(shù)列中的兩個特殊的基本數(shù)列，高考中通?？疾榈氖欠堑炔?、等比數(shù)列問題，應(yīng)對的策略就是通過化歸思想，將其轉(zhuǎn)化為這兩種數(shù)列審題時應(yīng)注意歸納法的運用，要看清項及下標(biāo)的特征，要注意下標(biāo)的范圍對點訓(xùn)練3(2018臨川質(zhì)檢)已知數(shù)列an滿足對任意的nn*，都有a3133a

8、2an(a1a2an)2，且an0.(1)求數(shù)列an的通項公式；11nn2的正整數(shù)n恒成立，求實數(shù)a的取值范圍3n33解(1)由a31a2a3(a1a2an)2知a31a2an1(a1a2an1)2，n則a31(a1a2an1)2(a1a2an)2an12(a1a2anan2n(n2)2nn2anan2，n2n1n242n則所以snaaaa2132422113111所以實數(shù)a的取值范圍是0，2.an)an1，nn又an0，所以a212(a1a2an)an1，則a22(a1a2an1)an(n2)，nn2故a21a2anan1，因為an0，所以an1an1.又a31a1，所以a11.又a222a

9、1a2，所以a22，所以a2a11，即當(dāng)n1時，有an1an1，所以數(shù)列an是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，故ann.(2)由(1)知ann，11111，11111111113241(n1)(n3)則sn1sn0，所以數(shù)列sn單調(diào)遞增，所以(sn)min1s13.111要使不等式sn3loga(1a)對任意正整數(shù)n恒成立，只要33loga(1a)即可1易知0aa，解得0a2.1專題跟蹤訓(xùn)練(二十)1(2018內(nèi)蒙古包頭一模)已知數(shù)列an的前n項和為sn，且sn2an3n(nn*)(1)求a1，a2，a3的值(2)設(shè)bnan3，試說明數(shù)列bn為等比數(shù)列，并求出數(shù)列an的通項公式解(1)當(dāng)n1時，

10、由s1a12a131，得a13；當(dāng)n2時，由s2a1a22a232，可得a29；當(dāng)n3時，由s3a1a2a32a333，得a321.(2)因為sn2an3n，所以sn12an13(n1)上述兩式相減得an12an3，所以an132(an3)，所以bn12bn，且b16.所以數(shù)列bn是以6為首項，2為公比的等比數(shù)列所以bn62n1.所以anbn362n133(2n1)2(2018長春實驗中學(xué)一模)已知在數(shù)列an中，a11，當(dāng)n2sn2ansn2.時，其前n項和sn滿足1(2)設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項和tn.(1)求sn的表達(dá)式sn2n1(1)當(dāng)n2時，將ansnsn1代入sn2ansn2中，得

11、2snsn解1snsn10，化簡得ss2，s1，數(shù)列s是以1為首n1nn111111項，2為公差的等差數(shù)列tn213352n12n122n12n1(2)設(shè)數(shù)列nn的前n項和為tn，求證：tn0，所以解得a1(a13d)16，d2.所以數(shù)列an的通項公式為ana1(n1)d22(n1)2n.n(n1)(2)證明：由(1)知a1d2，則sn2n22n2n.所以snn1234n1所以tn2122232n，123nn12tn22232n2n1.12111n1由得，2tn2122232n2n1.1n111111n122n1所以tn221222n12n212n31212nn112n3.(2)若cn3b，且cntan42t2對一切正整數(shù)n恒成立，求實數(shù)3所以bn3n1，cn3bn3n.由cn1cn(2n1)3(2n1)333(1n)0，可得故tn0，所以an1an2.所以當(dāng)n2時，an是公差d2的