對(duì)角化矩陣的應(yīng)用本科

1、XXX學(xué)校 畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 對(duì)角化矩陣的應(yīng)用 學(xué)生姓名 學(xué) 院 專 業(yè) 班 級(jí) 學(xué) 號(hào) 指導(dǎo)教師 2015年4 月25日 畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）承諾書 本人鄭重承諾： 1、本論文（設(shè)計(jì)）是在指導(dǎo)教師的指導(dǎo)下，查閱相 關(guān)文獻(xiàn)，進(jìn)行分析研究，獨(dú)立撰寫而成的. 2、本論文（設(shè)計(jì)）中，所有實(shí)驗(yàn)、數(shù)據(jù)和有關(guān)材料 均是真實(shí)的 3、本論文（設(shè)計(jì)）中除引文和致謝的內(nèi)容外，不包 含其他人或機(jī)構(gòu)已經(jīng)撰寫發(fā)表過的研究成果 4、本論文（設(shè)計(jì)）如有剽竊他人研究成果的情況， 切后果自負(fù). 學(xué)生（簽名） 2015年4月25日 對(duì)角化矩陣的應(yīng)用 摘 要 矩陣對(duì)角化問題是矩陣?yán)碚撝幸粋€(gè)關(guān)鍵性問題.本文借助矩陣可對(duì)角化條件，可 對(duì)角

2、化矩陣性質(zhì)和矩陣對(duì)角化方法來研究可對(duì)角化矩陣一些應(yīng)用，包括求方陣的高 次幕，反求矩陣，判斷矩陣是否相似，求特殊矩陣的特征值，在向量空間中證明矩 陣相似于對(duì)角矩陣，運(yùn)用線性變換把矩陣變?yōu)閷?duì)角矩陣，求數(shù)列通項(xiàng)公式與極限， 求行列式的值. 【關(guān)鍵詞】對(duì)角化；特征值；特征向量；矩陣相似；線性變換 Application of diagonalization matrix Abstract Matrix diagonalization problem is the key issue in the matrix theory. In this paper, by using matrix diagona

3、lization conditions, diagonalization matrix properties and matrix diag on alizati on method we study some applicati ons of diag on alizati on matrix, in clud ing for high-order exponent of matrix, finding the inverse matrix, matrix to determine whether it is similar, the eigenvalue of special matrix

4、, in the vector space that matrix similar to a diagonal matrix, using linear transformation matrix is a diagonal matrix, for the series of gen eral term formula and limit, the determ inant of value. Key words The diag on alizati on; Eige nv alue; Feature vector; Similar; Lin ear tran sformatio n 目 錄

5、 引 言1. 1矩陣對(duì)角化1. 1.1矩陣對(duì)角化的幾個(gè)條件 1. 1.2對(duì)角化矩陣的性質(zhì) 3. 1.3矩陣對(duì)角化的方法 5. 2對(duì)角化矩陣的應(yīng)用5. 2.1求方陣的高次幕5. 2.2反求矩陣.6. 2.3判斷矩陣是否相似7. 2.4求特殊矩陣的特征值 7. 2.5在向量空間中應(yīng)用7. 2.6在線性變換中應(yīng)用7. 2.7求數(shù)列通項(xiàng)公式與極限 8. 2.8求行列式的值11 2.9對(duì)角化矩陣在其他方面的應(yīng)用 12 參考文獻(xiàn)14 15 現(xiàn)如今，我們所提到的矩陣對(duì)角化其實(shí)質(zhì)指的就是矩陣和對(duì)角陣存在相似的地 方,其中我們學(xué)過的線性變換也是可對(duì)角化的，其原理是指在某一組基的作用下這個(gè) 線性變換可以變?yōu)閷?duì)角陣

6、（或者可以說是在某一組基的作用下這個(gè)線性變換的矩陣 是可對(duì)角化的），當(dāng)然剛剛提到的這個(gè)問題其實(shí)我們可以把它歸類到矩陣是否可對(duì)角 化的問題中去，因?yàn)槠鋬烧弑旧砭褪窍噍o相成的當(dāng)然本篇文章我們主要是研究和探 索判定矩陣可對(duì)角化的諸多條件，以及我們?nèi)绾稳ミ\(yùn)用矩陣對(duì)角化的有關(guān)性質(zhì)，來 把將矩陣化為對(duì)角形的問題進(jìn)行解決.與此同時(shí)，我們也在研究和探索中發(fā)現(xiàn)了它在 其他方面一些重要的運(yùn)用. 1矩陣對(duì)角化 我們所涉及的矩陣都是可以對(duì)角化的，其原理是指通過矩陣的一系列初等變換 （指：行、列變換）后，就能夠得到一個(gè)特殊的矩陣，其特殊性在于只有在其主對(duì)角 線的數(shù)上不全為零，然而其他位置的數(shù)則是全部為零（那么這個(gè)特殊的

7、矩陣就可以 被我們稱為對(duì)角陣），這一整個(gè)的變換過程就被我們稱為矩陣的對(duì)角化.當(dāng)然值得我 們注意的是，我們所學(xué)過的矩陣并非都能對(duì)角化的， 這個(gè)是有條件限制的. 1.1矩陣對(duì)角化的幾個(gè)條件 引理1設(shè)A, B Pnn,且 2 2 A= A, B= B, AB 二 BA, 則存在可逆矩陣P,使代B可同時(shí)對(duì)角化. 引理22如果P二diag（ s，2,） Pn n的n個(gè)對(duì)角元互不相同,矩陣B Pnn, 那么PB二BP當(dāng)且僅當(dāng)B本身就是對(duì)角陣. 因?yàn)槿魏我粋€(gè)幕等矩陣A（A2=A） 定相似于一個(gè)對(duì)角矩陣 任0|,所以任何 .0 0 一 n 一個(gè)對(duì)角矩陣都是能夠進(jìn)行譜分解的,即A = i A：,其中 i是矩陣A

8、的特征值, i =1 矩陣A為幕等矩陣，那么是否任意有限個(gè)幕等矩陣的線性組合都可以對(duì)角化呢？有 如下結(jié)論： A = ki . ： 1 k2 ： 2 亠 亠 kn ： n , k1,k2 ,kn是n個(gè)數(shù),亠，丄2,，丄n是n個(gè)幕矩陣，并且他們兩兩可替換 Lh -= j), 則矩陣A可對(duì)角化. 證明 若街，也2,，也n是n個(gè)幕矩陣,并且兩兩可換，則一定有一個(gè)可逆矩陣P， 使得 厶1，厶2,，厶n J 可同時(shí)對(duì)角化. 創(chuàng)=P/D1R,，An =PDnPn (D1,，Dn 是對(duì)角矩陣), A* k2kn：n=P(k1D1)P P(k2D2)P rKDn)P P(KD 十2。2飛 3)P , 由D1，D

9、n是對(duì)角矩陣知 k1 D1 k2 D knDn 同樣是對(duì)角矩陣，即矩陣A為對(duì)角化的矩陣. 定理24如果A Pn n, 1，2是它兩個(gè)不相同的特征值,那么矩陣A可對(duì)角化 =一定有幕等矩陣:,滿足 A = 1E (丿”2 - 1)=. 證明 必要性：如果A是一個(gè)對(duì)角化的矩陣，那么就一定會(huì)有一個(gè)可逆的矩陣 P, 滿足 PAR = 1E1 是一個(gè)對(duì)角陣. A=PAh=pkE+|J 丫亠視巳卩4怕為-人)匸鼻亠人巳協(xié)厲-人)匸匸, V2E2i Ri 并且厶相似于 一 E2 PAP -E2 p- J 若/為幕矩陣，則一定有一個(gè)幕矩陣/滿足 A = iE ( 2 熱). 充分性：若存在厶使得 A = 1E(

10、2-=, 因?yàn)?是幕矩陣,所以一定會(huì)有一個(gè)T,滿足厶二T T , E2 Tg+P ，2 - 1 E T, 因此, T, 即矩陣A為可對(duì)角化的. 定理35設(shè)矩陣A Pn n存在n個(gè)不同的特征值，則對(duì)于矩陣B Pn n, AB 二 BA, 當(dāng)且僅當(dāng)矩陣代B同時(shí)可以對(duì)角化. 證明 必要性 若矩陣A存在n個(gè)特征值,且這些特征值是互不相同的數(shù)，則矩陣 A為對(duì)角化的矩陣.設(shè) T =PAP , 其中T二diag(,匕，,J,貝U 1444二_4 T(P BP)二 P APP BP=P ABP 二 P BPP AP=(P BP)T , 即T與P 4BP是可以進(jìn)行交換的，因此得知P BP是對(duì)角矩陣，且矩陣B也是

11、為對(duì)角 化的矩陣. 充分性 如果矩陣代B可以同時(shí)進(jìn)行對(duì)角化，那么一定存在一個(gè)可逆陣P,使得 A=PD P, B=PD2 P（其中為 Di, D2對(duì)陣）, AB rPDiPP，D2P =PD 1D2P =PD2D iP - POPPD iP = BA, 因此我們可以通過上述的一系列條件，來求出A的特征值，且這是兩個(gè)相互不同的 數(shù).從而我們得出了矩陣對(duì)角化的成立的條件：如果 厶2這個(gè)條件成立，那么就認(rèn) 為矩陣A可對(duì)角化，否則就認(rèn)為矩陣A不能可對(duì)角化，其中八=(A-E) / (，1 . 1.2對(duì)角化矩陣的性質(zhì) 定理4 設(shè)A為數(shù)域P上的一個(gè)n階的矩陣,且它為可對(duì)角化的， 2,，t是 A的相互不同的特征

12、根,則一定會(huì)有n階的Ai，A2， ，A滿足 (1) A = iAi - .，2代亠 亠 tA ； A A2At =e,e是單位矩陣； A =A ； AAj =0, i 幻，其中 A =TBiT. 證明(1)如果A可對(duì)角化，那么在數(shù)域P上一定會(huì)存在一個(gè)可逆矩陣T,并且 它的階數(shù)為n階，滿足 01 T JAT 二 其中i的重?cái)?shù)為 s，由于矩陣 1 0 將它記為B 2B tBt,因此， TBTx-T(-1 2B -tBt) 丁4=需 WBjT) t (TQT J, 將其記為人 2宀 -A,其中A=TBjT，所以 A = A +九2A2 + + 九tA . 如果每個(gè)Bi為對(duì)角形的幕矩陣，那么B1 B2

13、 - 耳二E , A, +A2 十+A =TBJ J+TB2T 二 + +TBtT 二=TET-1 = E , 故 A A2 A = E. (3)如果A =TBiT4,那么 A2 =(TBT 斗)(TBT 斗)=TBT 亠 TBT一 =TBBT二=TB? T斗二丁耳丁1 = A, 故 A2 二 A . 當(dāng)i r時(shí)， AAj =(TBiT4)(TBjTTBiT4TBjTTBiBjT0, 0為零矩陣，故AAj =0,i = j. 15115 例1在數(shù)域P上，若已知A= 20 -15 8的三個(gè)特征根分別是1, 2, 3,則一定 -8-76一 231100-65-2 會(huì)有一個(gè)T=342,滿足TAT =

14、020=B,其中T1 =41,將矩陣 1120031/1 1 1 0 1 ._0 1 B = 0 + 2 1 + 3 0 0_ 1 1 0- 1 1 1一 記 B 2B 3B3,則 A =TBT 詔二T(B2B2 3B3)T=A, 2A2 g 其中A =TBiL于是 -1210-412-931-11 A =1815-6A2=16-124,A3=2-22 -65_2_.4-31_g-22一 并且滿足: (1) A 二 A 2A2 3A3 ； A A2 A = E ； (3) A2 =A(i 二1,2,3)； (4) RAj =0,i = j . 可以通過一個(gè)比較具體的可對(duì)角化矩陣，很直觀地反映上

15、述所說的性質(zhì)是成立的 1.3矩陣對(duì)角化的方法 1.3.1運(yùn)用矩陣初等變換的方法 在數(shù)域P上,一個(gè)n維空間V ,研究和探討它能否可以找到一組基，并且在此基的 作用下，所有的矩陣都是對(duì)角化的矩陣；發(fā)現(xiàn)這種基存在時(shí) ，如何去探索它是一個(gè) 線性代數(shù)學(xué)上相當(dāng)重要的問題，可以利用矩陣的初等變換的方法來解決此問題. 當(dāng)發(fā)現(xiàn)矩陣A不能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)角化的時(shí)候，同樣可以經(jīng)過相近的一系列變換后，化 簡(jiǎn)出矩陣A,并且能夠判定它是否可以對(duì)角化.類似地，可有矩陣T 二QsQslr QE , 做如下的初等變換，則可以將矩陣A化簡(jiǎn)為對(duì)角形矩陣B,并且可以求得T或由B求 A的一系列特征值. 1.3.2求解齊次方程組的方法 設(shè)矩陣A

16、是實(shí)對(duì)稱矩陣,則求證交矩陣T使得TAT =diag（m ，5）的問題, 一般的解法為： （1）求其特征值； （2）求其對(duì)應(yīng)的特征向量； 寫出矩陣T及T JAT二diag（j匕，） 從而可以求出正交矩陣T,可以避免了商的繁瑣運(yùn)算. 定理5設(shè)A是實(shí)對(duì)稱矩陣,則有!，2（ n-1重）,-!， 2，3,，對(duì)應(yīng)于 1，2 ,記L（ !）由X生成的一個(gè)空間，且L（ ：2，: 3，n）由2，3,，n生成的 空間 2對(duì)角化矩陣的應(yīng)用 2.1求方陣的高次幕 例2設(shè)在數(shù)域P上，有一個(gè)二維的線性空間V,；是這個(gè)線性空間V的一組 _2 們 ,試通過上述給出的 基,那么線性變換“這組基的作用下的矩陣I,。 條件計(jì)算出矩

17、陣Ak. 解 通過分析上述的條件，我們應(yīng)該先計(jì)算線性變換二在線性空間V的另一組 基1，2作用下的矩陣，令 ；1, 2】=1, J 1 L1 , -1 2 則 1-1 21 1-1 _2 1 21 1-1 _1 1 12 一-10-12 一 1丄10丄12 一 1 一 易知 1k, _0 1_0 1 再運(yùn)用上面得出的幾個(gè)關(guān)系 1 -12 1打 _1=；1 1 H1 k2 1=十+1 k 1 0 11_-k _k+1_ -1 2 一 1 0丄1 2 _一 o 1一 即 I2J 1 0 |-1 -需們：1 -1_1 -1 2。1_ 1 2 _ _ 1 2 2.2反求矩陣 例3設(shè)有一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣A，且

18、它的階數(shù)為3階，已知r - -1, 2 =，3=1,，1對(duì) 應(yīng)于 R=(0, 1, 1)T,求解 A . 解根據(jù)矩陣A是3階實(shí)對(duì)稱矩陣的條件，我們可以推出矩陣A可以對(duì)角化的結(jié) 論，即得出矩陣A是由三個(gè)線性無關(guān)的特征向量組成的結(jié)論 ,并且七3 對(duì)應(yīng)于 P=(X1,X2,X3)T,因?yàn)樗蚏正交,即 P P =0X1 X2 X3 =0, 所以可以求出P2 =(1,0, 0)T, B =(0, 1, -1)T,它們分別對(duì)應(yīng)= 3=1.取 0 p=(R,F2,P3)= 1 1 0 -1 01 B= 0 0 -1一 .0 0 -1 0 則PAP=B,于是 - 01 0 01 0 1 0 1 0 1 -1

19、 Io 0 1 0 - 0 1 A = PBP=1 0 1 0 1 1 1 0 =00 0-1 2 2 0 0 2 2 2.3判斷矩陣是否相似 例4請(qǐng)判斷下述三個(gè)矩陣是否會(huì)相似 01 2 0 02 1 A=0 2 0,A2=0 2 0 0 3一0 0 解 我們可以很容易的得出三個(gè)矩陣A, A2, A3的特征值分別都是 1=2(二 重)，人2 =3,其中矩陣A已經(jīng)是對(duì)角陣,所以我們只需要進(jìn)一步判斷兩個(gè)矩陣 A2,A3 是否都可以對(duì)角化.通過 =2, (2E-A2)X = 0,可以推出-： =(1,0,0)T,因?yàn)?2, 是一個(gè)二重的特征值，但是卻只有一個(gè)特征向量與之所對(duì)應(yīng)，那么我們可以推出矩陣

20、A與矩陣A不相似的結(jié)論通過=2, (2EA)X=O,得出(1,O,O)T, 2=(O,1,O)T , 通過，2 =3 , (3E )X = O,得出3 =(UT,通過上述所推出的結(jié)論，我們可知矩 陣A有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量，即矩陣A與矩陣A這兩個(gè)矩陣相似 2.4求特殊矩陣的特征值 例58設(shè)有一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣A，并且它的階數(shù)為n階，滿足A2 =2A, r(A) = r :： n, 求出A的全部特征值. 解假設(shè)為矩陣A的一個(gè)特征值，而我們令 為矩陣A的特征向量，它對(duì)應(yīng)于特 征值，因?yàn)锳 = 1 ,所以A=,又因?yàn)锳 = 2 A,所以A - 2A = 2工一， 即2=2，由此我們可以推出=2或O,根

21、據(jù)矩陣A是實(shí)對(duì)稱矩陣的這個(gè)條件，我們 可以斷定矩陣A一定能夠進(jìn)行對(duì)角化，即 21 2 A B =, O *1 IO 與r( A)二r,所以A的秩數(shù)就是2的個(gè)數(shù)，以及A有r個(gè)2和(n 一 r)個(gè)O的特征值. 2.5在向量空間中應(yīng)用 例69在n維的V空間中，有一個(gè)復(fù)矩陣，并且它的階數(shù)為n階，還有一個(gè)復(fù)數(shù)， 令 W =*吒 _A)門 艙 V 血=(gE_A)= 0, 則矩陣A相似于對(duì)角陣，并且W廠W2 = 證明 因?yàn)閷?duì)于任意一個(gè)XoWW2,則有Xo=(E-A廠和(E-A)Xo=O,所 以C*-A)2O.又因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)矩陣A相似于對(duì)角陣，所以我們可以推出CE-A)X=O 與(e-a)2i =0兩個(gè)的解空間

22、是完全相同的，即. 2.6在線性變換中應(yīng)用 例71O設(shè)PXn n 1是數(shù)域P上的一個(gè)全體，且它是一個(gè)次數(shù)小于n的多項(xiàng)式 與零多項(xiàng)式，則請(qǐng)通過所學(xué)的進(jìn)一步判斷在PXn的任一組基下，矩陣通過微分變 換能否變?yōu)閷?duì)角形矩陣. 證明如果取 1, X亠，丄, 2!(n_1)! 那么矩陣可以表示為0劇 ,所以有，E-A =n. 如果在某一組基的作用下，微分變換.的矩陣B為對(duì)角矩陣，由已知的矩陣 A B可推出矩陣A可對(duì)角化，那么就會(huì)存在一個(gè)可逆矩陣T能夠使得T JA B,所 以A二TBT 通過已知的微分變換.的全為零，可以推出B =0 , A =0這是不可能的，所以在 PXh的任何一組基的作用下，微分變換的矩

23、陣都不可能成為對(duì)角陣. 2.7求數(shù)列通項(xiàng)公式與極限 例 811設(shè)兩個(gè)數(shù)列、PnZn都滿足條件PnPn2q n , q. 1= Pn，, Pi=qi = 1 , 則請(qǐng)求解lim P . yqn 解 把已知條件中的幾個(gè)遞推關(guān)系組 Pn Pn 2qn,qn 1 = Pn qn ,通過化簡(jiǎn)改 寫成下面的列矩陣的形式： 門-1 2心1 2TPi UhqUl J (qj， 12- 由A和| “E - A = 0,可以求出A的r =1 . 2, = V . 2,并且1， 2分別對(duì)應(yīng) Xi =(、21)T,X2 =(-、.2,1)t.取 X=(X1,X2),則 X 411 X ,21 ,A = X2 -0 1

24、一 2 X-1 從而 =X 12 IL 01 0、2 X： (1 + J2)n41 + (1 J2)n41 2 (1+丿2) _(1 一 J2)卄 1 因此 (1 . 、2)n (1 2)n 2 并且 an 丄 0, a* 1 = ，bn 1 然后再改寫為另一種矩陣的形式： L 2 2 2 2 _aj 1 1 3 1 3 .44 一 .44 一 1 an 1 1 _n 1 1 4 和-A =0,可以求出A的i 2=1,并且1, 2分別對(duì)應(yīng) X1 （-2,訂卞汀仇忻取xdXjX2）2 因?yàn)?1 3 - 113 ol X ol X aj .11 n 3 丄+1 IL 3 4n 3 122 3 43

25、 ia 1 1丄異 3 4n3 一 limZ2（1 Vi z n =qnn（1,2）n 一（1 一、.2）n 例9已知a “ 山二Jam =,亦=篤 bn （n=1,2，）這四個(gè)條 件，請(qǐng)證明lim a.及l(fā)im bn存在并且相等，給出證明過程，同時(shí)請(qǐng)求出這兩個(gè)的極限值. 證明把已知條件中的遞推關(guān)系組作進(jìn)一步簡(jiǎn)化推出 an3bn , 4 ，z12丄1 （12丄2、r（ an + _ T + 一 | + 3 4n 3丿 + I Pb 比= 1 3 4n 3丿，時(shí) 所以 1 2 1 1 2 2. 3 4n3一3 4n 3 Pm：bn. 1 2 lim an : nr：33 例10設(shè)有冷=1,為=e

26、, xn 丁 hxn Xnj （n 一 1）這三個(gè)條件,請(qǐng)求出lim _xn. 4 解 從已知的三個(gè)條件可以推出Xn 0（n =1, 2,），以及InXn -（lnxn Inxn 1）, 2 - 令 an =ln Xn,則 ao 二 0, a1, an 1 1 -(an and) (n _1),所以 2 an + J 工n 一 2 2 0 2 0 1、 由A = 22和| XE -円=0 ,求得A的扎=1,）吃=_ _ ,并且人，九2分別對(duì)應(yīng) J02 1 X1 =（1,1）t,X2 =（2，）t .取x =（ X1, X2）,令 1 11 10 I 2 ,A = X 0 - 廠1 1 - 2

27、一 X X 3 01 2 1 -（冷）苗 1七）“ 一 從而推出：an = 2(1 -( -1),即 Xn 32 e”( 2) ) ,lim xn n_. 1 例 11 設(shè) X1 = 1 , Xn 4 = 1 Xn ,求 lim : n_C Xn. 1 11 11 0 的是 X( : ,1)T,X2 =( - ,1)T ,取 X =(X1,X2)= 11 ,則 A=X ： I。 X-1 0ln P X4 n 2 n1 解令a21 an 一 1 0a 0aj -2分別對(duì)應(yīng) 和一 A = 0 ,求出A的人=_=，打=一 =0 ,且打, 2 2 lim xn = lim n-n “a 1 屮_0宀1

28、 二 lim fr2_二 lim一 n H n 2 一 ： n 2 nn .1 一 P() a 5-1 2 Dn =2C0SDn-Dn?可以寫成矩陣的另外一種形式 2.8求行列式的值 2 cosot 1 0 0 0 0 0 1 2cosa 1 0 0 0 0 0 1 2 cosot 1！ 0 0 0 Dn = I- s (sin a 式 0), 0 0 0 0 1 2 cos 口 1 0 0 0 0 0 1 2cosa 例1212設(shè)有一個(gè)n階的行列式，化簡(jiǎn)并求出它的值 解 按照第一列展開的 Dn _ 2cos：-1 Dn Dnj 1。血乙 記矩陣A二 2 cos： _ 1 -1 0 :Dn J

29、 Dn/ D: (n - 2), 通過XE-A =0,我們可以計(jì)算出矩陣A的人=eia， 2= e-13,且打，入2分別對(duì)應(yīng) X1 =(eia ,1)T,X2=(e,1)T, 怖eiaeia0 I 丄 取 X=(X1,X=,則 A = X上 X 4, 1 一.0 e 一 推出 Dn IeiaD0 I 4 4cos-11 ,ID =X | 0 列X| 2 Dn- 0 e q _ 2coS 即 sin(n +1)a / . 一、 Dn(sin = -0). si n。 例13設(shè)有一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣A,并且它的階數(shù)是n階，滿足條件A =A,且r為矩 陣A的秩,通過上述條件求出行列式 2EA的值. 解 因

30、為 A2 二 A,=AX 二 A2X = 2X ,所以有(，2- )X =0.因?yàn)?X =0,所以 ( -1) = 0, =0或1 .因?yàn)榫仃嘇是一個(gè)n階的實(shí)對(duì)稱矩陣，所以它相似于對(duì)角矩陣， 又因?yàn)榫仃嘇的秩為r,所以一定會(huì)存在一個(gè)可逆矩陣p,可以使得*石0LB, 其中矩陣Er表示的是r階單位矩陣，所以可以推出 2E -A =2PP-PBP =2E B = Er 0 2En. = 2(n-r) 2.9對(duì)角化矩陣在其他方面的應(yīng)用 例14在某個(gè)城市的就業(yè)數(shù)據(jù)中顯示，一共有 30萬人從事著不同的三種行業(yè)， 分別是農(nóng)業(yè)、工業(yè)、經(jīng)商，假設(shè)在幾年之間這個(gè)從業(yè)總?cè)藬?shù)都會(huì)保持不變，而且經(jīng)過 整個(gè)社會(huì)的普查顯示

31、： (1) 在這個(gè)城市的30萬人中,投身于農(nóng)業(yè)的有15萬人，工業(yè)的有9萬人,經(jīng)商的有 6萬人； (2) 在投身于農(nóng)業(yè)的人中，每年大概有10%的人轉(zhuǎn)行去經(jīng)商，20%的人轉(zhuǎn)行去做 工業(yè)； (3) 在投身于工業(yè)的人中，每年大概有20%的人轉(zhuǎn)行去干農(nóng)業(yè)，10%的人轉(zhuǎn)行去 經(jīng)商； (4) 在投身于經(jīng)商的人中，每年大概有10%的人轉(zhuǎn)行去做工業(yè)，10%的人轉(zhuǎn)行去 干農(nóng)業(yè). 現(xiàn)在請(qǐng)大概預(yù)測(cè)一下，在未來的一、二年以后，從事這三個(gè)行業(yè)的人數(shù)，以及經(jīng)歷多 年以后,從事這三個(gè)行業(yè)的人員總數(shù)會(huì)有什么樣的一個(gè)發(fā)展趨勢(shì). 解 第i年后還從事這三種行業(yè)的人員總數(shù)，我們會(huì)用一個(gè)3維的向量X 去表示 它，則X0 =(15, 9,

32、 6)丁 .如果想要求X1，X2,并且能夠很精確地考察在n；心時(shí)，Xn 的一個(gè)發(fā)展趨勢(shì)，那么我們必須要引用一個(gè)3階矩陣A =(aj),它的作用是用來體現(xiàn) 0.7 0.2 0.1 從事這三種職業(yè)人員之間的轉(zhuǎn)移情況.那我們就能夠得出矩陣A= 0.2 0.7 0.1 , 0.1 0.1 0.8 一 通過矩陣的乘法法則，我們可以得出 1T 00 X 二 A X 二 AX 12.9 2 1 9.9 , X =AX 11.73 2 0 =A X = 10.23 34 一 所以Xn =AXn=AnX,如果要繼續(xù)進(jìn)一步精確地分析 Xn,那么必須要事先計(jì)算矩 陣A的n次幕An,所以我們先可以將矩陣A進(jìn)行對(duì)角化, 0.7-&0.20.1 A丸E|=0.20.7-丸 0.1=（1丸）（0.7丸）（0.5丸）, 0.10.10.8九 所以能夠得出特征值 1, 0.7,匕=0.5,三個(gè)特征值分別代表其求出的所對(duì)應(yīng)的 三個(gè)特征向量q,q2,q3,于是令Q=(q1, q2, qa),則就會(huì)有矩陣AnQBQ1,從而推出 An =QBnQ，Xn =AnX, B = 0.7 ,Bn = 0.7n 0.5 0.5： _11_11 1 當(dāng)n:時(shí),矩陣Bn將趨向于 1 0,從而推出矩陣An將趨向于Q 0 Q, 0 因?yàn)榫仃嘪n跟我們已經(jīng)確定下來的常量 X*非常接近,所以可以得出XnJ亦必趨于 X *,再通過X n