自動控制理論第八章采樣控制系統(tǒng)

1、自動控制理論第八章采樣控制系統(tǒng) 第八章第八章 采樣控制系統(tǒng)采樣控制系統(tǒng) 8.1 8.1 采樣控制采樣控制 一個典型的采樣控制系統(tǒng)如圖： e是連續(xù)的誤差信號，經(jīng)采樣開關(guān)后，變成一組脈沖序列 ， 脈沖控制器對 進行某種運算，產(chǎn)生控制信號脈沖序列 ，保 持器將采樣信號 變成模擬信號 u ，作用于被控對象 e * e * u * u * )(SG 自動控制理論第八章采樣控制系統(tǒng) 模擬信號模擬信號在時間上連續(xù)，且在幅值上連續(xù)（導數(shù)連續(xù)）的 信號。 采樣信號采樣信號又稱離散信號，按一定的時間間隔對模擬信號進 行采樣得到的在時間上離散的一系列脈沖。 采樣控制系統(tǒng)和連續(xù)控制系統(tǒng)的區(qū)別采樣控制系統(tǒng)和連續(xù)控制系統(tǒng)

2、的區(qū)別：在連續(xù)系統(tǒng)中，各處的 信號都是模擬信號；在采樣系統(tǒng)中，一處或數(shù)處的信號是采樣 信號。 采樣系統(tǒng)的個性采樣系統(tǒng)的個性采樣過程和采樣信號保持 采樣系統(tǒng)和連續(xù)系統(tǒng)的共性采樣系統(tǒng)和連續(xù)系統(tǒng)的共性（1）閉環(huán)控制；（2）需分析 穩(wěn)定性、暫態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能；（3）需進行校正。 自動控制理論第八章采樣控制系統(tǒng) 8.2 8.2 采樣過程和采樣定理采樣過程和采樣定理 一、采樣過程一、采樣過程 按一定的時間間隔對連續(xù)信號采樣，將連續(xù)信號轉(zhuǎn)換為脈 沖序列的過程，稱為采樣過程。采樣開關(guān)是用來實現(xiàn)采樣過程 的裝置。 采樣開關(guān)按周期T閉合，T稱為采樣周期。每次閉合時間 為 ，由于在實際中總有 ，且 遠小于 中的 時

3、間常數(shù)，可近似認為 。 )(SG T 0 自動控制理論第八章采樣控制系統(tǒng) 采樣過程可用圖表示采樣過程可用圖表示 采樣信號 是 和 的乘積，其中載波信號 決定采樣時刻，它是周期為T 的單位脈沖序列，采樣信號 在nT(n=0,1,2)時刻的值由 決定。 )(te)( * te ( ) T t )(t T )(te 自動控制理論第八章采樣控制系統(tǒng) 單位脈沖序列 采樣信號為 采樣信號的拉氏變換 二、采樣過程的數(shù)學表達式二、采樣過程的數(shù)學表達式 三、采樣定理三、采樣定理 0 )( n T nTtt ）（ 00 * )()()()()()( nn T nTtnTenTttettete ）（ 0 * )()

4、()( n nTS* enTeteLsE ）（ tx * 其中 采樣定理給出了選擇采樣定理給出了選擇 采樣周期采樣周期T的依據(jù)。的依據(jù)。 經(jīng)采樣得到的離散信號 有可能無失真地恢復到原來的連 續(xù)信號的條件是 max 2 s T ss 2 :采樣角頻率， 頻譜的上限頻率。連續(xù)信號)(: max tx 自動控制理論第八章采樣控制系統(tǒng) 8.3 8.3 采樣信號保持器采樣信號保持器 一、零階保持器一、零階保持器 零階保持器是一種按恒值規(guī)律外推的保持器，它將前一采樣時 刻的值，保持到下一個采樣時刻，即 , 2 , 1 , 0) 1()()(nTntnTnTXtX n ， 自動控制理論第八章采樣控制系統(tǒng) 二

5、、零階保持器的傳遞函數(shù)二、零階保持器的傳遞函數(shù) 根據(jù)零階保持器的單位脈沖響應，推出其傳遞函數(shù)。 零階保持器的單位脈沖響應是一個 矩形，寬度為T，高為1，它可表示 成以下二個單位階躍信號的迭加。 )( 1)( 1)(Ttttg 單位脈沖響應的拉氏變換就是零階 保持器的傳遞函數(shù)。 s e e ss tgLsG Ts TS h 111 )()( 自動控制理論第八章采樣控制系統(tǒng) 一階保持器（輸入信號為脈沖信號）一階保持器（輸入信號為脈沖信號） )( ) 1()( )()(nTt T TnenTe nTeteh TntnT) 1( 0n (0)() ( )(0)( ) h eeT e tet T 時 (

6、 )1( ) h t e tt T ( )(0 ) ( )( )()1 h e TeTt e te TtT TT 時1n 0tT 2TtT 自動控制理論第八章采樣控制系統(tǒng) 1 1 2 0 1 0 1 T2 T t TT2 1 2 34 5 61 0 s s 3 s 2 )(jGh -2 5 # 2 ( )1( )1( )2 1()()1() 1 1(2 )(2 )1(2 ) h t g ttttTtTtT TT tTtTtT T 自動控制理論第八章采樣控制系統(tǒng) TsTsTsTs h e Ts e s e Ts e s Ts s sG 2 2 2 22 112211 )( 2 ) 1 )(1 (

7、)( Ts e TsTsG Ts h )( 2 2 sin 1)( 2 22 TTarctg T T TTsGh 與零階保持器相比較，一階保持器幅頻特性較大，但與 此同時高頻分量也較大。此外，一階保持器的相角遲后 比零階保持器更大，這對于系統(tǒng)的穩(wěn)定性不利。 自動控制理論第八章采樣控制系統(tǒng) 8.4 z8.4 z變換變換 其中 是連續(xù)函數(shù) 的采樣信號， 一、定義一、定義 )()()( * 0 tfZznTfzF n n )( * tf)(tf Ts ez 采樣函數(shù) 對應的Z變換是唯一的。Z變換只適用于 離散函數(shù)，因為它只表征了連續(xù)函數(shù)在采樣時刻的特性。 Z反變換表示為 )( * tf )()( *

8、1 tfzFZ 用查表方法可得到函數(shù) 的Z變換。)( * tf 自動控制理論第八章采樣控制系統(tǒng) Z變換的方法變換的方法 . 級數(shù)求和法 )()()2()2()()()()0( )()()( 0 * nTtnTfTtTfTtTftf nTtnTftf n 然后逐項進行拉普拉斯變換，可得 nTsTsTs enTfeTfeTffsF)()2()(1)0()( 2* n znTfzTfzTffzF)()2()(1)0()( 21 自動控制理論第八章采樣控制系統(tǒng) 例例求單位階躍函數(shù)1(t)的Z變換。 n zzztZ1111)( 1 21 ) 1|(| 1 1 1 )( 1)( 1 1 z z z z z

9、tZ at etf )(例例8-2 求 的 Z變換。 anT enTftf )()( * ,2 ,1 ,01)( 1nnT nnaTaTaT zezezezF 221 1)( aT aTaT aT ez ez z ze zF zezF 1 1 1 1 )( 1)1)( 自動控制理論第八章采樣控制系統(tǒng) 部分分式法部分分式法 n i i i ps A sF 1 )( 設(shè)連續(xù)函數(shù) )(tf的拉普拉斯變換式為 i i ps A tp i i eA 對應的時間函數(shù)為 i i pT z A ze 其Z變換為 1 ( ) i n i p T i Az F z ze 自動控制理論第八章采樣控制系統(tǒng) )(tf

10、)( )( ass a sF z 例例8-3 設(shè)連續(xù)函數(shù) 的拉普拉斯變換式為 ，試求其變換。 assass a sF 11 )( )( 解解 )1)(1 ( )1 ( 1 1 1 1 )( 11 1 11 zez ze zez zF aT aT aT 自動控制理論第八章采樣控制系統(tǒng) ttfsin)( 例例8-4 求的 Z變換。 js j js j s sF 2 1 2 1 )( 22 解解 js 1 j t e 因為的原函數(shù)為 11 1 122 1111 ( ) 2121 (sin)sin 1 (2cos)2 cos1 j Tj T F z jezjez T zzT T zzzzT 自動控制理

11、論第八章采樣控制系統(tǒng) 設(shè)函數(shù) 的Z變換為 ，而且 在Z平 面上以原點為圓心在單位圓上或圓外沒有極點，則 二、終值定理二、終值定理 )(tf)(zF)()1( 1 zFz 1 11 lim( )lim()lim(1)( )lim(1)( ) ttzz f tf nTzF zzF z 三、留數(shù)計算法三、留數(shù)計算法 已知連續(xù)函數(shù) 的拉氏變換 ，和 的極 點 ，可用留數(shù)計算法求 的Z變換。（設(shè) 的 極點數(shù)為n） )(tf)(sF)(sF i p)( * tf)(sF n i i n i Tp i R ez z pFrestfZzF i 11 * )()()( 處的留數(shù)。在為 i STTp ii ps

12、ez z sF ez z pFresR i )()( 自動控制理論第八章采樣控制系統(tǒng) 0 )()()( n n zFznTfnTfZ )0()( )0()()2()()0( )()3()2()( ) 1() 1( 21 )1(21 0 zfzzF fznTfzTfzTffz znTfzTfzTfTf zTnfTnfZ n n n n 0 )() 1()0()() 1( n n zFzzfznTfTnf )() 1(lim)( 1 zFzf z 證明證明 自動控制理論第八章采樣控制系統(tǒng) 1、當 為一階極點，留數(shù)為 2、當 為q重極點，留數(shù)為 i ps )()(lim sT i ps i ez z

13、 sFpsR i i ps )()(lim )!1( 1 1 1 sT q i q q ps i ez z sFps ds d q R i 自動控制理論第八章采樣控制系統(tǒng) 例：求例：求 的的Z變換變換ttf)( 解： 2 1 )( s sF 二重極點s=0的留數(shù)為 2 2 0 22 0 2 11 lim(0) (21)! lim ()(1) ( ) ( ) (1) ST S sT sT S dz Rs dssze zTeTz zez f ttz Tz F zR z 的 變換為 自動控制理論第八章采樣控制系統(tǒng) 四、四、z反變換反變換 )()( *1 tfzFZ 1.長除法 0 1 1 0 1 1

14、 )( azaza bzbzb zF n n n n m m m m 0 2 2 1 10 )( n n n zczczcczF )()2()()()( 210 * nTtcTtcTtctctf n 自動控制理論第八章采樣控制系統(tǒng) )(1( )1 ( )( T T ezz ze zF z 33221 )1 ()1 ()1 (0)(zezezezF TTT z 0 * )()1 ()( n nT nTtetf 例例8-8 求 的 解解 用長除法可以求得 上式的 反變換為 反變換式 自動控制理論第八章采樣控制系統(tǒng) 2.部分分式法 )(zF z )(zFz 由于在分子中通常都含有，因此先將 除以然后

15、再展開為部分分式。 )(zF TT T ezzezz e z zF 1 1 1 )(1( 1)( T ez z z z zF 1 )( t etf 1)( 0 * )()1 ()( n nT nTtetf 例例8-9 用部分分式法求上例中的反變換式。 解解 自動控制理論第八章采樣控制系統(tǒng) 3.留數(shù)計算法 0 1 )()()0()()( n nn znTfzTffznTfzF 用 1n z乘上式兩邊，可得 2111 ) 1()() 1()0()(zTnfznTfTnfzfzzF nn C nn zzFresdzzzF j nTf)()( 2 1 )( 11 C 1 )( n zzF積分曲線可以是

16、包含全部極點的任何 封閉曲線。 自動控制理論第八章采樣控制系統(tǒng) )()(lim 1 n pz zzFpzR )()(lim )!1( 1 1 1 1 nq q q pz zzFpz dz d q R 對于一階極點的留數(shù)為 對于階重極點的留數(shù)為 自動控制理論第八章采樣控制系統(tǒng) 例例8-10 求 2 ) 1( )( z Tz zF 的反變換。 1)(zzF在 nTnTzTz dz d R z nn z 1 1 1 )(lim nTnTf)( 解解 處有二重極點，因此 由此可得 自動控制理論第八章采樣控制系統(tǒng) )5 . 0)(1( 5 . 0 )()( 1 zz z reszzFresnTf n n

17、 1 )( n zzF5 . 01和zz n z n z n z zz z R z zz z R )5 . 0()5 . 0( )5 . 0)(1( 5 . 0 1) 1( )5 . 0)(1( 5 . 0 5 . 0 2 1 1 n nTf)5 . 0(1)( 在 處各有一個極點，因此 由此可得 解解 自動控制理論第八章采樣控制系統(tǒng) 8.5 8.5 脈沖傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù) 一、基本概念一、基本概念 定義：定義：線性離散系統(tǒng)中，在零初始條件下，系統(tǒng)輸出采樣信 號的Z變換與輸入采樣信號Z變換之比，稱為系統(tǒng)的脈沖傳 遞函數(shù)。 )( )( )( zR zC zG 自動控制理論第八章采樣控制系統(tǒng) 0

18、 * 0 * )()()( )()()( n n n znTgtgZzG nTtnTgtg 采樣脈沖函數(shù)的物理意義采樣脈沖函數(shù)的物理意義 采樣系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)是系統(tǒng)單位脈沖響應 經(jīng)采樣后 的采樣信號 的Z變換。 )( tg )( * tg 自動控制理論第八章采樣控制系統(tǒng) 二、采樣系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)二、采樣系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù) 1、兩個串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)隔開、兩個串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)隔開 )()( )( )( 21 zGzG zR zC 將采樣開關(guān)分隔的二個線性環(huán)節(jié)串聯(lián)，脈沖傳遞函數(shù)是兩個串聯(lián) 環(huán)節(jié)脈沖傳遞函數(shù)之積。結(jié)論可推廣到n個環(huán)節(jié)串聯(lián)，各相鄰環(huán) 節(jié)之間都有采樣開關(guān)隔開的情況。

19、 自動控制理論第八章采樣控制系統(tǒng) 2、兩個串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無采樣開關(guān)隔開、兩個串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無采樣開關(guān)隔開 )( )( )( 21 zGG zR zC 無采樣開關(guān)隔開的兩個線性環(huán)節(jié)串聯(lián)，脈沖傳遞函數(shù)是兩個環(huán) 節(jié)經(jīng)采樣后的單位脈沖響應 和 的乘積的Z變 換。結(jié)論可推廣到n個環(huán)節(jié)直接串聯(lián)的情況。 )( * 1 t g )( * 2 t g 自動控制理論第八章采樣控制系統(tǒng) )(1( )()()( )()( 1 )( 1 )( 2 21 22 11 aT aT ezz az zGzGzG ez az zG as a sG z z zG s sG ，得 ，得 由 例：例： 自動控制理論第八章采樣控制系統(tǒng) )(

20、1( )1 ( 1 )()( 1)()( )( )()( 21 21 1 21 aT aT aT aT ezz ez eZzGGzG esGsGL ass a sGsG 自動控制理論第八章采樣控制系統(tǒng) 三、閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)三、閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù) 1、有一個采樣開關(guān)的采樣系統(tǒng)、有一個采樣開關(guān)的采樣系統(tǒng) 2、有數(shù)字校正裝置的采樣系統(tǒng)、有數(shù)字校正裝置的采樣系統(tǒng) )(1 )( )( )( zGH zG zR zC )()(1 )()( )( )( zGHzD zGzD zR zC 自動控制理論第八章采樣控制系統(tǒng) 8.6 8.6 采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 一、一、S域到域到Z域的映射域的映

21、射 根據(jù)Z變換定義，有 在Z平面上，上式表示單位圓 Ts ez 平面上的虛軸，此時，是變化到以，當令sjs Tj ez 可見S平面上的虛 軸，映射到Z平面， 是以原點為圓心的 單位圓，且左半S 平面對應單位圓內(nèi) 的區(qū)域。 自動控制理論第八章采樣控制系統(tǒng) js TjTTs eeeZ T ez | 設(shè)復變量，則 其幅值 ss 1|z 1|z 當位于平面虛軸的左半部時， 為負數(shù)，這時 。反之，若 為正數(shù)，則 二、勞斯穩(wěn)定判據(jù)二、勞斯穩(wěn)定判據(jù) 雙線性變換 1 1 z 1 1 z z jvu jyxz 自動控制理論第八章采樣控制系統(tǒng) 2222 22 ) 1( 2 ) 1( 1)( yx y j yx y

22、x jvu 0 z平面 10 jy 平面 jv x u 1 22 yx1 22 yx 01 22 yx 自動控制理論第八章采樣控制系統(tǒng) 二、線性采樣系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件二、線性采樣系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件 設(shè)采樣系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為 )(1 )( )( )( zGH zG zR zC 系統(tǒng)特征方程為 0)(1zGH 是閉環(huán)極點。，其特征根 n 21 線性采樣系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，閉環(huán)系統(tǒng)的全線性采樣系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，閉環(huán)系統(tǒng)的全 部特征根均位于部特征根均位于Z平面的單位圓內(nèi)，即滿足平面的單位圓內(nèi)，即滿足 ni i ，211 自動控制理論第八章采樣控制系統(tǒng) 三、用勞斯判據(jù)判定采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性三、

23、用勞斯判據(jù)判定采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性 首先要通過雙線性變換 將Z平面的單位圓映射到W平面的虛軸，然后在W平面中應用 勞斯判據(jù)。 1 1 w w z 例：求使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。 自動控制理論第八章采樣控制系統(tǒng) 解：解：1、求系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)、求系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù) 查表得： 2、特征方程為 3、對特征方程進行雙線性變換，代入T=0.25s 4 11 4)4( )( ss K ss K sG )(1( )1 ( 4 ) 1 ( 4 )( 4 4 4T T T ezz zeK ez z z zK zG 0)1 ( 4 )(1()(1 44 ze K ezzzG TT 0 1 1 158.0368

24、.0 1 1 1 1 1 w w K w w w w 自動控制理論第八章采樣控制系統(tǒng) 整理得： 0)158.0736.2(264.1158.0 2 KwKw 4、應用勞斯判據(jù)，勞斯表為： 根據(jù)勞斯判據(jù)，為使采樣系統(tǒng)穩(wěn)定，應有2.736-0.1580，得 使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍是0K0K0。 對于二階線性采樣系統(tǒng)，當對于二階線性采樣系統(tǒng)，當K K大于某一值，系統(tǒng)將不穩(wěn)定，可大于某一值，系統(tǒng)將不穩(wěn)定，可 見，加入采樣開關(guān)，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性不利，如果提高采樣頻見，加入采樣開關(guān)，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性不利，如果提高采樣頻 率，穩(wěn)定性將得到改善率，穩(wěn)定性將得到改善。 自動控制理論第八章采樣控制系統(tǒng) 8.7 8.7

25、采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 一、采樣系統(tǒng)的類型一、采樣系統(tǒng)的類型 設(shè)采樣系統(tǒng)的開環(huán)脈沖函數(shù)為G(z)，當G(z)具有0個，1個，2 個z1的極點時，系統(tǒng)分別為0型，I型，II型系統(tǒng)。 二、應用終值定理求給定穩(wěn)態(tài)誤差終值二、應用終值定理求給定穩(wěn)態(tài)誤差終值 設(shè)采樣系統(tǒng)是單位負反 饋系統(tǒng)，則給定誤差脈 沖傳遞函數(shù)為： )(1 1 )( )( zGzR zE 自動控制理論第八章采樣控制系統(tǒng) 8-8 采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析 一、穩(wěn)態(tài)誤差終值的計算一、穩(wěn)態(tài)誤差終值的計算 )()(1 )( 1 zRzGzE 1 (1) ( ) lim 1( ) sr z zR z e zG

26、z )( 1)(ttr 1 )( z z zR p z sr KzG e 1 )(1 1 lim 1 ( )r tt 2 ) 1( )( z Tz zR v zz sr K T zGz T zGz T e )() 1( lim )(1)1( lim 11 2 2 1 )(ttr 3 2 ) 1(2 ) 1( )( z zzT zR a zz sr K T zGz T zGz zT e 2 2 2 1 2 2 1 )() 1( lim )(1 ) 1(2 ) 1( lim 自動控制理論第八章采樣控制系統(tǒng) 根據(jù)終值定理，給定穩(wěn)態(tài)誤差終值為： 1 1 lim ()lim( ) sr nz z ee

27、nTE z z 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差取決于系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差取決于G(G(z z) )和輸入信號和輸入信號R(R(z z) )。 三、用靜態(tài)誤差系數(shù)求給定穩(wěn)態(tài)誤差終值三、用靜態(tài)誤差系數(shù)求給定穩(wěn)態(tài)誤差終值 1、靜態(tài)位置誤差系數(shù)、靜態(tài)位置誤差系數(shù) )(1 lim 1 zGKp z 2、靜態(tài)速度誤差系數(shù)、靜態(tài)速度誤差系數(shù) )() 1(lim 1 zGzKv z 自動控制理論第八章采樣控制系統(tǒng) 3、靜態(tài)加速度誤差系數(shù)、靜態(tài)加速度誤差系數(shù) )() 1(lim 2 1 zGzKa z 單位階躍輸入時，采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差終值為單位階躍輸入時，采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差終值為 p sr K e 1 單位斜坡輸入時，采樣系統(tǒng)的穩(wěn)

28、態(tài)誤差終值為單位斜坡輸入時，采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差終值為 v sr K T e T為采樣周期 單位加速度輸入時，采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差終值為單位加速度輸入時，采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差終值為 a sr K T e 2 自動控制理論第八章采樣控制系統(tǒng) 例：采樣系統(tǒng)如圖，其中零階保持器的傳遞函數(shù)為 被控對象的傳遞函數(shù)為 ，采樣周期 T=0.25s，確定系統(tǒng)的類型。 s e sG Ts h 1 )( ) 15 . 0( 4 )( ss sGo 解：解：1、求系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)、求系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù) 15 .0 124 )1 ()()( 2 sss esGsG TS oh 自動控制理論第八章采樣控制系統(tǒng) 2、根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，系統(tǒng)有一個、根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，系統(tǒng)有一個Z=1的極點，的極點， 為為I型系統(tǒng)。型系統(tǒng)。 查表得與上式對應的查表得與上式對應的Z變換。系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)變換。系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù) )368.0)(1( )264.0368.0(2 36