管理運(yùn)籌學(xué)第3章線性規(guī)劃的對偶問題

1、管理運(yùn)籌學(xué)管理運(yùn)籌學(xué) 第第3 3章章 管理、組織行為、運(yùn)營管理管理、組織行為、運(yùn)營管理 管理運(yùn)籌學(xué)、管理系統(tǒng)工程、運(yùn)營管理管理運(yùn)籌學(xué)、管理系統(tǒng)工程、運(yùn)營管理 經(jīng)濟(jì)學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué) 江蘇師范大學(xué)商學(xué)院江蘇師范大學(xué)商學(xué)院 物流管理系物流管理系 OR:SM 整理整理ppt 2 第一節(jié)第一節(jié) 線性規(guī)劃的對偶理論線性規(guī)劃的對偶理論 第二節(jié)第二節(jié) 對偶單純形法對偶單純形法 OR:SM 整理整理ppt 3 每一個線性規(guī)劃問題都有一個與之相伴隨的另一個問題。每一個線性規(guī)劃問題都有一個與之相伴隨的另一個問題。 這兩個問題：一是，在數(shù)學(xué)模型上有著對應(yīng)關(guān)系；二是，從這兩個問題：一是，在數(shù)學(xué)模型上有著對應(yīng)關(guān)系；二是，從 一個

2、問題的最優(yōu)解完全可以得出另一個問題最優(yōu)解的全部信一個問題的最優(yōu)解完全可以得出另一個問題最優(yōu)解的全部信 息。息。 3.1.1 3.1.1 問題的提出問題的提出 例例1 引入一個資源價格問題。引入一個資源價格問題。 OR:SM 整理整理ppt 4 某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種 產(chǎn)品，需消耗產(chǎn)品，需消耗A A、B B、C C三種材料。據(jù)市場分析，單位甲、乙三種材料。據(jù)市場分析，單位甲、乙 產(chǎn)品的銷售收益分別為產(chǎn)品的銷售收益分別為4 4萬元和萬元和5 5萬元。單位甲、乙產(chǎn)品對萬元。單位甲、乙產(chǎn)品對 材料的消耗量及材料的供應(yīng)量如表材料的消耗量及材料的供應(yīng)量如表3.13.1所示。所示。 原問題

3、：原問題：應(yīng)如何制定生產(chǎn)計劃，使總收益為最大。應(yīng)如何制定生產(chǎn)計劃，使總收益為最大。 表表3.13.1 產(chǎn)品材料 甲乙供應(yīng)量供應(yīng)量 A1145 B2180 C1390 收益收益4萬元萬元/單甲單甲5萬元萬元/單乙單乙 OR:SM 整理整理ppt 5 12 12 12 12 12 max( )45 45 280 s.t.(31) 390 ,0 Z xxx xx xx xx xx 設(shè)計劃安排：設(shè)計劃安排：x x1 1為甲產(chǎn)品的產(chǎn)量，為甲產(chǎn)品的產(chǎn)量， x x2 2為乙產(chǎn)品的產(chǎn)量。（決策變量）為乙產(chǎn)品的產(chǎn)量。（決策變量） 則，該問題的數(shù)學(xué)模型為：則，該問題的數(shù)學(xué)模型為： 12 45/ 2,45/ 2 (

4、 )405/ 2 xx Z x OR:SM 整理整理ppt 6 新問題：新問題：現(xiàn)在從另一角度來討論這個問題?，F(xiàn)在從另一角度來討論這個問題。 假設(shè)該企業(yè)經(jīng)過市場預(yù)測，準(zhǔn)備進(jìn)行轉(zhuǎn)產(chǎn)，且把現(xiàn)有三假設(shè)該企業(yè)經(jīng)過市場預(yù)測，準(zhǔn)備進(jìn)行轉(zhuǎn)產(chǎn)，且把現(xiàn)有三 種材料進(jìn)行轉(zhuǎn)讓，也恰好有一個制造商急需這批材料。于是種材料進(jìn)行轉(zhuǎn)讓，也恰好有一個制造商急需這批材料。于是 買賣雙方開始對資源的出讓價格問題進(jìn)行磋商，希望尋找一買賣雙方開始對資源的出讓價格問題進(jìn)行磋商，希望尋找一 個雙方都認(rèn)為比較滿意的合理價格。個雙方都認(rèn)為比較滿意的合理價格。 分析：分析：設(shè)設(shè)A、B、C三種材料的單價分別為三種材料的單價分別為y1、y2、y3

5、. 對于賣方來說，對于賣方來說，生產(chǎn)單位甲產(chǎn)品所獲收益為生產(chǎn)單位甲產(chǎn)品所獲收益為4萬元，為萬元，為 保證其總收入不少于保證其總收入不少于405/2萬元，則將生產(chǎn)單位甲產(chǎn)品所需資萬元，則將生產(chǎn)單位甲產(chǎn)品所需資 源轉(zhuǎn)讓出去，該企業(yè)的收入不能少于源轉(zhuǎn)讓出去，該企業(yè)的收入不能少于4萬元。故萬元。故y1、y2、y3必必 須滿足約束條件：須滿足約束條件： y1+2y2+y34 同樣，將生產(chǎn)單位乙產(chǎn)品所需的資源轉(zhuǎn)讓出去，其收入同樣，將生產(chǎn)單位乙產(chǎn)品所需的資源轉(zhuǎn)讓出去，其收入 不能少于生產(chǎn)單位乙產(chǎn)品的收益不能少于生產(chǎn)單位乙產(chǎn)品的收益5萬元，所以萬元，所以y1、y2、y3還必還必 須滿足約束條件：須滿足約束條件

6、： y1+y2+3y35 OR:SM 整理整理ppt 7 對于買方來說，對于買方來說，他希望在滿足上述約束條件下使總的他希望在滿足上述約束條件下使總的 支出支出 W（y） =45y1+80y2+90y3 達(dá)到最小。達(dá)到最小。 綜上所述，資源價格問題的數(shù)學(xué)模型可描述為：綜上所述，資源價格問題的數(shù)學(xué)模型可描述為： 123 123 123 123 min( )458090 24 s.t.35(32) ,0 W yyyy yyy yyy yyy 上述兩個模型（上述兩個模型（3-1）和（）和（3-2）是對同一問題的兩種不）是對同一問題的兩種不 同考慮的數(shù)學(xué)描述，其間有著一定的內(nèi)在聯(lián)系，將逐一剖同考慮的數(shù)

7、學(xué)描述，其間有著一定的內(nèi)在聯(lián)系，將逐一剖 析。析。 OR:SM 整理整理ppt 8 首先，分析這兩個模型之間的對應(yīng)關(guān)系：首先，分析這兩個模型之間的對應(yīng)關(guān)系： （1 1）一個問題的目標(biāo)函數(shù)為極大化，約束條件為）一個問題的目標(biāo)函數(shù)為極大化，約束條件為“”類類 型，另一個問題的目標(biāo)為極小化，約束條件為型，另一個問題的目標(biāo)為極小化，約束條件為“”類型；類型； （2 2）一個問題的變量個數(shù)等于另一個問題的約束條件個）一個問題的變量個數(shù)等于另一個問題的約束條件個 數(shù)；數(shù)； （3 3）一個問題的右端常數(shù)（約束系數(shù)）是另一個問題的）一個問題的右端常數(shù)（約束系數(shù)）是另一個問題的 目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)（成本系數(shù)）；目標(biāo)

8、函數(shù)的系數(shù)（成本系數(shù)）； （4 4）兩個問題的系數(shù)矩陣互為轉(zhuǎn)置。）兩個問題的系數(shù)矩陣互為轉(zhuǎn)置。 我們把這種對應(yīng)關(guān)系稱為我們把這種對應(yīng)關(guān)系稱為對偶關(guān)系對偶關(guān)系。如果把（。如果把（3-13-1）稱為）稱為 原始問題，則（原始問題，則（3-23-2）稱為對偶問題。）稱為對偶問題。 OR:SM 整理整理ppt 9 3.1.2 3.1.2 對稱型線性規(guī)劃問題對稱型線性規(guī)劃問題對稱型對偶問題對稱型對偶問題 每一個線性規(guī)劃問題都必然有與之相伴隨的對偶問每一個線性規(guī)劃問題都必然有與之相伴隨的對偶問 題存在。先討論對稱型對偶問題；對于非對稱型對偶問題存在。先討論對稱型對偶問題；對于非對稱型對偶問 題，可以先轉(zhuǎn)化

9、為對稱型，然后再進(jìn)行分析，也可以直題，可以先轉(zhuǎn)化為對稱型，然后再進(jìn)行分析，也可以直 接從非對稱型進(jìn)行分析。接從非對稱型進(jìn)行分析。 對稱型線性規(guī)劃問題對稱型線性規(guī)劃問題數(shù)學(xué)模型的一般形式為數(shù)學(xué)模型的一般形式為 1122 11112211 21122222 1122 12 max( ) s.t.(33) ,0 nn nn nn mmmnnm n Z xc xc xc x a xa xa xb a xa xaxb axaxaxb x xx Y1 Y2 ym OR:SM 整理整理ppt 10 這種模型的特點(diǎn)是：這種模型的特點(diǎn)是： （1 1）目標(biāo)函數(shù)是最大化類型）目標(biāo)函數(shù)是最大化類型( (或是最小化類型

10、或是最小化類型) )； （2 2）所有約束條件都是）所有約束條件都是“”型（或都是型（或都是“”型）；型）； （3 3）所有決策變量都是非負(fù)的。）所有決策變量都是非負(fù)的。 如果把（如果把（3-33-3）作為原始問題，根據(jù)原始與對偶問題）作為原始問題，根據(jù)原始與對偶問題 的對應(yīng)關(guān)系可得（的對應(yīng)關(guān)系可得（3-33-3）的對偶問題為）的對偶問題為 1122 11121211 12122222 1122 12 min( ) s.t.(34) ,0 mm mm mm nnmnmn m W yb yb yb y a ya ya yc a ya yayc a ya yayc y yy OR:SM 整理整理p

11、pt 11 用矩陣表示的原始問題（用矩陣表示的原始問題（3-33-3）和對偶問題（）和對偶問題（3-43-4）為）為 其中其中Y=Y=（y y1 1,y,y2 2, ,y,ym m）, ,其它同前其它同前。 3.1.3 3.1.3 一般問題的對偶問題一般問題的對偶問題非對稱型對偶問題非對稱型對偶問題 線性規(guī)劃有時以非對稱型出現(xiàn)，那么如何從原始問題寫線性規(guī)劃有時以非對稱型出現(xiàn)，那么如何從原始問題寫 出它的對偶問題呢？出它的對偶問題呢？ max( ) s.t. 0 Z xCX AXb X min( ) s.t. 0 WyYb YAC Y OR:SM 整理整理ppt 12 例例1 寫出下列線性規(guī)劃的

12、對偶問題寫出下列線性規(guī)劃的對偶問題 23 13 123 123 123 m ax()25 2 266 s.t. 30 ,0 Zxxx xx xxx xxx xxx OR:SM 整理整理ppt 13 轉(zhuǎn)換成轉(zhuǎn)換成對稱型對稱型 123 123 123 123 123 123 m ax()025 02 266 s.t.30 30 ,0 Zxxxx xxx xxx xxx xxx xxx Y1 Y2 Y/3 y/3 3 3 / 1233 / 1233 / 123 / 1233 / 123 min( )2600 20 02 s.t. 6335 ,0 Wyyyyy yyyy yyyy yyyy yyyy

13、OR:SM 整理整理ppt 14 再設(shè)再設(shè)y y/ /3 3-y-y/ /3 3=y =y3 3，代入上述模型得，代入上述模型得： 123 123 123 123 123 min( )260 20 02 s.t. 635 ,0;? Wyyyy yyy yyy yyy yyy OR:SM 整理整理ppt 15 例例2 2 將例將例1 1模型中的模型中的x x2 2改為無非負(fù)約束變量，即模型為改為無非負(fù)約束變量，即模型為 寫出其對偶問題寫出其對偶問題 23 13 123 123 132 m ax( )25 2 266 s.t. 30 ,0;? Zxxx xx xxx xxx xxx OR:SM 整

14、理整理ppt 16 令令x2=x 2-x2. .其中 其中x 2,x20 轉(zhuǎn)換成轉(zhuǎn)換成對稱型對稱型 2 2 2 / / 123 / / 123 / / 1223 / / 1223 / / 1223 / / 123 m ax()0225 002 266 s.t.30 30 ,0 Zxxxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx Y1 Y2 Y/3 y/3 OR:SM 整理整理ppt 17 3 3 / 1233 / 1233 / 123 / 1233 / 1233 / 123 min( )2600 20 02 s.t. 02 6335 ,0 W yyyyy yyyy yyyy yyy

15、y yyyy yyyy 123 123 123 123 123 min( )260 20 02 s.t. 635 ,0,? Wyyyy yyy yyy yyy yyy OR:SM 整理整理ppt 18 綜合上述兩個例子，可以看出，線性規(guī)劃與其對偶模型綜合上述兩個例子，可以看出，線性規(guī)劃與其對偶模型 的關(guān)系有了新的拓展：的關(guān)系有了新的拓展： （1 1）一個問題的目標(biāo)函數(shù)為極大化，約束條件為）一個問題的目標(biāo)函數(shù)為極大化，約束條件為“”或或 “= =”類型，另一個問題的目標(biāo)為極小化，約束條件為類型，另一個問題的目標(biāo)為極小化，約束條件為“”或或 “= =”類型；類型； （2 2）一個問題的變量個數(shù)等于

16、另一個問題的約束條件個）一個問題的變量個數(shù)等于另一個問題的約束條件個 數(shù)；數(shù)； （3 3）一個問題的右端常數(shù)（約束系數(shù)）是另一個問題的）一個問題的右端常數(shù)（約束系數(shù)）是另一個問題的 目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)（成本系數(shù)）；目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)（成本系數(shù)）； （4 4）兩個問題的系數(shù)矩陣互為轉(zhuǎn)置）兩個問題的系數(shù)矩陣互為轉(zhuǎn)置; ; （5 5）一個問題的第）一個問題的第i i個約束為個約束為“= =”，則另一個問題的第，則另一個問題的第i i 個變量為個變量為“無非負(fù)約束變量無非負(fù)約束變量”（自由變量）。反之，一個問（自由變量）。反之，一個問 題的第題的第i i個變量為個變量為“無非負(fù)約束變量無非負(fù)約束變量”，則另一

17、個問題的第，則另一個問題的第i i 個約束為個約束為“= =”（方程）。（方程）。 OR:SM 整理整理ppt 19 原始問題原始問題(或?qū)ε紗栴}或?qū)ε紗栴})對偶問題對偶問題(或原問題或原問題) 目標(biāo)目標(biāo) max 目標(biāo)目標(biāo) min 變量變量 n個個 約束約束 n個個 變量變量 0 0 無非負(fù)約束無非負(fù)約束 約束約束 =（方程）（方程） 約束約束 m個個 變量變量 m個個 約束約束 = （方程）（方程） 變量變量 0 0 無非負(fù)約束無非負(fù)約束 系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣 b c 轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置 c b OR:SM 整理整理ppt 20 這樣對于任意給定的一個線性規(guī)劃問題，均可依據(jù)上述這樣對于任意給定的一個線性規(guī)

18、劃問題，均可依據(jù)上述 對應(yīng)關(guān)系對應(yīng)關(guān)系直接寫出其對偶問題模型直接寫出其對偶問題模型，而無須先化成對稱型。，而無須先化成對稱型。 例例3 3 寫出下列線性規(guī)劃的對偶問題寫出下列線性規(guī)劃的對偶問題 123 123 123 123 123 m ax()2 2 1 s.t. 22 0;,? Zxxxx xxx xxx xxx xxx 解：解：因目標(biāo)函數(shù)為因目標(biāo)函數(shù)為“maxmax”類型，則約束條件應(yīng)為類型，則約束條件應(yīng)為“”和和 “= =”類型，故只需改變第三個約束條件的不等號方向，類型，故只需改變第三個約束條件的不等號方向， 即有：即有： 123 22xxx OR:SM 整理整理ppt 21 這樣所

19、有的約束條件均為這樣所有的約束條件均為“”和和“=”類型，按前述對類型，按前述對 應(yīng)關(guān)系原則，可寫出其對偶問題為：應(yīng)關(guān)系原則，可寫出其對偶問題為： 123 123 123 123 132 min( )22 21 2 s.t. 1 ,0,? W yyyy yyy yyy yyy yyy 123 123 123 123 123 m ax()2 2 1 s.t. 22 0;,? Zxxxx xxx xxx xxx xxx Y1 Y2 Y3 OR:SM 整理整理ppt 22 3.1.4 對偶問題的基本性質(zhì)對偶問題的基本性質(zhì) 設(shè)原始問題為：設(shè)原始問題為： 則其對偶問題為：則其對偶問題為： 1 1、對稱性

20、定理、對稱性定理 對偶問題的對偶是原始問題。對偶問題的對偶是原始問題。 根據(jù)對偶規(guī)劃，很容易寫出對偶問題的對偶模型。根據(jù)對偶規(guī)劃，很容易寫出對偶問題的對偶模型。 max( ),0(35)Z xCX AXb X min( ),0(36)W yYb YAC Y 2、對偶性定理、對偶性定理 若原問題有最優(yōu)解，那么對偶問題也有最優(yōu)解，而且兩者的若原問題有最優(yōu)解，那么對偶問題也有最優(yōu)解，而且兩者的 目標(biāo)函數(shù)值相等。目標(biāo)函數(shù)值相等。 OR:SM 整理整理ppt 23 3.1.5 對偶問題的最優(yōu)解對偶問題的最優(yōu)解 重要推論：重要推論： 1.1.原始問題單純形表中松馳變量的檢驗數(shù)恰好對應(yīng)著對原始問題單純形表中

21、松馳變量的檢驗數(shù)恰好對應(yīng)著對 偶問題的一個解。偶問題的一個解。 2.2.原始問題單純形表中原始問題單純形表中, ,原始問題的松弛變量的檢驗數(shù)對原始問題的松弛變量的檢驗數(shù)對 應(yīng)于對偶問題的決策變量應(yīng)于對偶問題的決策變量; ;而原始問題的決策變量的檢驗數(shù)對而原始問題的決策變量的檢驗數(shù)對 應(yīng)于對偶問題的松弛變量應(yīng)于對偶問題的松弛變量, ,只是只是符號相反符號相反。 注意：注意：在兩個互為對偶的線性規(guī)劃問題中，可任選一個進(jìn)行在兩個互為對偶的線性規(guī)劃問題中，可任選一個進(jìn)行 求解，通常是選擇約束條件少的，因求解的工作量主要受到求解，通常是選擇約束條件少的，因求解的工作量主要受到 約束條件個數(shù)的影響。約束條

22、件個數(shù)的影響。 OR:SM 整理整理ppt 24 例例4 求解下列線性規(guī)劃問題求解下列線性規(guī)劃問題 解：解：該問題僅有兩個變量，但約束較多，其對偶問題為該問題僅有兩個變量，但約束較多，其對偶問題為 12 1 2 12 12 2 12 m a x()43 6 8 7 s .t .( 37 ) 31 5 1 ,0 Zxxx x x xx xx x xx 12345 134 2345 125 min( )68715 34 s.t.3(3 8) ,0 W yyyyyy yyy yyyy y yy Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 OR:SM 整理整理ppt 25 把上述問題（把上述問題（3-83-8）作為

23、原始問題求解，其最終單純形表見下）作為原始問題求解，其最終單純形表見下 表（表（3.33.3） 由表（由表（3.33.3）得其最優(yōu)解為：）得其最優(yōu)解為： 例例4 4的最優(yōu)解可直接從表（的最優(yōu)解可直接從表（3.33.3）的松弛變量）的松弛變量y y6、y y7的檢驗數(shù)中的檢驗數(shù)中 讀出，即有：讀出，即有： -6 -8 -7 -15 -1 0 0 Y1 y2 y3 y4 y5 Y6 y7 -15y41/2 1/2 -1/2 0 1 1/2-1/2 1/2 -7y35/2-1/2 3/2 1 0 -3/2 1/2 -3/2 j -2 -5 0 0 -4 -4 -3 51 (0,0,0,0,0) 22

24、 51 ()71525 22 T Y W Y (4,3,2,5,0,0,4) ()443325 T X Z X OR:SM 整理整理ppt 26 第一章中的單純形法，是從線性規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)型的一個基本第一章中的單純形法，是從線性規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)型的一個基本 可行解出發(fā)，逐步迭代，使目標(biāo)函數(shù)值不斷改進(jìn)，直到取得可行解出發(fā)，逐步迭代，使目標(biāo)函數(shù)值不斷改進(jìn)，直到取得 最優(yōu)解為止。在運(yùn)算過程中，必須保證解的可行性，即在單最優(yōu)解為止。在運(yùn)算過程中，必須保證解的可行性，即在單 純形表中，始終有常數(shù)項純形表中，始終有常數(shù)項b b/ /00。當(dāng)最優(yōu)性條件。當(dāng)最優(yōu)性條件j j0 0得到滿得到滿 足時，迭代終止，這時原始問題和

25、對偶問題同時達(dá)到最優(yōu)。足時，迭代終止，這時原始問題和對偶問題同時達(dá)到最優(yōu)。 單純形法的實質(zhì)單純形法的實質(zhì)保證解的可行性（常數(shù)項保證解的可行性（常數(shù)項b b/ /00）, , 通過逐步迭代，達(dá)到最優(yōu)性條件（通過逐步迭代，達(dá)到最優(yōu)性條件（j j0 0 ）。）。 考慮到原始和對偶問題的對稱性，在求解方法上換一角考慮到原始和對偶問題的對稱性，在求解方法上換一角 度，即在運(yùn)算過程中，始終保持其對偶問題解的可行性。也度，即在運(yùn)算過程中，始終保持其對偶問題解的可行性。也 即在單純形表中，始終保證最優(yōu)性條件（即在單純形表中，始終保證最優(yōu)性條件（j j0 0 ），而原始），而原始 問題的解未必可行（常數(shù)項問題的

26、解未必可行（常數(shù)項 ）。）。 / b 0 OR:SM 整理整理ppt 27 通過逐步迭代，當(dāng)通過逐步迭代，當(dāng)b b/ /0 0 時，終止迭代，這時原始時，終止迭代，這時原始 問題和對偶問題同時達(dá)到最優(yōu)。這種方法稱之為對偶單問題和對偶問題同時達(dá)到最優(yōu)。這種方法稱之為對偶單 純形法。純形法。 對偶單純形法的實質(zhì)對偶單純形法的實質(zhì)保證最優(yōu)性條件（保證最優(yōu)性條件（j j0 0），）， 通過逐步迭代，達(dá)到解的可行性（常數(shù)項通過逐步迭代，達(dá)到解的可行性（常數(shù)項b b/ /0 0 ）。）。 OR:SM 整理整理ppt 28 3.2.1 3.2.1 對偶單純形法的運(yùn)算步驟對偶單純形法的運(yùn)算步驟 單純形法的運(yùn)算

27、思路單純形法的運(yùn)算思路: :先從非基變量中確定進(jìn)基變量先從非基變量中確定進(jìn)基變量, ,再再 從基變量中選擇出基變量從基變量中選擇出基變量( (大進(jìn)大進(jìn)-小出小出);); 對偶單純形法的運(yùn)算思路對偶單純形法的運(yùn)算思路: :先從基變量中確定出基變量先從基變量中確定出基變量, , 再從非基變量中選擇進(jìn)基變量再從非基變量中選擇進(jìn)基變量( (小出小出-小進(jìn)小進(jìn)).). 具體計算步驟如下具體計算步驟如下: : (1) (1)根據(jù)線性規(guī)劃模型根據(jù)線性規(guī)劃模型, ,列出初始單純形表列出初始單純形表, ,但需保證所有但需保證所有 檢驗數(shù)檢驗數(shù)j j0 .0 . (2) (2)檢驗檢驗. .若常數(shù)項若常數(shù)項b b

28、/ /0 ,0 ,則得到最優(yōu)解則得到最優(yōu)解, ,停止運(yùn)算停止運(yùn)算; ;否則否則 轉(zhuǎn)下步轉(zhuǎn)下步. . OR:SM 整理整理ppt 29 (3) (3)基變換基變換: : 確定出基變量。在確定出基變量。在b b/ /列中，將所有負(fù)值進(jìn)行比較，其列中，將所有負(fù)值進(jìn)行比較，其 中最小的一個分量所對應(yīng)的變量為出基變量（中最小的一個分量所對應(yīng)的變量為出基變量（小出小出）；）； 確定進(jìn)基變量。根據(jù)確定進(jìn)基變量。根據(jù) ， 對應(yīng)列的非基變量對應(yīng)列的非基變量x xk k為進(jìn)基變量為進(jìn)基變量( (小進(jìn)小進(jìn)) )。 迭代運(yùn)算與檢驗。以迭代運(yùn)算與檢驗。以 為主元素，按單純形法進(jìn)為主元素，按單純形法進(jìn) 行迭代計算，得到新

29、的單純形表，再返回到（行迭代計算，得到新的單純形表，再返回到（2 2）檢驗。）檢驗。 / / min0 j k sj sjsk a aa / s k a OR:SM 整理整理ppt 30 例例7 用對偶單純形法求線性規(guī)劃問題用對偶單純形法求線性規(guī)劃問題 解：首先將問題化成標(biāo)準(zhǔn)型，得解：首先將問題化成標(biāo)準(zhǔn)型，得 123 123 123 123 min( )458090 24 s.t.35 ,0 W yyyy yyy yyy yyy 123 1234 1235 12345 max( )458090 24 s.t.35 ,0 W yyyy yyyy yyyy y yyyy OR:SM 整理整理ppt 31 將約束條件兩端（將約束條件兩端（-1-1