三角形內(nèi)角和定理

1、 三角形內(nèi)角和定理 教學(xué)設(shè)計(jì)及反思 設(shè)計(jì)理念 尊重學(xué)生已有的知識(shí)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，倡導(dǎo)自主、合作、探究的學(xué)習(xí)方式。教師在 合作學(xué)習(xí)的過程中通過類比問題引導(dǎo)幫助學(xué)生搭建梯子排除障礙，在傾聽與交流中成 為學(xué)習(xí)活動(dòng)的參與者、引導(dǎo)者。 教材分析 內(nèi)容解析：三角形內(nèi)角和定理是本章的重要內(nèi)容，也是“幾何與圖形”的知 識(shí)基礎(chǔ)，它從角的方面刻畫了三角形的特征，定理的探究體現(xiàn)了幾何知識(shí)的探究思路 “由實(shí)驗(yàn)到論證”的過程，體現(xiàn)了證明的必要性。三角形內(nèi)角和定理的證明以平行線 的知識(shí)和平角的定義為基礎(chǔ)。定理的驗(yàn)證過程不僅體現(xiàn)了證明的必要性，而且在驗(yàn)證 過程中獲得了添加輔助線的思路和方法。 地位解析 內(nèi)容地位解析： 本節(jié)的知

2、識(shí)是延續(xù)了小學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上加深了對(duì)知識(shí)的認(rèn)知深度和廣 度，通過本節(jié)的內(nèi)容學(xué)習(xí)使體會(huì)到知識(shí)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是螺旋上升的； 本節(jié)的知識(shí)的證明是以平行線的性質(zhì)和平角定義為基礎(chǔ)推出來得，體現(xiàn)了 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要方法“溫古而知新，對(duì)學(xué)生為以后學(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí)，該如何思考？ 提供了一個(gè)參考方式； ”三角形內(nèi)角和定理“的證明過程中，學(xué)生第一次學(xué)習(xí)通過作輔助線來解 問題。通過作輔助線來解問題是我們以后解決證明問題的一種重要方式，例如；“與 角平分線性質(zhì)和判定有關(guān)的題”、“四邊形的證明”等等，本節(jié)課中，學(xué)生對(duì)如何通過 通過作輔助線來解問題的理解的好了對(duì)以后解與作輔助線有關(guān)的題帶來幫助。 教學(xué)學(xué)情診斷分析 【共性特征】

3、1. 認(rèn)知起點(diǎn) 首先分析學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，在七年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)了平行線的性質(zhì)和平角定義，所以 對(duì)學(xué)生來說基礎(chǔ)知識(shí)儲(chǔ)備比較充足不存在知識(shí)方面的障礙來證明三角形內(nèi)角和定理； 2. 心理特征 八年級(jí)學(xué)生處于青春期，好動(dòng)，好表現(xiàn)，求知欲望高，有簡(jiǎn)單動(dòng)手能力，喜 歡嘗試，獲得外界評(píng)價(jià)的意識(shí)強(qiáng)。但害怕失敗，抽象思維能力欠缺 3.認(rèn)知障礙 第一學(xué)生添加輔助線基礎(chǔ)。證明三角形內(nèi)角和定理需要添加輔助線，這對(duì)學(xué) 生來說第一次遇到通過添加輔助線解決問題，學(xué)生會(huì)感到困難。學(xué)生會(huì)在學(xué)習(xí)中第一 次聽到輔助線一名詞，學(xué)生的疑問為什么叫輔助線？為什么添加輔助線？添加輔助線 的依據(jù)是什么？等等； 第二分析學(xué)生的動(dòng)手操作能力。本節(jié)知識(shí)

4、的證明是在學(xué)生親自動(dòng)手操作實(shí)驗(yàn)過 程中一方面發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)操作的局限性問題（視覺誤差、度量誤差、實(shí)驗(yàn)的有限性），另 一方面從剪和拼中感受啟發(fā)，為進(jìn)一步證明內(nèi)角和定理提供思路和方法。所以學(xué)生的 實(shí)驗(yàn)操作能力的好壞和以實(shí)驗(yàn)操作感悟到的知識(shí)是解決問題的鑰匙。良好的實(shí)驗(yàn)操作 能力不僅節(jié)約課堂時(shí)間，提高課堂學(xué)習(xí)效率，否則，學(xué)生學(xué)生將大量的時(shí)間浪費(fèi)在操 作過程中沒有時(shí)間去思考和感悟，教師的課堂教學(xué)效率底下，甚至完不成教學(xué)任務(wù)。 【個(gè)性特征】 我班特征：本班大部分學(xué)生學(xué)習(xí)成績(jī)不錯(cuò)，特別是男生占比較大，所以在數(shù)學(xué) 方面思維較活躍，分析問題和解決問題能力較強(qiáng)，但也存在以下問題：1許多學(xué)生 互相交流意識(shí)不強(qiáng)，個(gè)人英雄主

5、義較強(qiáng)；2、學(xué)生之間兩極分化嚴(yán)重，給教學(xué)帶來挑 戰(zhàn)（如何做到兩頭兼顧）。3、有些學(xué)生的實(shí)驗(yàn)操作能力較差，學(xué)生將大量的時(shí)間浪費(fèi) 在操作過程中沒有時(shí)間去思考和感悟，教師的課堂教學(xué)效率底下，甚至完不成教學(xué)任 務(wù)。 基于以上問題的分析，制定以下教學(xué)目標(biāo)和重難點(diǎn)。 教學(xué)目標(biāo)： 知識(shí)技能：探索并證明三角形內(nèi)角和定理；能運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理解決簡(jiǎn) 單問題。 達(dá)成目標(biāo)的標(biāo)志首先是學(xué)生能通過度量、剪拼、等試驗(yàn)進(jìn)一步感知三角形內(nèi)角和 定理，并在操作過程中發(fā)現(xiàn)其局限性，進(jìn)而感知證明的必要性；在實(shí)驗(yàn)過程中發(fā)現(xiàn)輔助 線，感知輔助線的作用，結(jié)合應(yīng)用平行線的性質(zhì)證明內(nèi)角和定理；其次是：學(xué)生能應(yīng)用 定理解決簡(jiǎn)單的與三角形內(nèi)角

6、有關(guān)的計(jì)算和證明問題。 過程與方法：通過使學(xué)生經(jīng)歷“實(shí)驗(yàn)-思考-交流-反思-總結(jié)- 應(yīng)用”的過程，體會(huì)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中“溫古而知新”的方法，體會(huì)應(yīng)用“轉(zhuǎn)化思想”感悟 輔助線的美妙 達(dá)成目標(biāo)（2）的標(biāo)志使學(xué)生明白本節(jié)知識(shí)點(diǎn)的證明是以平行線的性質(zhì)和平角定義 為基礎(chǔ)推出來得，并明白以后很多新知識(shí)都是在以有的知識(shí)為基礎(chǔ)來推出即“溫古而 知新”通過讓學(xué)生反思實(shí)驗(yàn)過程，體會(huì)添加輔助線的方法，獲得證明思路，體會(huì)輔助 線在證明中的作用。 情感態(tài)度：通過使學(xué)生經(jīng)歷探索并證明三角形內(nèi)角和定理，培養(yǎng)學(xué)生的探究 能力和實(shí)踐操作能力，學(xué)會(huì)與他人合作交流。 達(dá)成目標(biāo)的標(biāo)志首先是讓每個(gè)學(xué)生充分參與到教學(xué)環(huán)節(jié)中，調(diào)動(dòng)每一雙手和每

7、 一個(gè)大腦，給學(xué)生時(shí)間進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作、進(jìn)行思考（思考時(shí)教師以恰當(dāng)?shù)膯栴}來引導(dǎo)學(xué)生， 教師要把控學(xué)生的思維節(jié)奏和方向）；其次是讓學(xué)生之間進(jìn)行有效的交流（交流要有目 標(biāo)和方法），集合大家的思想，發(fā)現(xiàn)閃光點(diǎn)并給予肯定和推廣。 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)及突破策略 教學(xué)重點(diǎn)：探索并證明三角形內(nèi)角和定理，體會(huì)證明的必要性 教學(xué)難點(diǎn)：1、為什么要添加輔助線？ 2、如何添加輔助線，依據(jù)是什么？ 突破策略 1、以問題為線索，通過解決問題探究尋找解決問題的途徑 2、通過學(xué)生親自操作實(shí)驗(yàn)過程，體會(huì)添加輔助線的方法，獲得證明思路 3、通過集合大家的思想，發(fā)現(xiàn)閃光點(diǎn)突破難點(diǎn) 教法、學(xué)法分析 根據(jù)所學(xué)知識(shí)直觀性的特點(diǎn)，我將采用以下教

8、學(xué)方法： 1、誘思導(dǎo)學(xué)；2 、多媒體展示； 3、類比探究；4 、講練結(jié)合 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、猜測(cè)、驗(yàn)證、 計(jì)算、推理等活動(dòng)過程。因此，我注重以下學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)： 1、類比探究 2 、合作交流 3、觀察操作 4、抽象概括 5、總結(jié)歸納。 教法特點(diǎn)及預(yù)期效果分析 1. 探索并證明內(nèi)角和定理的教法特點(diǎn)及預(yù)期效果分析 實(shí)驗(yàn)操作一：度量 教法特點(diǎn)：學(xué)生動(dòng)手操作和教師的追問 追問1:您得到了什么結(jié)果？你發(fā)現(xiàn)了什么 ？為什么呢？ 追問2:您還有什么方法嗎？ 預(yù)期效果分析：通過學(xué)生的操作，發(fā)現(xiàn)自己的答案不是180度 （學(xué)生又不敢回答發(fā)現(xiàn)的問題，要給學(xué)生鼓勵(lì)直面發(fā)現(xiàn)的問題），

9、再通 過教師的追問使學(xué)生知道自己的發(fā)現(xiàn)是沒錯(cuò)的，使學(xué)生產(chǎn)生為什么的 疑惑，進(jìn)而對(duì)實(shí)驗(yàn)的正確性產(chǎn)生疑惑。 實(shí)驗(yàn)操作二：剪拼圖-折疊 -試一試，看看有幾種剪拼的方法？ 教法特點(diǎn)：實(shí)驗(yàn)操作-思考-感悟和教師的追問 預(yù)期效果分析：通過讓學(xué)生親自動(dòng)手操作：一方面發(fā)現(xiàn)問題 （實(shí)驗(yàn)的局限性和問題），進(jìn)而了解證明的必要性；另一方面從剪和拼 中感受啟發(fā)，為進(jìn)一步證明內(nèi)角和定理提供思路和方法。）對(duì)通過剪拼 得到的圖對(duì)我們的得到平行線及由次聯(lián)想到作輔助線有用的剪拼方法 給予肯定，并向全班推薦，對(duì)不容易形成證明思路的承認(rèn)，不推廣， 目的是引導(dǎo)學(xué)生的思路，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想到輔助線是什么叫輔助 線？為什么添加輔助線？添加

10、輔助線的依據(jù)是什么？等等； 2、“三角形內(nèi)角和定理”的證明過程的教法特點(diǎn)及預(yù)期效果分析 教法特點(diǎn)：學(xué)生思考-交流-教師引導(dǎo) 預(yù)期效果分析：通過讓學(xué)生反思實(shí)驗(yàn)過程，體會(huì)添加輔助線 的方法，獲得證明思路，體會(huì)輔助線在證明中的作用。通過讓學(xué)生嚴(yán) 格的邏輯推理證明“三角形內(nèi)角和定理”，一方面掌握“三角形內(nèi)角 和定理”的證明思路；一方面感悟幾何證明的意義，體會(huì)證明過程的 規(guī)范性 3、“三角形內(nèi)角和定理”的應(yīng)用的教法特點(diǎn)及預(yù)期效果分析 教法特點(diǎn)：學(xué)生獨(dú)立解答-教師展演學(xué)生的解答-教師評(píng)講 預(yù)期效果分析：應(yīng)用“三形內(nèi)角和定理”解決相關(guān)問題，使學(xué)生 進(jìn)一步鞏固定理內(nèi)容。鼓勵(lì)學(xué)生從不同角度思考問題，體會(huì)證明內(nèi)角

11、 和定理的根本思路是什么？通過讓學(xué)生展示鼓勵(lì)創(chuàng)新和積極性，提高 學(xué)習(xí)興趣 教學(xué)過程 問題與情境師生行為設(shè)計(jì)意圖 創(chuàng)設(shè)情境、引入新課 “內(nèi)角三兄弟之爭(zhēng)” 角三角形里住著三個(gè)內(nèi)角，平時(shí)，它們?nèi)值芊浅F(tuán)結(jié)?？墒怯幸惶欤隙蝗?不高興，發(fā)起脾氣來，它指著老大說：“你憑什么度數(shù)最大，我也要和你一樣大！ ” “不 行?。　崩洗笳f：“這是不可能的，否則，我們這個(gè)家就再也圍不起來了” “為什么？” 老二很納悶。同學(xué)們，你們知道其中的道理嗎？ 如下圖所示是我們常用的三角板，它們的三個(gè)角之和為多少度？ 想一想:任意三角形的三個(gè)內(nèi)角之和也為 180度嗎？ 設(shè)計(jì)意圖:創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生學(xué)習(xí)水平和認(rèn)知特點(diǎn)的問題情境，通過

12、問題使學(xué)生產(chǎn)生解決困 難，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生的好奇心、引發(fā)學(xué)生的求知欲并引入本節(jié)課題，使學(xué)生明白為什么 要學(xué)習(xí)本節(jié)課？ 合作交流、探索新知 探究活動(dòng)一 1.探索并證明內(nèi)角和定理 問題1在小學(xué)我們已經(jīng)知道任意一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于 180, 你還記得是怎么發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)論的嗎？請(qǐng)大家利用手中的三角形紙片進(jìn)行探究 師生交流：學(xué)生動(dòng)手操作，匯報(bào)結(jié)果 方法：度量 追問1:您得到了什么結(jié)果？你發(fā)現(xiàn)了什么？為什么呢？ 追問2:您還有什么方法嗎？ 師生交流：學(xué)生回答，（答案肯定都不是180度，學(xué)生又不敢回答機(jī)子發(fā)現(xiàn)的問題, 要給學(xué)生鼓勵(lì)直面發(fā)現(xiàn)的問題） 方法：剪拼圖 追問3:試一試，看看有幾種剪拼的方法？ 方法：

13、折疊法 追問4通過度量、剪拼圖或折疊的方法驗(yàn)證了手中的三角形紙片的，但 形狀不同的三角形有多少個(gè)？我們?nèi)绾文艿贸觥八械娜切蔚娜齻€(gè)內(nèi)角的和都等于 180?！边@個(gè)結(jié)論呢？我們是否都去通過度量、剪拼圖或折疊的方法驗(yàn)證三個(gè)內(nèi)角和等 于180呢？師生活動(dòng)：小組交流，達(dá)成共識(shí)； （設(shè)計(jì)意圖：通過讓學(xué)生親自動(dòng)手操作：一方面發(fā)現(xiàn)問題（實(shí)驗(yàn)的局限 性和問題），進(jìn)而了解證明的必要性；另一方面從剪和拼中感受啟發(fā)，為進(jìn)一步證明內(nèi) 角和定理提供思路和方法。）對(duì)通過剪拼得到的圖對(duì)我們的得到平行線的給與肯定，并 推薦給大家；對(duì)不容易形成證明思路的承認(rèn)，不推廣。 問題2 問題：有什么方法可以得到18 0。的角？ 1 平角

14、的度數(shù)是18 02 兩直線平行，同旁內(nèi)角的和是180 你能從以上的操作過程中受到啟發(fā)，想出證明“三角形內(nèi)角和等于180 的方法嗎? 師生活動(dòng)：學(xué)生思考（應(yīng)給學(xué)生充分時(shí)間來思考，可展開交流） 追問1在方法三的剪拼中，/ B和/C分別拼在/ A的左右，三個(gè)角合起 來形成一個(gè)平角，出現(xiàn)了一條過點(diǎn) A的直線I，直線I與邊BC有什么位置關(guān)系？ 師生活動(dòng)：學(xué)生回答-直線I與邊BC平行 追問2在操作過程中，我們發(fā)現(xiàn)了與邊BC平行的直線I，由此，你又能受到什么啟發(fā)？ 你能發(fā)現(xiàn)證明“三角形內(nèi)角和等于 180”的思路嗎？ 師生活動(dòng)：學(xué)生思考（應(yīng)給學(xué)生充分時(shí)間來思考，可展開交流），然后回答-通過添加 與邊BC平行的

15、輔助線I，利用平行線的性質(zhì)和平角的定義即可證明結(jié)論 （設(shè)計(jì)意圖：通過讓學(xué)生反思實(shí)驗(yàn)過程，體會(huì)添加輔助線的方法，獲得證明思路，體 會(huì)輔助線在證明中的作用。） 追問3結(jié)合下圖，你能寫出已知、求證和證明嗎？ 師生互動(dòng)：學(xué)生回答，教師板書，完成證明過程 （完成證明過程后，教師總結(jié)：經(jīng)過證明正確的結(jié)論叫定理，我們證明得到 的就叫“三角形內(nèi)角和定理”） （設(shè)計(jì)意圖：通過讓學(xué)生嚴(yán)格的邏輯推理證明“三角形內(nèi)角和定理”，一方面掌握 “三角形內(nèi)角和定理”的證明思路；一方面感悟幾何證明的意義，體會(huì)證明過程的規(guī) 范性） 追問4通過前面的操作和證明過程，你能受到什么啟發(fā)？ 你認(rèn)為證明內(nèi)角和定理的根本思路是什么？ 你能用

16、其他方法證明此定理嗎？ 師生活動(dòng)：學(xué)生思考，展示自己的做輔助線的方法和證明思路。 教師展示一些作輔助線的方法。 設(shè)計(jì)意圖：1、從學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，建立新舊知識(shí)之間的聯(lián)系；2、 以問題為線索，使學(xué)生找到探究性質(zhì)的途徑；3、通過讓學(xué)生經(jīng)歷思考、觀察、探究、 猜想、驗(yàn)證、歸納的學(xué)習(xí)過程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)技能、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)素養(yǎng)；4、 鼓勵(lì)學(xué)生從不同角度思考問題，體會(huì)證明內(nèi)角和定理的根本思路是什么？通過讓學(xué)生 展示鼓勵(lì)創(chuàng)新和積極性，提高學(xué)習(xí)興趣 應(yīng)用新知、例題講解 例 1 如圖，在 ABC 中，/ BAC =40 ，/ B = 75, AD是厶ABC的角平分線.求/ ADB的度數(shù). 師生活動(dòng)：（

17、1）分析解題思路：求/ ADB的度數(shù), 可根據(jù)內(nèi)角和定理，只求出/ DAB度數(shù)即可。 （2）學(xué)生獨(dú)立完成；（3）師生共同完成解題過程。 方向，C島 例2如圖,C島在A島的北偏東50方向，B島在A島的北偏東80 在B島的北偏西40方向。從C島看A，B兩島的視角/ ACB 呢？ (1) ZDAC= /DAB 二 /EBC 二 /CAB 二 你能想出一個(gè)更簡(jiǎn)捷的方法來求/ C的度數(shù)嗎? 設(shè)計(jì)意圖：由淺入深例題練習(xí)幫助學(xué)生進(jìn)一步理解不等式的性質(zhì)及性質(zhì)的應(yīng)用，為下 節(jié)利用不等式性質(zhì)解不等式打基礎(chǔ)。 歸納總結(jié)、知識(shí)梳理 （1） 本節(jié)課你學(xué)到了什么？（小組交流合作） （2） 你是如何證明該定理，思路和方法是

18、什么？（小組交流合作） （3） 我們?cè)谘芯咳切蝺?nèi)角和定理的的過程中你有什么感想？.（獨(dú)立思考、小組交 流合作） 師生行為:鼓勵(lì)學(xué)生大膽表達(dá)想法和見解.不足之處由其他學(xué)生補(bǔ)充完善，教師應(yīng) 重點(diǎn)關(guān)注不同層次的學(xué)生對(duì)本節(jié)知識(shí)的理解、掌握程度.使每個(gè)學(xué)生有獲得感 設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生及時(shí)回顧梳理本節(jié)課所學(xué)的知識(shí).讓學(xué)生看到自己的進(jìn)步，激勵(lì) 學(xué)生，使學(xué)生自己在今后的學(xué)習(xí)中會(huì)不斷進(jìn)步。學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，積極參與 對(duì)數(shù)學(xué)問題的討論，敢于發(fā)表自己的觀點(diǎn)，分享別人的想法和結(jié)果，并重新審視自己 的想法使學(xué)生對(duì)知識(shí)由淺層認(rèn)識(shí)向有一個(gè)更生深層次的認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)化 同時(shí)也是給教者一個(gè)提高反思的機(jī)會(huì)。 隨堂演練復(fù)習(xí)鞏固 1、

19、如圖，說出各圖中x的度數(shù) 如圖，從A處觀測(cè)C處的仰角/ CAD = 30 , 從B處觀測(cè)C處的仰角/ CBD = 45.從C處觀測(cè)A, 2、 B兩處的視角/ ACB是多少? D 綜合運(yùn)用 3、 如圖 ABC 中,CD 平分/ ACBQE / BC, / A = 70，/ADE = 50 ,求/ BDC 的度數(shù) 1 1 4、在AAEC中，如果/A C, 那么AAEC是什么三角 形？ 拓展 如圖，在 ABC中，BP平分/ ABC, CP平分/ ACB，若/ BAC=60 ,求/ BPC的度數(shù). 設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生利用當(dāng)時(shí)所學(xué)的知識(shí)解決問題，鞏固本節(jié)知識(shí) 通過分層的練習(xí)： 一、考察學(xué)生對(duì)內(nèi)角和定理的掌握和理解能力，考察利用三角 形內(nèi)角和定理的應(yīng)用能力；二、使學(xué)習(xí)水平不同層次的學(xué)生都有一定的獲得感、成就 感；三、練習(xí)的設(shè)計(jì)由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)