有關(guān)湖水溫度的數(shù)學(xué)建模報(bào)告

1、前言一、數(shù)學(xué)建模介紹1. 什么是數(shù)學(xué)模型？ 數(shù)學(xué)模型是指用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述了的實(shí)際事物或現(xiàn)象。它一般是實(shí)際事物的一種數(shù)學(xué)簡(jiǎn)化。它常常是以某種意義上接近實(shí)際事物的抽象形式存在的，但它和真實(shí)的事物有著本質(zhì)的區(qū)別。要描述一個(gè)實(shí)際現(xiàn)象可以有很多種方式，比如錄音，錄像，比喻，傳言等等。為了使描述更具科學(xué)性，邏輯性，客觀性和可重復(fù)性，人們采用一種普遍認(rèn)為比較嚴(yán)格的語(yǔ)言來(lái)描述各種現(xiàn)象，這種語(yǔ)言就是數(shù)學(xué)。使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述的事物就稱為數(shù)學(xué)模型。有時(shí)候我們需要做一些實(shí)驗(yàn)，但這些實(shí)驗(yàn)往往用抽象出來(lái)了的數(shù)學(xué)模型作為實(shí)際物體的代替而進(jìn)行相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)本身也是實(shí)際操作的一種理論替代。2. 為什么要建立數(shù)學(xué)模型？ 在科學(xué)領(lǐng)域

2、中，數(shù)學(xué)因?yàn)槠浔娝苤臏?zhǔn)確而成為研究者們最廣泛用于交流的語(yǔ)言因?yàn)樗麄兤毡橄嘈?，自然是?yán)格地演化著的，盡管控制演化的規(guī)律可以很復(fù)雜甚至是混沌的。因此，人們常對(duì)實(shí)際事物建立種種數(shù)學(xué)模型以期通過(guò)對(duì)該模型的考察來(lái)描述解釋，預(yù)計(jì)或分析出與實(shí)際事物相關(guān)的規(guī)律。二、數(shù)學(xué)建模應(yīng)用數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，在它產(chǎn)生和發(fā)展的歷史長(zhǎng)河中，一直是和各種各樣的應(yīng)用問(wèn)題緊密相關(guān)的。數(shù)學(xué)的特點(diǎn)不僅在于概念的抽象性、邏輯的嚴(yán)密性，結(jié)論的明確性和體系的完整性，而且在于它應(yīng)用的廣泛性，自從20世紀(jì)以來(lái)，隨著科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展和計(jì)算機(jī)的日益普及，人們對(duì)各種問(wèn)題的要求越來(lái)越精確，使得數(shù)學(xué)的應(yīng)用越來(lái)越廣泛和深入，特

3、別是在21世紀(jì)這個(gè)知識(shí)經(jīng)濟(jì)時(shí)代，數(shù)學(xué)科學(xué)的地位會(huì)發(fā)生巨大的變化，它正在從國(guó)家經(jīng)濟(jì)和科技的后備走到了前沿。經(jīng)濟(jì)發(fā)展的全球化、計(jì)算機(jī)的迅猛發(fā)展，數(shù)理論與方法的不斷擴(kuò)充使得數(shù)學(xué)已經(jīng)成為當(dāng)代高科技的一個(gè)重要組成部分和思想庫(kù)，數(shù)學(xué)已經(jīng)成為一種能夠普遍實(shí)施的技術(shù)。培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和能力已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要方面。三、數(shù)學(xué)建模的意義隨著科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，人們?cè)絹?lái)越認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)科學(xué)的重要性：數(shù)學(xué)的思考方式具有根本的重要性，數(shù)學(xué)為組織和構(gòu)造知識(shí)提供了方法，將它用于技術(shù)時(shí)能使科學(xué)家和工程師生產(chǎn)出系統(tǒng)的、能復(fù)制的、且可以傳播的知識(shí)數(shù)學(xué)科學(xué)對(duì)于經(jīng)濟(jì)競(jìng)爭(zhēng)是必不可少的，數(shù)學(xué)科學(xué)是一種關(guān)鍵性的、普遍的、可實(shí)行的技

4、術(shù)。在當(dāng)今高科技與計(jì)算機(jī)技術(shù)日新月異且日益普及的社會(huì)里，高新技術(shù)的發(fā)展離不開(kāi)數(shù)學(xué)的支持，沒(méi)有良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)已無(wú)法實(shí)現(xiàn)工程技術(shù)的創(chuàng)新與突破。湖水溫度變化問(wèn)題1 摘要夏季湖水溫度有明顯的正溫層現(xiàn)象，8月份最高達(dá)223，平均為16；水的下層溫度較低，平均水溫為95，最低為6秋季因湖區(qū)多風(fēng)而發(fā)生湖水?dāng)噭?dòng)，使水溫分層溫度現(xiàn)象基本消失，冬季湖面結(jié)冰，湖水溫度出現(xiàn)逆溫層現(xiàn)象。特別近幾年來(lái)全球變暖越來(lái)越嚴(yán)重，這對(duì)夏季時(shí)湖水的溫度的變化也照成了一定的影響，使得湖水照成水文變化異常的現(xiàn)象，影響了河中生物的生存與繁衍。使得水層上下循環(huán)不暢，造成下層水域缺氧，導(dǎo)致水生魚(yú)類的死亡。論文利用數(shù)學(xué)建模理念和matlab軟件

5、對(duì)水溫的變化與分布進(jìn)行了分析和評(píng)論。關(guān)鍵詞：分層，多項(xiàng)式擬合，湖水溫度，求導(dǎo)。2 概述2.1 問(wèn)題重述湖水在夏天會(huì)出現(xiàn)分層現(xiàn)象，其特點(diǎn)為接近湖面的水溫度較高，越往下溫度變低。這種上熱下冷的現(xiàn)象影響了水的對(duì)流和混合過(guò)程，使得下層水域缺氧，導(dǎo)致水生魚(yú)類的死亡。下面是某個(gè)湖的。觀測(cè)數(shù)據(jù)深度，m02.34.99.113.718.322.927.2溫度,c22.822.822.820.613.911.711.111.1請(qǐng)問(wèn):1湖水在10m處的溫度是多少？2湖水在什么深度溫度變化最大？2.2 基本假設(shè)針對(duì)以上問(wèn)題，對(duì)于湖水溫度的模型可以做出如下的假設(shè)：1.取同一時(shí)刻不同溫度的水溫，所以假設(shè)湖的溫度不隨時(shí)間

6、變化。2.水層之間的溫度不相互影響。3.湖水的溫度與湖水內(nèi)部的流動(dòng)狀態(tài)無(wú)關(guān)。4.湖水地步平坦，無(wú)溝壑、無(wú)起伏。5.湖水的深度決定了湖水的溫度狀況。2.3 分析與建立模型這道湖水溫度變化模型問(wèn)題主要研究的是湖水的溫度會(huì)隨這深度的不同而呈現(xiàn)出一定的規(guī)律。但模型中只給出了溫度與深度相關(guān)的有限時(shí)間數(shù)據(jù)，由此想到可能要用到插值和多項(xiàng)擬合的方法來(lái)求解該模型。假設(shè)湖水深度是溫度的連續(xù)函數(shù)，其中一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)為表所示：表31為湖水觀測(cè)數(shù)據(jù)深度,m02.34.99.113.718.322.927.2溫度，c22.822.822.820.613.911.711.111.12.4 符號(hào)說(shuō)明h: 湖水深度,單位為m；t

7、: 在h下的湖水溫度,單位為c；t=t(h)：湖水深度的函數(shù)；e：溫度的相對(duì)誤差2.5 模型求解遇到這種數(shù)據(jù)表格問(wèn)題，如果我們僅憑眼睛觀察，很難看到其中的規(guī)律，也就更難寫(xiě)出有效的數(shù)學(xué)表達(dá)式從而建立數(shù)學(xué)模型。將所給數(shù)據(jù)作圖，運(yùn)用matlab軟件做出圖形，分別用x,h代表湖水的深度，用y代表湖水溫度，操作的命令為：x=0,2.3,4.9,9.1,13.7,18.3,22.9,27.2y=22.8,22.8,22.8,20.6,13.9,11.7,11.1,11.1a=polyfit(x,y,2)z=polyval(a,x) plot(x,z) 此時(shí)擬合出 t=0.0091x2-0.7803x+24

8、.5390 ， 圖表如下：深度，h02.34.99.113.718.722.927.2真實(shí)值，t22.822.822.820.613.911.711.111.1模擬值，z24.539022.792420.933918.191415.555813.305111.439310.0431相對(duì)誤差，e0.07630.00030.08180.11690.11910.13720.03060.0952這個(gè)二次擬合的結(jié)果與實(shí)際情況差距較大所以用三次擬合h=0,2.3,4.9,9.1,13.7,18.3,22.9,27.2;y=22.8,22.8,22.8,20.6,13.9,11.7,11.1,11.1;a=

9、polyfit(h,y,3) z=polyval(a,h) plot(h,z) 此時(shí)擬合出 t=0.0027h3-0.1000h2+0.3277h+22.8764 圖表如下： 深度，h02.34.99.113.718.722.927.2真實(shí)值，t22.822.822.820.613.911.711.111.1模擬值，z22.876423.133522.394919.589115.463711.753810.020411.5681相對(duì)誤差，e0.00340.01460.01780.04910.11250.00460.09730.0422通過(guò)比較這時(shí)的模擬值與真實(shí)值相差不大1）當(dāng)h=10時(shí)，t=1

10、8.85342）當(dāng)導(dǎo)數(shù)處在最大值時(shí)溫度變化最大h=12.34時(shí)溫度變化最大3 結(jié)論3.1 應(yīng)用與推廣湖泊熱量平衡指在一定時(shí)段內(nèi)，湖水收入的熱量與支出熱量之差等于湖水蓄熱變化量。一般可用下列熱量平衡方程式表示：sc+sa-slskszsd+sy-sysxszsu-su+sgs=0式中：sc為湖水吸收的太陽(yáng)短波輻射；sa為湖水吸收的大氣逆輻射；sl為湖水長(zhǎng)波輻射耗熱量；sk為湖水與大氣交換的熱量；sz為蒸發(fā)耗熱或凝結(jié)吸熱；sd為湖底與湖水的熱交換量；sy為支流或從水源帶來(lái)的熱量；sy為地面徑流和地下徑流帶走的熱量；sx為降雨帶來(lái)的熱量或降雪融化消耗的熱量；sz為被蒸發(fā)的水帶走的熱量或隨水汽凝結(jié)而帶

11、入的熱量；su為湖水結(jié)冰放出的熱量或融冰吸收的熱量；su是隨水流流進(jìn)的冰塊融化的耗熱量；sg為因機(jī)械能消耗而損失的熱量；s為湖水蓄熱變量。而由生物化學(xué)過(guò)程發(fā)生的熱量；由地球內(nèi)部傳給湖水的熱量，以及由湖岸反射的總太陽(yáng)輻射等由于數(shù)值太小，通常不予考慮。式中各項(xiàng)對(duì)不同時(shí)期各種類型湖泊所起的作用差別很大，有的完全沒(méi)有必要計(jì)算，根據(jù)對(duì)湖泊具體情況的分析研究，可使熱量平衡方程式進(jìn)一步簡(jiǎn)化。熱平衡要素的單位，一般熱量以卡、千卡計(jì)、熱通量以卡/厘米2日、或卡/厘米2年計(jì)。采用水文氣象學(xué)有關(guān)方法或經(jīng)驗(yàn)公式可推求熱量平衡各要素的數(shù)值。湖溫指湖水溫度。是湖水和周圍地理環(huán)境之間熱交換的綜合反映。太陽(yáng)輻射、長(zhǎng)波有效輻射

12、、水面與大氣的熱交換、水面蒸發(fā)、湖底狀況、補(bǔ)給水源、渦動(dòng)、對(duì)流混合作用、湖泊的形態(tài)及其測(cè)量特征以及湖泊所在地理緯度等都是影響湖溫及其變化的重要因素。湖水逆溫層指湖溫隨水深增加而升高的分布形式。即湖水溫度的垂直梯度為正值，上層溫度低，下層水溫高，但不高于4，這種分布，稱為逆溫層。呈逆溫分布的湖水，穩(wěn)定性較差，一旦增溫即能引起渦動(dòng)和混合。其分布多出現(xiàn)在寒帶或高山、高原地區(qū)的湖泊。溫帶湖唯冬季時(shí)才呈逆溫分布。湖水同溫層湖溫隨水深增加而不發(fā)生升降的分布形式。即湖水水溫垂直梯度等于零，上下層水溫完全相同，稱為同溫層。在溫帶和寒溫帶的湖泊，這種分布多發(fā)生在春秋時(shí)期；寒帶和高山地區(qū)的湖泊有的春夏兩季也可出現(xiàn)

13、短期的同溫層。同溫層的溫度和出現(xiàn)時(shí)間，取決于氣象條件、湖水下層的溫度和水深。如果氣象條件相同，湖水下層溫度越高、水深越小，同溫層就出現(xiàn)得越早，且溫度較高。3.2 模型優(yōu)缺點(diǎn)（1）運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法對(duì)湖水溫度問(wèn)題進(jìn)行了模型的建立和求解，解決了一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，也是人們對(duì)水溫有了進(jìn)一步的了解。（2）使用 matlab軟件對(duì)本問(wèn)題進(jìn)行了進(jìn)一步的解答，使得所得結(jié)論方便快捷，又有很高準(zhǔn)確度。（3）由于天氣變化早晚溫差對(duì)水溫的變化影響較大，而且各層水溫之間也有相互影響，所以我們所得出的結(jié)果也有一定的局限性，但由于本人能力見(jiàn)識(shí)和知識(shí)有限，只能得出這一個(gè)結(jié)果，有一定的局限性。3.3 心得體會(huì)這學(xué)期學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)建模訓(xùn)練，

14、使我感觸良多：它所教給我們的不單是一些數(shù)學(xué)方面的知識(shí)，更多的其實(shí)是綜合能力的培養(yǎng)、鍛煉與提高。它培養(yǎng)了我們?nèi)?、多角度考慮問(wèn)題的能力，使我們的邏輯推理能力和量化分析能力得到很好的鍛煉和提高。它還讓我了解了多種數(shù)學(xué)軟件，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件對(duì)模型進(jìn)行求解。數(shù)學(xué)模型主要是將現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息加以翻譯，歸納的產(chǎn)物。通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)模型的假設(shè)、求解、驗(yàn)證，得到數(shù)學(xué)上的解答，再經(jīng)過(guò)翻譯回到現(xiàn)實(shí)對(duì)象，給出分析、決策的結(jié)果。其實(shí)，數(shù)學(xué)建模對(duì)我們來(lái)說(shuō)并不陌生，在我們的日常生活和工作中，經(jīng)常會(huì)用到有關(guān)建模的概念。而在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模訓(xùn)練以前，我們面對(duì)這些問(wèn)題時(shí)，解決它的方法往往是一種習(xí)慣性的思維方式，只知道該這樣做，卻不很清楚為

15、什么會(huì)這樣做，現(xiàn)在，我們這種陳舊的思考方式己經(jīng)在被數(shù)學(xué)建模訓(xùn)練中培養(yǎng)出的多角度、層次分明、從本質(zhì)上區(qū)分問(wèn)題的新穎多維的思考方式所替代。這種凝聚了許多優(yōu)秀方法為一體的思考方式一旦被你把握，它就轉(zhuǎn)化成了你自身的素質(zhì)，不僅在你以后的學(xué)習(xí)工作中繼續(xù)發(fā)揮作用，也為你的成長(zhǎng)道路印下了閃亮的一頁(yè)。通過(guò)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模訓(xùn)練，對(duì)我的收益不遜于以前所學(xué)的文化知識(shí)，使我終生難忘。而且，我覺(jué)得數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)本身就是教學(xué)方法改革的一種探索，它打破常規(guī)的那種老師臺(tái)上講，學(xué)生聽(tīng)，一味鉆研課本的傳統(tǒng)模式，而采取提出問(wèn)題，課堂討論，帶著問(wèn)題去學(xué)習(xí)、不固定于基本教材，不拘泥于某種方法，激發(fā)學(xué)生的多種思維，增強(qiáng)其學(xué)習(xí)主動(dòng)性，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立

16、思考，積極思維的特性，這樣有利于學(xué)生根據(jù)自己的特點(diǎn)把握所學(xué)知識(shí)，形成自己的學(xué)習(xí)機(jī)制，逐步培養(yǎng)很強(qiáng)的自學(xué)能力和分析、解決新問(wèn)題的能力。這對(duì)于我們以后所從事的教育工作也是一個(gè)很好的啟發(fā)?？傊?，“一份耕耘，一份收獲”。作為一名數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，我深刻地感到了自己在程序的編制和軟件應(yīng)用以及自學(xué)能力，有了很大的提高，并將對(duì)我今后的專業(yè)學(xué)習(xí)有很大的幫助。想到這里，我不由得被老師的良苦用心所感動(dòng)，為我們創(chuàng)造了如此優(yōu)越的學(xué)習(xí)條件，處處為學(xué)子著想。因此，在今后的學(xué)習(xí)中，我會(huì)保持這種學(xué)習(xí)的勁頭，刻苦努力，爭(zhēng)取以更優(yōu)異的成績(jī)。4 參考文獻(xiàn)1. 符號(hào)計(jì)算系統(tǒng)mathematica教程 張韻華編著 北京：科學(xué)出版社，20

17、01 2. 數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn) 周義倉(cāng)，赫孝良編 西安：西安交通大學(xué)出版社，19993. 數(shù)學(xué)建模案例分析 白其崢主編 北京：海洋出版社，20004.數(shù)學(xué)建模案例精選 朱道元等編著 北京：科學(xué)出版社，20035.數(shù)學(xué)建模導(dǎo)論 陳理榮主編 北京：北京郵電大學(xué)出版社，19996.數(shù)學(xué)建模：原理與方法 蔡鎖章主編 北京：海洋出版社，2000 7.數(shù)學(xué)建模的理論與實(shí)踐 吳翊，吳孟達(dá)，成禮智編著 長(zhǎng)沙：國(guó)防科技大學(xué)出版社，1999 附錄：附錄a 水深與溫度二次擬合程序x=0,2.3,4.9,9.1,13.7,18.3,22.9,27.2;y=22.8,22.8,22.8,20.6,13.9,11.7,11.1

18、,11.1 ; a=polyfit(x,y,2);az=polyval(a,x);zplot(x,z) ;xlabel(x),ylabel(z),title(二次擬合曲線);e=(abs(y)1e-3).*abs(z-y)./(y+eps) ;e a = 0.0091 -0.7803 24.5390z = 24.5390 22.7924 20.9339 18.1914 15.5558 13.3051 11.4393 10.0431e = 0.0763 0.0003 0.0818 0.1169 0.1191 0.1372 0.0306 0.0952 附錄b 水深與溫度三次擬合程序h=0,2.3,4.9,9.1,13.7,18.3,22.9,27.2;y=22.8,22.8,22.8,20.6,13.9,11.7,11.1,11.1;a=polyfit(h,y,3) ; a z=polyval(a,h) ;zplot(h,z) ;xlabel(h),ylabel(z),t