圓錐曲線大題計(jì)算的小技巧(超適用)

1、 圓錐曲線大題計(jì)算的小技巧（超適用）這里只對(duì)第二問進(jìn)行分析：（）（）當(dāng) bd 的斜率 存在且 k 0時(shí)， bd 的方程為 y= k(x+1)，代入橢圓方程kx2y2+ =1(3k + 2)x + 6k x + 3k - 6 = 0，并化簡(jiǎn)得(a)22223 2，y ) d(x ，y )設(shè) b(x，則11226k3k - 622x + x = -， x x =1 23k + 23k + 212224 3(k +1)2= 1+ kx - x = (1+ k ) (x + x ) 4x x- =bd；(b)22223k + 21222121因?yàn)?ac 與 bc 相交于點(diǎn) ，且 ac 的斜率為-，pk

2、 14 3 +1 k 4 3(k +1)22ac =所以，12k 3+23 + 2k2四邊形 abcd的面積196222=(c)22 2522(3k222 當(dāng) k2=1時(shí)，上式取等號(hào)（）當(dāng)?shù)男甭?k= 0或斜率不存在時(shí)，四邊形 abcd的面積 s = 4bd96綜上，四邊形 abcd的面積的最小值為(d)25析這道題目從總體上來看，中等難度，題型經(jīng)典，對(duì)大多數(shù)同學(xué)來講想到怎么做是不難的，但是要真正做對(duì)（包括結(jié)果正確，分類完整）是很有難度的，這點(diǎn)從多次課堂試驗(yàn)可以看得出來。在此對(duì)以上這道真題中所涉及的幾個(gè)小小計(jì)算技巧做一個(gè)簡(jiǎn)單的分析，總共有四個(gè)點(diǎn)：(a) 整理化簡(jiǎn)技巧做數(shù)學(xué)大題，必定會(huì)遇到整理化

3、簡(jiǎn)的時(shí)候，許多同學(xué)在化簡(jiǎn)的時(shí)候經(jīng)常出現(xiàn)這樣那樣的失誤，原因很簡(jiǎn)單，計(jì)算量一大，一個(gè)方程就占了兩三行，這樣最容易出錯(cuò)。x2y2(a)式中，要把直線方程 y= k(x +1)代入橢圓方程 + =13 2中，容代入后易得到2x + 3k (x +1) - 6 = 0 到了這一步許同學(xué)們會(huì)開始打草稿，其實(shí)不必要，打草稿太費(fèi)222時(shí)間。我們可以這樣想，這個(gè)方程化簡(jiǎn)后肯定是一個(gè)關(guān)于 一元二次方程，必定有二次x項(xiàng)、一次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)，二次項(xiàng)系數(shù)顯然是 3k+ 2，一次項(xiàng)系數(shù)容易看出是 6k，而常22- 6數(shù)項(xiàng)同樣也可得到 3k，因此掃描一眼就可以快速地在試卷上寫上： “整理得：2(3k + 2)x + 6k x

4、 + 3k - 6 = 0”2222(b) 省時(shí)省力的弦長(zhǎng)公式現(xiàn)在市面上最流行的弦長(zhǎng)公式當(dāng)然是 | pq |= 1+ k (x + x ) - 4x x，但是，22121 2+ xx x2x + 3k (x +1) - 6 = 0兩塊東西是可以由方程 不用計(jì)算順這個(gè)公式中 x、222121 2手寫出的，這一步固然簡(jiǎn)單。但是代入弦長(zhǎng)公式后的計(jì)算將會(huì)是很恐怖的。d為此，我給大家引進(jìn)另一個(gè)簡(jiǎn)潔好用的弦長(zhǎng)公式，就是| pq |= 1+ k2，| a | 這個(gè)公式一寫出來，總能讓同學(xué)們眼前一亮！同學(xué)們理解起來也很簡(jiǎn)單，這里只不過是bac換成 ，整理即可。+ x-x x1 2做了一個(gè)小小的改變，用韋達(dá)定理

5、把x換成，把a(bǔ)12這個(gè)公式好在哪？計(jì)算錯(cuò)誤無非就是化簡(jiǎn)整理（通分合并）過程出錯(cuò)，其實(shí)對(duì)比一下兩個(gè)弦長(zhǎng)公式就可以看出，第二個(gè)弦長(zhǎng)公式恰好省去了通分化簡(jiǎn)合并的過程。實(shí)踐證明，這個(gè)公式大大提高了計(jì)算精度。d另外，我們都知道，做解幾大題常常需要判定 的正負(fù)性，因此，我們就可以借用d這個(gè) 直接代入弦長(zhǎng)公式，這一個(gè)小小技巧即充分地提高了計(jì)算精度也大大地減少計(jì)算量與計(jì)算時(shí)間。這個(gè)公式可以直接用嗎？這是同學(xué)們最關(guān)心的問題，這個(gè)公式當(dāng)然可以用，但是這個(gè)公式最好不要出現(xiàn)在試卷上。我們應(yīng)該這樣處理：= 1+ k (x + x ) - 4x x =試卷上還是用原來的弦長(zhǎng)公式寫| pq |，但是等號(hào)后22121 2d面

6、的結(jié)果是用| pq |= 1+ k2計(jì)算的，這樣兩全其美了！| a |(c) 不等式的選取解幾大題難逃最值問題、求參數(shù)范圍問題，而這兩種問題可歸結(jié)為不等式問題。而不等式問題又常常歸結(jié)為二元均值不等式問題。二元均值不等式是簡(jiǎn)單而復(fù)雜的，簡(jiǎn)單在于小巧易記，復(fù)雜在于形式太多。比如常a + ba + b2a +b2a + b 2ab 、ab ()2、 () .以上這些不等2見的就有以下幾種：22222式形式相似，易記混，難用對(duì)。很多同學(xué)好不容易算到了四邊形的面積這一步：abcd124(k +1)22s = bd ac =2(3k + 2)(2k + 3)22卻被表達(dá)式的繁雜而嚇倒，只好望而卻步，其實(shí)如

7、果能夠正確地全面地理解二元均值不等式的話，接下來的求最小值問題是非常容易的。這里地有個(gè)錦囊要送給大家：a + ba + b222 ab 1 1+a b22記憶法：（平方平均 代數(shù)平均 幾何平均 調(diào)和平均）特點(diǎn)： 平方和 倒數(shù)和其實(shí)，這個(gè)不等式相信很多同學(xué)都見過，但是很少能夠真正學(xué)會(huì)怎樣運(yùn)用。其實(shí)要和積 靈活運(yùn)用只要明白兩點(diǎn)就行：一是我們總是希望把不等式向常數(shù)發(fā)展；二是清晰了解四個(gè)平均數(shù)的特點(diǎn)（即平方和、和、積、倒數(shù)和）。有這兩點(diǎn)做起來就太容易了！1224(k +1)22=bd ac =+，可以發(fā)現(xiàn)，如果如果能把(3k 2) 和觀察 s2(3k + 2)(2k + 3)22(2k + 3) 加（

8、“和”）起來，也可以使方程變?yōu)槌?shù)，而當(dāng)前(3k + 2) 和(2k + 3) 處于222a + b (a + b) ab相“乘”的狀態(tài)，因此同樣采用第二和第三部分，也就是因此，有，即ab2，22124(k +1)24(k +1)224(k +1) 9622222s = bd ac =(3k + 2)(2k + 3) 3k + 2 + 2k + 35k + 525222222()()2222(d) 分類討論中的特殊情況我們從標(biāo)準(zhǔn)答案“（）當(dāng)?shù)男甭?k= 0或斜率不存在時(shí)，易得，四邊形 abcdbd96的面積 s= 4綜上，四邊形abcd的面積的最小值為”可以看出，對(duì)于分類討25論中的邊緣情況不需要做太詳細(xì)的分析，只需簡(jiǎn)單地表示一下，寫出結(jié)果即可。標(biāo)準(zhǔn)答案中有兩個(gè)字特別顯眼，就是“易得”，而同學(xué)們自己去親自具體計(jì)算的時(shí)= 0或斜率不存在”考慮候即不是像答案中“易得”來得那么容易，兩個(gè)邊緣情況“ k起來還挺吃力的。但正如剛才分析所得“邊緣情況不需要做太詳細(xì)的分析，只需簡(jiǎn)單地表示一下，寫出結(jié)果即可。”因此，我們?cè)趺醋龀鼋Y(jié)果，批卷老師是看不到的，這個(gè)時(shí)候“不管黑貓白貓，抓到老鼠就是好貓”。在此針對(duì)這道題結(jié)出一個(gè)處理的技巧：= 0當(dāng) k時(shí)，雖然直線 acac斜率不存在，但是 bd 和的弦長(zhǎng)是有意義的，也就1s =