人教A版數(shù)學(xué)必修四第一章三角函數(shù)1.4.2正弦函數(shù)余弦函數(shù)的性質(zhì)一導(dǎo)學(xué)案

1、 .1.4.2.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)(一)學(xué)習(xí)目標(biāo) .1.了解周期函數(shù)、周期、最小正周期的定義.2.會求函數(shù) yasin( x )及 yacos( x )的周期.3.掌握函數(shù) ysin x，ycos x 的奇偶性，會判斷簡單三角函數(shù)的奇偶性.知識點一.函數(shù)的周期性思考 1.如果函數(shù) f(x)滿足 f(x3)f(x)，那么 3 是 f(x)的周期嗎？答案.不一定.必須滿足當(dāng) x 取定義域內(nèi)的每一個值時，都有 f(x3)f(x)，才可以說 3 是f(x)的周期.思考 2.所有的函數(shù)都具有周期性嗎？答案.不是.只有同時符合周期函數(shù)定義中的兩個條件的函數(shù)才具有周期性.思考 3.周期函數(shù)都有最小正周

2、期嗎？答案.周期函數(shù)不一定存在最小正周期.例如，對于常數(shù)函數(shù) f(x)c(c 為常數(shù)，xr)，所有非零實數(shù) t 都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常數(shù)函數(shù)沒有最小正周期.梳理.函數(shù)的周期性(1)對于函數(shù) f(x)，如果存在一個非零常數(shù)t，使得當(dāng) x 取定義域內(nèi)的每一個值時，都有f(xt)f(x)，那么函數(shù) f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù) t 叫做這個函數(shù)的周期.(2)如果在周期函數(shù) f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)叫做f(x)的最小正周期.知識點二.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性思考 1.證明函數(shù) ysin x 和 ycos x 都是周期函數(shù).答案.sin(x2

3、)sin x，cos(x2 )cos x，ysin x 和 ycos x 都是周期函數(shù)，且 2 就是它們的一個周期.思考 2.證明函數(shù) f(x)asin( x )(或 f(x)acos( x )(a 0)是周期函數(shù).答案.由誘導(dǎo)公式一知，對任意 xr，都有 asin( x )2 asin( x )， 2 所以 asin x sin( )，ax 2 即 f x f x ( )，2所以 f(x)asin( x )( 0)是周期函數(shù)， 就是它的一個周期.同理，函數(shù) f(x)acos( x )( 0)也是周期函數(shù). .梳理.由 sin(x2k )sin x，cos(x2k )cos x(kz)知，ys

4、in x 與 ycos x 都是周期函數(shù)，2k (kz且 k0)都是它們的周期，且它們的最小正周期都是2 .知識點三.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性思考.對于 xr，sin(x)sin x，cos(x)cos x，這說明正弦函數(shù)、余弦函數(shù)具備怎樣的性質(zhì)？答案. 奇偶性.梳理.(1)對于 ysinx，xr恒有 sin(x)sinx，所以正弦函數(shù) ysinx是奇函數(shù)，正弦曲線關(guān)于原點對稱.(2)對于 ycos x，xr恒有 cos(x)cos x，所以余弦函數(shù) ycos x是偶函數(shù)，余弦曲線關(guān)于 y軸對稱.類型一.三角函數(shù)的周期性例 1.求下列函數(shù)的最小正周期.(1)ysin(2x )(xr)；3(2

5、)y|sin x|(xr).3解.(1)方法一.令 z2x ，因為 xr，所以 zr.函數(shù) f(x)sin z的最小正周期是 2 ，即變量 z只要且至少要增加到 z2 ，函數(shù) f(x)sin z(zr)的值才能重復(fù)取得.33而z2 2x 2 2(x ) ，所以自變量x只要且至少要增加到x ，函數(shù)值 x才能重復(fù)取得，所以函數(shù) f(x)sin 2 ( r)的最小正周期是 . x3 22方法二.f(x)sin 2 的最小正周期為 . x3(2)因為 y|sin x|sin x(2k x2k )，(kz).sin x(2k 0，1sin x0，(2)由得1sin x0，xr)2的周期t .2.判斷函數(shù)

6、的奇偶性，必須堅持“定義域優(yōu)先”的原則，準(zhǔn)確求函數(shù)定義域和將式子合理變形是解決此類問題的關(guān)鍵.如果定義域關(guān)于原點對稱，再看f(x)與f(x)的關(guān)系，從而判斷奇偶性.課時作業(yè)一、選擇題1.下列函數(shù)中，周期為 的是(.)2xa.ysinb.ysin 2x2x4c.ycos答案.dd.ycos(4x)2|4| 2解析.t . 52.函數(shù)f(x)sin 的最小正周期為 ，其中 0，則 等于(.) x6a.5 b.10 c.15 d.20答案.b3.已知ar，函數(shù)f(x)sin x|a|(xr)為奇函數(shù)，則a等于(.)a.0 b.1 c.1 d.1答案.a. .解析.因為 f(x)為奇函數(shù)，所以 f(x

7、)sin(x)|a|f(x)sin x|a|，所以|a|0，從而 a0，故選 a.4.下列函數(shù)中是奇函數(shù)，且最小正周期是 的函數(shù)是(.)a.ycos|2x|b.y|sin x|3ysin 2x 2xc.22答案.d解析.ycos|2x|是偶函數(shù)，y|sin x|是偶函數(shù)，ysin 2 cos 2 是偶函數(shù)， xxy23x2 sin 2x是奇函數(shù)，根據(jù)公式求得其最小正周期 t .cos2k k5.函數(shù) ycos ( 0)的最小正周期不大于 2，則正整數(shù) 的最小值應(yīng)是(.) xk34a.10 b.11 c.12 d.13答案.d2解析.t 2，即 k4 ，k4正整數(shù) k的最小值是 13.|sin

8、x|(1sin x)6.函數(shù) y的奇偶性為(.)1sin xa.奇函數(shù)b.既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)c.偶函數(shù)d.非奇非偶函數(shù)答案.d解析.由題意知，當(dāng) 1sin x0，即 sin x1 時，|sin x|(1sin x)y|sin x|，1sin x2所以函數(shù)的定義域為x|x2k ，kz，由于定義域不關(guān)于原點對稱，所以該函數(shù)是非奇非偶函數(shù).2 157.函數(shù) f(x)3sin( x)是(.)32. .a.周期為 3 的偶函數(shù)c.周期為 3 的奇函數(shù)b.周期為 2 的偶函數(shù)4d.周期為 的偶函數(shù)3答案.a二、填空題48.若 0 ，g(x)sin(2x )是偶函數(shù)，則 的值為.2答案.44解析.要使 g(x)sin(2x )為偶函數(shù)，42則需 k ，kz， k ，kz.4240 0， 0)在閉區(qū)間0，1上至少出現(xiàn) 50個最小值，求 的最小值.2解.函數(shù) yasin x的最小正周